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陕西省渭南市合阳县黑池中学2015届高三上学期第四次质检数学试卷(文科)


陕西省渭南市合阳县黑池中学 2015 届高三上学期第四次 质检数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1.设全集 U=R,集合 A={x|x +x≥0},则集合?UA=( ) A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) C. (﹣∞,﹣1]∪[0,+∞) D.[0,1] 考点:补集及其运算. 专题:集合. 分析:求出 A 中

不等式的解集,确定出 A,根据全集 U=R,求出 A 的补集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:x(x+1)≥0, 解得:x≥0 或 x≤﹣1, ∴A=(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞) , ∵全集 U=R, ∴?UA=(﹣1,0) . 故选:B. 点评:此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( A.y=x +x
3

) D.y=

B.y=﹣log2x

C.y=3

x

考点:奇偶性与单调性的综合. 分析:由函数单调性与奇偶性的定义逐一分析选项. 3 解答: 解:A.定义域为 x∈R 且 f(﹣x)=﹣x ﹣x=﹣f(x)故为奇函数 又随着 x 的增大 y 值也在增大,所以为增函数. B.由对数的真数大于 0 可知,函数的定义域为 x∈(0,+∞) ,定义域不关于原点对称,所 以不是奇函数. 3 C.由指数函数的图象可知:y=x 是增函数,但却不是奇函数. D.易知该函数为减函数. 故选 A 点评: 本题考查了函数的单调性和奇偶性的定义, 在这里要注意在判断函数的奇偶性时首先 要先判断函数的定义域是否关于原点对称. 3.已知直线 m,l,平面 α,β,且 m⊥α,l?β,给出下列命题: ①若 α∥β,则 m⊥l; ②若 α⊥β,则 m∥l; ③若 m⊥l,则 α∥β ④若 m∥l,则 α⊥β 其中正确命题的个数是( )

A.1

B.2

C .3

D.4

考点:平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 分析:根据有关定理中的诸多条件,对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定, 将由条件可能推出的其它的结论也列举出来. 解答: 解: (1)中,若 α∥β,且 m⊥α?m⊥β,又 l?β?m⊥l,所以①正确. (2)中,若 α⊥β,且 m⊥α?m∥β,又 l?β,则 m 与 l 可能平行,可能异面,所以②不正 确. (3)中,若 m⊥l,且 m⊥α,l?β?α 与 β 可能平行,可能相交.所以③不正确. (4)中,若 m∥l,且 m⊥α?l⊥α 又 l?β?α⊥β,∴④正确.故选 B. 点评: 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系, 以及空间中直线与平面之间的位置关系, 属于基础题. 4.“a=1”是“直线 ax+y﹣1=0 与直线 ax﹣y+1=0 垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析:当 a=1 时两直线的斜率都存在,故只要看是否满足 k1?k2=﹣1 即可.利用直线的垂直 求出 a 的值,然后判断充要条件即可. 解答: 解:当 a=1 时直线 ax+y﹣1=0 的斜率是﹣1,直线 ax﹣y+1=0 的斜率是 1, 满足 k1?k2=﹣1 ∴a=1 时直线 ax+y﹣1=0 与直线 ax﹣y+1=0 垂直, 直线 ax+y﹣1=0 与直线 ax﹣y+1=0 垂直,则﹣a?a=﹣1,解得 a=±1, “a=1”是“直线 ax+y﹣1=0 与直线 ax﹣y+1=0 垂直”的充分不必要条件. 故选 A. 点评:本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考 查基本知识的应用. 5.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 ,则 h=( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积.

专题:计算题. 分析: 三视图复原的几何体是四棱锥, 结合三视图的数据利用几何体的体积, 求出高 h 即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为边长 5,6 的矩形,一条侧棱垂直底面高为 h, 所以四棱锥的体积为: ,所以 h= .

故选 B. 点评:本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算能 力. 6.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相反的直线方程是( A.x﹣y+1=0 B.x﹣y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 或 x﹣y﹣1=0 D.x﹣y+1=0 或 3x﹣2y=0 考点:直线的截距式方程. 专题:直线与圆. 分析: 当直线经过原点时, 直线方程为 即可得出. 解答: 解:当直线经过原点时,直线方程为 ,即 3x﹣2y=0. . 当直线不经过原点时, 设直线方程为 x﹣y=a, )

当直线不经过原点时,设直线方程为 x﹣y=a,把点 P(2,3)代入可得 2﹣3=a,∴a=﹣1. ∴直线的方程为 x﹣y+1=0. 综上可得:直线的方程为 x﹣y+1=0 或 3x﹣2y=0. 故选:D. 点评:本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法,属于基础题. 7.函数 A.3 个 B.2 个 的零点的个数是( C .1 个 ) D.0 个

