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南京、淮安市2013届高三数学模拟考试(南京二模、淮安三模)


南京、淮安市 2013 届高三数学模拟考试(南京二模、淮安三模)
2013.3 参考公式:锥体的体积公式为 V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面面积,h 是锥体的高.

一、填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ....... 1.已知集合 A={ 2 ,3},B={2,

3}.若 A ? B={1,2,3},则实数 a 的值为____. 2.函数 f ( x ) ? sin x co s x 的最小正周期是__________. 3.若复数 z ?
1? mi 2?i
a

( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为____.

4.盒子中有大小相同的 3 只白球、2 只黑球,若从中随机地摸出两只球,则两只球颜色相 同的概率是______. 5.根据 2012 年初我国发布的《环境空气质量指数 AQI 技术规定(试行),AQI 》 共分为六级:(0 , 5 0 ] 为优,(5 0,1 0 0 ] 为良,(1 0 0,1 5 0 ] 为轻度污染,(1 5 0, 2 0 0 ] 为 中度污染, ( 2 0 0, 3 0 0 ] 为重度污染,300 以上为严重污染.2012 年 12 月 1 日出 版的《A 市早报》对 A 市 2012 年 11 月份中 30 天的 AQI 进行了统计,频率分布 直方图如图所示,根据频率分布直方图,可以看出 A 市该月环境空气质量优、良 的总天数为____. 6.右图是一个算法流程图,其输出的 n 的值是_____. 7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 3cm,圆心角为 ? 的扇形,则此圆锥
3 2

的高为___cm. 8.在平面直角坐标系 x O y 中,设过原点的直线 l 与圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 交
2 2

于 M、N 两点,若 MN ? 2 3 ,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是______. 9.设数列{ a n }是公差不为 0 的等差数列,S n 为其前 n 项和,若 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ,
2 2 2 2

S 5 ? 5 ,则 a 7 的值为_____.

10.若函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2
f ( x ) ? 1 的解集为______________.

x ?1

? 3 ,则不等式

11. ? A B C 中, 在 已知 AB=2, BC=3,? A B C ? 6 0 ? , ? AC, 为垂足, B D ? B C BD D 则 的值为____.

???? ????

12.关于 x 的不等式 ( 2 a x ? 1) ln x ? 0 对任意 x ? (0, ? ? ) 恒成立,则实数 a 的值为_____.

13.在平面直角坐标系 x O y 中,已知双曲线 C:
???? ? ????

x

2

?

y

2

? 1 .设过点 M(0,1)的直线 l 与双

4

3

曲线 C 交于 A、B 两点,若 A M ? 2 M B ,则直线 l 的斜率为_____. 14.已知数列{ a n }的通项公式为 a n ? 7 n ? 2 ,数列{ b n }的通项公式为 b n ? n .若将数列
2

{ a n },{ b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ c n },则 c 9 的值为_____. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)在 ? A B C 中,已知角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,且
c o sC cosB ? 2a ? c b

, (2)若 ta n ( A ?
?
4 ) ? 7 ,求 cos C 的值.

(1)求 B;

16, (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD//BC,PB ? 平面 ABCD,CD ? BD,PB=AB=AD=1,点 E 在线段 PA 上,且满足 PE=2EA. (1)求三棱锥 E-BAD 的体积; (2)求证:PC//平面 BDE.

17. (本小题满分 16 分)如图,某广场中间有一块扇形绿地 OAB,其中 O 为扇形所在圆的
A 圆心, ? A O B ? 6 0 ? ,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在 ? B 上选一点

C,过 C 修建与 OB 平行的小路 CD,与 OA 平行的小路 CE,问 C 应选在何处,才 能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长最大,并说明理由.

18 . 本小 题 满分 16 分) 已 知数 列 { a n } 的 各 项都 为正 数 ,且 对 任意 n ? N * , 都 有 (
a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? k (k 为常数).
2

(1)若 k ? ( a 2 ? a 1 ) ,求证: a 1 , a 2 , a 3 成等差数列; (2)若 k=0,且 a 2 , a 4 , a5 成等差数列,
2



a2 a1

的值;

(3)已知 a 1 ? a , a 2 ? b ( a , b 为常数),是否存在常数 ? ,使得 a n ? a n ? 2 ? ? a n ? 1 对任意
n ? N * 都成立?若存在.求出 ? ;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 x O y 中,椭圆 C:
a a , ), B ( 3 ,1) . 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 过点

A(

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 C 上,F 为椭圆的左焦点,直线 l 的方程为 x 0 x ? 3 y 0 y ? 6 ? 0 . ①求证:直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点; ②若点 F 关于直线 l 的对称点为 Q,求证:当点 P 在椭圆 C 上运动时,直线 PQ 恒过定点, 并求出此定点的坐标.

20. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 2 ) x ? a ln x .
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值; (3)若方程 f ( x ) ? c 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,求证: f ? (
x1 ? x 2 2 )? 0 .


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