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高中数学竞赛标准讲义:第3章:函数


2010 高中数学竞赛标准讲义:第三章:函数 高中数学竞赛标准讲义:第三章:
一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x ≠ y, 都有 f(x) ≠ f(y)则称之为单射。 定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映 射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定 义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y),则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。集 合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 通常函数由解析式给出, 此时函数定义域就是使解析式有意义的 未知数的取值范围,如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x≥0,x∈R}. 定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫 原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 1 1 y= 的反函数是 y=1- (x ≠ 0). 1? x x 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意的 x∈ D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数 时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小 的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b),集合{x|a≤x≤b,x ∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a≤x<b}记作半闭半 开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞),集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 9 函数的图象, 点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象, 其中 D 为 f(x)的定义域。 通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0);(1)向右平移 a 个 单位得到 y=f(x-a)的图象;(2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象;(3)向下平移 b 个 单位得到 y=f(x)-b 的图象;(4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称;(5)与函数 y=-f(-x)的 图象关于原点成中心对称; 6)与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称; 7)与函数 y=-f(x) ( ( 的图象关于 x 轴对称。 1 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如 y= , u=2-x 在(2? x 1 1 ∞,2)上是减函数,y= 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 在(-∞,2)上是增函数。 u 2? x 注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题

1.数形结合法。
1 的正根的个数. x 1 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y= 的图象, 由图象可知两 x 点,所以方程有一个正根。

例1

求方程|x-1|=

y 1

者有唯一交
1 x

例2

求函数 f(x)= x 4 ? 3 x 2 ? 6 x + 13 ? x 4 ? x 2 + 1 的

最大值。

【解】 f(x)= ( x 2 ? 2) 2 + ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 + ( x ? 0) 2 ,记点 P(x, x-2),A(3,2),B(0,1),

则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|≤|AB|= 3 2 + (2 ? 1) 2 = 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号 成立。 所以 f(x)max= 10 . 2.函数性质的应用。 2 ? ?( x ? 1) + 1997( x ? 1) = ?1 例 3 设 x, y∈R,且满足 ? ,求 x+y. ?( y ? 1) 3 + 1997( y ? 1) = 1 ? 【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2 为周期的函数,对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x≤2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 9 x 2 ? 6 x + 5 + 1 )+(2x-3)( 4 x 2 ? 12 x + 13 +1)=0. 【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为
m( m 2 + 4 +1)+n( n 2 + 4 +1)=0. ① 若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ≠ 0, n ≠ 0.

ⅰ)若 m>0,则由①得 n<0,设 f(t)=t( t 2 + 4 +1),则 f(t)在(0,+∞)上是增函数。又 f(m)=f(-n), 4 所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= . 5

ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x=

4 ,但与 m<0 矛盾。 5

4 综上,方程有唯一实数解 x= . 5 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 2 x + 1 的值域。 1 【解】 y=x+ 2 x + 1 = [2x+1+2 2 x + 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x + 1 +1)-1≥ -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时,y 取最小值- ,所以函数值域是[- ,+∞)。 2 2 2 4.换元法。

例8

求函数 y=( 1 + x + 1 ? x +2)( 1 ? x 2 +1),x∈[0,1]的值域。

【解】令 1 + x + 1 ? x =u,因为 x∈[0,1],所以 2≤u2=2+2 1 ? x 2 ≤4,所以 2 ≤u≤2,所以
u2 2+2 u+2 u+2 2 ≤ ≤2,1≤ ≤2,所以 y= ,u ∈[ 2 +2,8]。 2 2 2 2 所以该函数值域为[2+ 2 ,8]。 5.判别式法。 x 2 ? 3x + 4 例 9 求函数 y= 2 的值域。 x + 3x + 4 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ≠ 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。 1 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0,解得 ≤y≤1. 7 又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 1 所以函数值域为[ ,7]。 7 6.关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证: y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2), x1=f(y1), x2=f(y2), y1≥y2, 设 则 若 则因为 f(x)在(-∞,+ ∞) 上递增,所以 x1≥x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。

4x + 1 ,解方程:f(x)=f--1(x). 3x + 2 2 1 【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,- )∪[- ,+∞);其次,设 x1, x2 是定义域内变量,且 3 4 5( x 2 ? x1 ) 2 4 x + 1 4 x1 + 1 x1<x2<- ; 2 ? = >0, 3 3x 2 + 2 3x1 + 2 (3x 2 + 2)(3x1 + 2) 2 1 所以 f(x)在(-∞,- )上递增,同理 f(x)在[- ,+∞)上递增。 3 4
例 11 设函数 f(x)= 4