考点:函数的零点. 专题:数形结合. 分析:由于函数 f(x)在定义域内不是连续的,所以并不能通过求导递增来直接判断零点 的个数,利用数形结合法解决. 解答: 解:函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞) 令 分别画出函数 y=lnx 与 ∴函数在(0,1)之间有一个零点,在 x>1 有一个零点 故选 B. ,可知

点评:本题考查函数的零点,考查数形结合思想的运用,应注意函数 f(x)在定义域内不 是连续的,所以并不能通过求导递增来直接判断零点的个数. 8.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则△ ABC 的形状为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 考点:三角形的形状判断. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得 sinA 的 值进而求得 A,判断出三角形的形状. 解答: 解:∵bcosC+ccosB=asinA, 2 ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin A, ∵sinA≠0, ∴sinA=1,A= ,

故三角形为直角三角形, 故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用, 解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角 的正弦,属于基本知识的考查. 9.若直线 y=kx 与圆(x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分 别为( ) A. B. C. D.
2 2

考点:直线与圆的位置关系;关于点、直线对称的圆的方程. 专题:计算题;直线与圆. 分析:利用对称知识,求出直线的斜率,对称轴经过圆的圆心即可求出 b. 2 2 解答: 解:因为直线 y=kx 与圆(x﹣2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 直线 2x+y+b=0 的斜率为﹣2,所以 k= . 并且直线经过圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线 2x+y+b=0 上,

所以 4+0+b=0,b=﹣4. 故选 A. 点评:本题考查直线与圆的位置关系,对称直线方程的应用,考查分析问题解决问题与计算 能力.

10.设实数 x,y 满足不等式组

,则

的取值范围是(

)

A.[0, ]

B.[ , ]

C.[0, ]

D.[ , ]

考点:简单线性规划. 专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析:由题意作出其平面区域, 几何意义是点(x,y)与点 A(﹣3,0)的连线的斜率,

从而由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

几何意义是点(x,y)与点 A(﹣3,0)的连线的斜率, 且直线 j 的斜率为 故 = ;直线 k 的斜率为 ;

的取值范围是[ , ];

故选 B. 点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.与直线 x﹣y﹣2=0 平行,且经过直线 x﹣2=0 与直线 x+y﹣1=0 的交点的直线方程是 x ﹣y﹣3=0.

考点:直线的一般式方程与直线的平行关系;两条直线的交点坐标. 专题:直线与圆. 分析:解方程组求得交点坐标,设与直线 x﹣y﹣2=0 平行的直线一般式方程为 x﹣y+C=0, 把交点代入可得 C 的值,从而求得所求的直线方程. 解答: 解:由 .

求得



∴直线 x﹣2=0 与直线 x+y﹣1=0 的交点为(2,﹣1) , 设与直线 x﹣y﹣2=0 平行的直线一般式方程为 x﹣y+C=0, 把点(2,﹣1)代入可得 λ=﹣3, 故所求的直线方程为 x﹣y﹣3=0. 故答案为:x﹣y﹣3=0 点评:本题主要考求两直线交点的坐标,用待定系数法求直线方程,属于基础题. 12.设 f(x)=ax +3x +2,若 f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+3y+3=0 垂直,则实数 a 的值 为﹣1. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:求出原函数的导函数,得到 f(x)在 x=1 处的导数,再由 f(x)在 x=1 处的切线与 直线 x+3y+3=0 垂直,得到 f(x)在 x=1 处的导数值,从而求得 a 的值. 解答: 解:由 f(x)=ax +3x +2,得 f′(x)=3ax +6x, ∴f′(1)=3a+6,即 f(x)在 x=1 处的切线的斜率为 3a+6, ∵f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+3y+3=0 垂直, ∴3a+6=3,即 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评:本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程,考查了两直线垂直于斜率之间的关系, 是中档题. 13. 空间四边形 ABCD 中, 对角线 AC=10, BD=6, M、 N 分别是 AB、 CD 的中点, 且 MN=7, 则异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60°. 考点:异面直线及其所成的角. 专题:空间角. 分析: 首先通过平行线把异面直线转化为共面直线, 利用解三角形知识中的余弦定理求出异 面直线的夹角. 解答: 解:取 BC 的中点 G,连接 GM,GN M、N 分别是 AB、CD 的中点,对角线 AC=10,BD=6, 所以:GM= =5,GN=
3 2 2 3 2

在△ GMN 中,EF=7,GM=5,GN=3 利用余弦定理得: 即:cos 所以:∠MGN=120° 所以:异面直线 AC 与 BD 所成的角为 60° 故答案为:60° |=

点评:本题考查的知识要点:异面直线所成的角的应用,余弦定理的应用,属于基础题型. 14.观察下列等式:

照此规律,第 n 个等式可为 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)

2

2

2

2

n+1 2

n =(﹣1)

n+1



考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:根据题中所给的规律,进行归纳猜想,得出本题结论. 解答: 解:由题意知: 2 1 =1, 2 2 2 2 1 ﹣2 =﹣(2 ﹣1 )=﹣(2﹣1) (2+1)=﹣(1+2)=﹣3, 2 2 2 2 2 1 ﹣2 +3 =1+(3 ﹣2 )=1+(3﹣2) (3+2)=1+2+3=6, 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣(2 ﹣1 )﹣(4 ﹣3 )=﹣(1+2+3+4)=﹣10, … 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)
2 2 2 2 n+1 2

n =(﹣1)
2 2 2

n+1

(1+2+3+…+n)=(﹣1)
2 n+1 2

n+1

. .

∴照此规律,第 n 个等式可为 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)

n =(﹣1)

n+1

点评: 本题考查的是归纳推理, 要难点在于发现其中的规律, 要注意从运算的过程中去寻找, 本题属于中档题.

15.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 2π,则球的表面积为 12π. 考点:球的体积和表面积. 专题:计算题. 分析:求出截面圆的半径,利用勾股定理求出球的半径,然后求出球的表面积. 2 解答: 解:由题意可知截面圆的半径为:r,所以 πr =2π,r= , 由球的半径,球心到截面圆的距离,截面圆的半径,满足勾股定理, 所以球的半径为:R=
2

=



所求球的表面积为:4πR =12π. 故答案为:12π. 点评:本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系,是本题的解题的关键,考查计 算能力. 三、解答题: (共 6 道题,合计 75 分.请在答题卡上相应位置写出解题过程.) 16.已知 tan(3π+α)=3,试求 的值.

考点:三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用. 专题:计算题. 分析:先把利用诱导公式把 tan(3π+α)=3 化简,得 tanα=3,再利用诱导公式化简 ,得到 ,令分式的分子分母同除 cosα,得到只含有 tanα 的式子,把 tanα=3 代入即 可. 解答: 解:由 tan(3π+α)=3,可得 tanα=3, 故 = = = =

点评: 本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系式在三角函数化简求值中的应用, 应用诱 导公式时,注意符号的正负. 17.已知:等差数列{an}中,a4=14,前 10 项和 S10=185. (Ⅰ)求 an; n (Ⅱ)将{an}中的第 2 项,第 4 项,…,第 2 项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的 前 n 项和 Gn. 考点:数列的求和;等差数列的通项公式.

专题:计算题. 分析: (Ⅰ)根据题意,利用等差数列的通项公式与求和公式将 a4 与 s10 列方程组即可求得 其首项与公差,从而可求得 an; n (Ⅱ)根据题意,新数列为{bn}的通项为 bn=3?2 +2,利用分组求和的方法即可求得 Gn. 解答: 解: (Ⅰ)由







由 an=5+(n﹣1)?3∴an=3n+2… n (Ⅱ)设新数列为{bn},由已知,bn=3?2 +2… 1 2 3 n n ∴Gn=3(2 +2 +2 +…+2 )+2n=6(2 ﹣1)+2n. n+1 * ∴Gn=3?2 +2n﹣6, (n∈N )… 点评: 本题考查数列的通项与求和, 重点考查等差数列的通项公式与求和公式及分组求和法 的应用,是基础题. 18.一个圆切直线 l1:x﹣6y﹣10=0 于点 P(4,﹣1) ,且圆心在直线 l2:5x﹣3y=0 上. (Ⅰ)求该圆的方程; (Ⅱ)求经过原点的直线被圆截得的最短弦的长. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)设圆心坐标为(x,y) ,求出过 P 点的半径所在的直线,进而可得圆心与半径, 即可求该圆的方程; (Ⅱ)经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线. 解答: 解: (Ⅰ)设圆心坐标为(x,y) ,则 设过 P 点的半径所在的直线为:6x+y+c=0,代入 P(4,﹣1) ,可得 c=﹣23 由
2 2

,解得
2



∴r =(4﹣3) +(﹣1﹣5) =37 2 2 ∴圆的方程为(x﹣3) +(y﹣5) =37; (Ⅱ)经过原点的最短弦就是圆心与原点连线垂直的直线,此时弦心距为 ∴经过原点的直线被圆截得的最短弦的长为 2 =2 . = ,

点评:本题考查直线与圆的位置关系,直线与圆的方程的综合应用,考查转化思想、计算能 力,确定圆心与半径是关键.