在方程 f(x)=f--1(x)中,记 f(x)=f--1(x)=y,则 y≥0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x≥0,所以 x,y∈ 1 [- ,+∞). 4 若 x ≠ y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x≥0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 三、基础训练题 1.已知 X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2},映射 f:X→Y 满足:对任意的 x∈X,它在 Y 中的象 f(x)使得 x+f(x)为偶数,这样的映射有_______个。 2.给定 A={1,2,3},B={-1,0,1}和映射 f:X→Y,若 f 为单射,则 f 有_______个;若 f 为满射,则 f 有_______个;满足 f[f(x)] =f(x)的映射有_______个。 3.若直线 y=k(x-2)与函数 y=x2+2x 图象相交于点(-1,-1),则图象与直线一共有_______个 交点。 3 4 4.函数 y=f(x)的值域为[ , ],则函数 g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) 的值域为_______。 8 9 1 ,则函数 g(x)=f[f(x)]的值域为_______。 5.已知 f(x)= x +1 6.已知 f(x)=|x+a|,当 x≥3 时 f(x)为增函数,则 a 的取值范围是_______。 1 7.设 y=f(x)在定义域( ,2)内是增函数,则 y=f(x2-1)的单调递减区间为_______。 2 8. 若函数 y= ? (x)存在反函数 y= ? -1(x), y= ? -1(x)的图象与 y=- ? (-x)的图象关于直线_______ 则 对称。 1 1 1 ? x ?1? 9.函数 f(x)满足 f ? ? =1- + 2 ,则 f( )=_______。 x x x ? x ?
10. 函数 y= x + 1 ? x ? 1 , x∈(1, +∞)的反函数是_______。

11. 求下列函数的值域: 1) ( y= x ? 2 ? x ? 1 ; (2)y= x + y=

1 x

? x+

1 + 1 ; (3)y=x+2 x + 1 ; (4) x

x ?1 . x2 + 2 12. 已知 y = f (x ) 定义在 R 上,对任意 x∈R, f(x)=f(x+2),且 f(x)是偶函数,又当 x∈[2,3]时, f(x)=x,则当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的解析式。 四、高考水平训练题 ? 1 ? 1.已知 a∈ ? ? ,0? , f(x)定义域是(0,1],则 g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定义域为_______。 ? 2 ? 2.设 0≤a<1 时,f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1 恒为正值。则 f(x)定义域为_______。 3.映射 f: {a, b, c, d}→{1,2,3}满足 10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20,这样的映射 f 有_______ 个。 4.设函数 y=f(x)(x∈R)的值域为 R,且为增函数,若方程 f(x)=x 解集为 P,f[f(x)]=x 解集为 Q, 则 P,Q 的关系为:P_______Q(填=、 ? 、 ? )。
≠ ≠

5.下列函数是否为奇函数:(1)f(x)=(x-1)

1+ x ;(2)g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) 1? x

? (x)= x 2 ? 1 + 1 ? x 2 ;(4)y= x + 1 ? x ? 1.
6. 设函数 y=f(x)(x∈R 且 x ≠ 0),对任意非零实数 x1, x2 满足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2),又 f(x)在(0,+ 1 ∞)是增函数,则不等式 f(x)+f(x- )≤0 的解集为_______。 2 x∈P ?x 7.函数 f(x)= ? ,其中 P,M 为 R 的两个非空子集,又规定 f(P)={y|y=f(x), x∈ x∈M ?? x P}, f(M)={y|y=f(x), x∈M}, 给出如下判断: ①若 P∩M= ? , f(P) ∩f(M)= ? ; 则 ②若 P∩M ≠ ? , 则 f(P) ∩f(M) ≠ ? ;③若 P∪M=R, 则 f(P) ∪f(M)=R;④若 P∪M ≠ R,则 f(P) ∪f(M) ≠ R. 其 中正确的判断是_______。 8.函数 y=f(x+1)的反函数是 y=f-1(x+1),并且 f(1)=3997,则 f(1998)= _______。 9.已知 y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当 x∈[0,3]时是一次函数,当 x∈[3,6]时是 二次函数,又 f(6)=2,当 x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3。求 f(x)的解析式。 1 10.设 a>0,函数 f(x)定义域为 R,且 f(x+a)= + f ( x ) ? [ f ( x )] 2 ,求证:f(x)为周期函数。 2 4x ? t 设关于 x 的方程 2x2-tx-2=0 的两根为α, (α<β) 已知函数 f(x)= 2 β , ( 求 , 1) f(α)、 11. x +1 f(β);(2)求证:f(x)在[α,β]上是增函数;(3)对任意正数 x1, x2,求证:
? x α + x2 β f? 1 ? x +x 2 ? 1 ? ?? ? ? ? x β + x2α ? f? 1 ? x + x ? <2|α-β|. ? 2 ? 1 ?

五、联赛一试水平训练题 1.奇函数 f(x)存在函数 f-1(x),若把 y=f(x)的图象向上平移 3 个单位,然后向右平移 2 个单位 后,再关于直线 y=-x 对称,得到的曲线所对应的函数是________. 1? ? 1 2.若 a>0,a ≠ 1,F(x)是奇函数,则 G(x)=F(x) ? x + ? 是________(奇偶性). ? a ?1 2 ? ?1? x ? ?1? x ? 3.若 F ? ? =x,则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x);②F(-x)= F ? ?; ?1+ x ? ?1+ x ? ③F(x-1)=F(x);④F(F(x))=-x. 4.设函数 f: R→R 满足 f(0)=1, 且对任意 x,y∈R, 都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2, f(x)=________. 则 5. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数, f(1)=1, 且对任意 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。 若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2002)= ________. 1 6. 函数 f(x)= 的单调递增区间是________. 2 x ? 2x ? 3 x x 7. 函数 f(x)= ? 的奇偶性是:________奇函数,________偶函数(填是,非)。 x 2 1? 2
8. 函数 y=x+ x 2 ? 3x + 2 的值域为________. x ∈ [1,2] ?1 9.设 f(x)= ? , x ∈ (2,3] ?x ? 1

对任意的 a∈R,记 V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-min{f(x)-ax|x∈[1, 3]},试求 V(a)的最小值。

?1 ? x 2 = y ? 10.解方程组: ?1 ? y 2 = z. (在实数范围内) ?1 ? z 2 = x ?
11.设 k∈N+, f: N+→N+满足:(1)f(x)严格递增;(2)对任意 n∈N+, 有 f[f(n)]=kn,求证: 2k k +1 对任意 n∈N+, 都有 n≤f(n)≤ n. k +1 2 六、联赛二试水平训练题 ?1? 1.求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数 f,满足:(1)对任意 x≠0, f(x)=x·f ? ? ; ?x? (2)对所有的 x≠-y 且 xy≠0,有 f(x)+f(y)=1+f(x+y). 2.设 f(x)对一切 x>0 有定义,且满足:(ⅰ)f(x)在(0,+∞)是增函数;(ⅱ)任意 x>0, 1? ? f(x)f ? f ( x ) + ? =1,试求 f(1). x? ? 3. f:[0,1]→R 满足: 1) ( 任意 x∈[0, 1], f(x)≥0; 2) ( f(1)=1; 3) x, y, x+y∈[0, 1]时, ( 当 f(x)+f(y) ≤f(x+y),试求最小常数 c,对满足(1),(2),(3)的函数 f(x)都有 f(x)≤cx. 4. 试求 f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5.对给定的正数 p,q∈(0, 1),有 p+q>1≥p2+q2,试求 f(x)=(1-x) p 2 ? x 2 + x q 2 ? (1 ? x) 2 在

[1-q,p]上的最大值。

?x ? 6.已知 f: (0,1)→R 且 f(x)= ? p + 1 ? q ?

x ?Q x? . p , ( p, q ) = 1,0 < p < q q

?7 8? 当 x∈ ? , ? 时,试求 f(x)的最大值。 ?8 9?

?n ? 3 7.函数 f(x)定义在整数集上,且满足 f(n)= ? ? f [ f (n + 5)]

(n ≥ 1000) ,求 f(100)的值。 (n < 1000) π 8.函数 y=f(x)定义在整个实轴上,它的图象在围绕坐标原点旋转角 后不变。(1)求证: 2 方程 f(x)=x 恰有一个解;(2)试给出一个具有上述性质的函数。 f ( x) 9.设 Q+是正有理数的集合,试构造一个函数 f: Q+→Q+,满足这样的条件:f(xf(y))= , ? x, y y∈Q+.


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