19.如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, 面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.

,OA⊥底

(1)求四棱锥 O﹣ABCD 的体积; (2)证明:直线 MN∥平面 OCD.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面平行的性质. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 OA⊥底面 ABCD,得 OA 为四棱锥 O﹣ABCD 的高,再求出底面菱形的面积, 代入体积公式计算; (2)取 OB 中点 E,连接 ME,NE,证明平面 MNE∥平面 OCD,再由面面平行得线面平 行. 解答: 解: (1)∵OA⊥底面 ABCD, ∴OA 为四棱锥 O﹣ABCD 的高,OA=2, 又底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∴SABCD=1× ∴VO﹣ABCD= × = ×2= , ; ,

(2)取 OB 中点 E,连接 ME,NE, ∵ME∥AB,AB∥CD, ∴ME∥CD 又∵NE∥OC,ME∩NE=E, ∴平面 MNE∥平面 OCD,MN?平面 MNE, ∴MN∥平面 OCD

点评:本题考查了四棱锥的体积计算,考查了由面面平行证明线面平行,考查了学生的推理 论证能力与运算能力.

20.已知函数 f(x)=x ﹣ x +bx+c. (1)若 f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数,求 b 的取值范围; 2 (2)若 f(x)在 x=1 时取得极值,且 x∈[﹣1,2]时,f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件;利用导 数研究函数的极值. 专题:计算题;综合题. 分析: (1)由已知中函数 f(x)=x ﹣ x +bx+c,我们可以求出函数的导函数,进而根据 f (x)在(﹣∞,+∞)是增函数,则 f′(x)≥0 恒成立,构造关于 b 的不等式,解不等式即 可得到答案. (2)当 f(x)在 x=1 时取得极值时,则 x=1 是方程 3x ﹣x+b=0 的一个根,由韦达定理可 2 以求出方程 3x ﹣x+b=0 的另一个根,进而分析出区间[﹣1,2]的单调性,进而确定出函数 f (x)在区间[﹣1,2]的最大值,进而构造关于 c 的不等式,根据二次不等式恒成立问题, 即可得到答案. 解答: 解: (1)f′(x)=3x ﹣x+b,∵f(x)在(﹣∞,+∞)是增函数, ∴f′(x)≥0 恒成立,∴△=1﹣12b≤0,解得 b≥ ∵x∈(﹣∞,+∞)时,只有 b=
2 2 2 3 2

3

2

. ,+∞].

时,f′( )=0,∴b 的取值范围为[

(2)由题意,x=1 是方程 3x ﹣x+b=0 的一个根,设另一根为 x0,
2





∴f′(x)=3x ﹣x﹣2,

列表分析最值: x ﹣1 (1,2) f'(x) + f(x) +c 极小值 递增 +c 递增 极大值 2+c +c 递减 (﹣1,﹣ ) ﹣ 2 + (﹣ ,1) 1

0



0

∴当 x∈[﹣1,2]时,f(x)的最大值为 f(2)=2+c, 2 2 ∵对 x∈[﹣1,2]时,f(x)<c 恒成立,∴c >2+c,解得 c<﹣1 或 c>2, 故 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) 点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,函数在某点取得 极值的条件,利用导数研究函数的极值,是函数与导数问题比较综合的应用,其中(1)的 关键是构造关于 b 的不等式,而(2)的关键是问题转化为关于 c 的不等式恒成立问题.

21.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(0,4) ,离心率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)椭圆 C: + =1(a>b>0)过点(0,4) ,可求 b,利用离心率为 ,求出 a,

即可得到椭圆 C 的方程; (2)过点(3,0)且斜率为 的直线为 y= (x﹣3) ,代入椭圆 C 方程,整理,利用韦达定 理,确定线段的中点坐标. 解答: 解: (1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程得 由 e= = ,得 1﹣ = ,∴a=5,… =1,∴b=4,…

∴椭圆 C 的方程为

+

=1.…

(2)过点(3,0)且斜率为 的直线为 y= (x﹣3) ,… 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 将直线方程 y= (x﹣3)代入椭圆 C 方程,整理得 x ﹣3x﹣8=0,… 由韦达定理得 x1+x2=3, y1+y2= (x1﹣3)+ (x2﹣3)= (x1+x2)﹣ =﹣ .…
2

由中点坐标公式 AB 中点横坐标为 ,纵坐标为﹣ , ∴所截线段的中点坐标为( ,﹣ ) .… 点评: 本题考查椭圆的方程与几何性质, 考查直线与椭圆的位置关系, 考查韦达定理的运用, 确定椭圆的方程是关键.


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