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(教师典型例题专讲)2014届高三数学一轮提能一日一讲(11月28日)


【教师典型例题专讲】2014 届高三数学一轮提能一日一讲(11 月 28 日)
一、填空题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分. 1.已知直线 l1:?
? ?x=1-2t, ?y=2+kt ? ? ?x=s, ?y=1-2s ?

(t 为参数),l2:?

(s 为参数),若 l1∥l2,
<

br />则 k=________;若 l1⊥l2,则 k=________. 解析 将直线 l1,l2 的参数方程分别化为直角坐标方程为:l1:kx+2y-k-4 =0,l2: 2x+y-1=0. 若 l1∥l2,则 k=4; 若 l1⊥l2,则 2k+2=0,即 k=-1. 答案 4 -1 2.(2013·江西卷)设曲线 C 的参数方程为?
?x=t, ? ?y=t ?
2

(t 为参数),若以直角坐标系的

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 解析 曲线 C 的普通方程为 y=x ,又 ρ cosθ =x,ρ sinθ =y,代入得 ρ cos θ - ρ sinθ =0,即 ρ cos θ -sinθ =0. 答案 ρ cos θ -sinθ =0
2 2 2 2 2

? π? 3.(2013·北京卷)在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sinθ =2 的距离等于________. 6? ? ? π? 解析 极坐标系中点?2, ?对应直角坐标系中坐标( 3,1),极坐标系中直线 ρ sinθ 6? ?
=2 对应直角坐标系直线方程为 y=2,所以距离为 1. 答案 1 4.(2013·广东深圳一模) 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为?

?x= t, ?y=t+1

(t 为参数),曲线 C2 的极坐标方程为

ρ si nθ -ρ cosθ =3,则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中的坐标为________. 解析 将曲线 C1 的参数方程和曲线 C2 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程 C1:y=x + 1,C2:y-x=3, 由?
?y=x +1, ? ? ?y-x=3,
2 2

解得?

?x=2, ? ? ?y=5,

故交点坐标为(2,5). 答案 (2, 5)

5.(2013·广东卷)已知曲线 C:?

?x= 2cost, ?y= 2sint

(t 为参数),C 在点(1,1)处的切线

为 l.以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则 l 的极坐标方程为________. 解析 曲线 C 的普通方程为 x +y =2, 由圆的几何性质知, 切线 l 与圆心(0,0)与(1,1) 的连线垂直,故 l 的斜率为-1,从而 l 的方程为 y-1=-(x-1),即 x+y=2 化成极坐标 π? ? 方程为 ρ cosθ +ρ sinθ =2,化简得 ρ sin?θ + ?= 2. 4? ? π? ? 答案 ρ sin?θ + ?= 2 4? ? 6.(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为 ρ =4cosθ ,圆心为 C,点 P 的极坐标为
2 2

?4,π ?,则|CP|=________. ? 3? ? ?
解析 极坐标方程和极坐标在直角坐标中,方程为 x -4x+y =0,点 P 为(2,2 3), 所以|CP|= 答案 2 3 7.(2013·重庆卷)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
? ?x=t , 极坐标系.若极坐标方程为 ρ cosθ =4 的直线与曲线? 3 ?y=t ?
2 2 2



2



-2 3

2

=2 3.

(t 为参数)相交于 A,B 两

点,则|AB|=________. 解析
? ?x=t ρ cosθ = 4 化为普通方程 x = 4 , ? 3 ?y=t ?
2

化为 普通方程 y = x ,联立解得

2

3

A(4,8),B(4,-8),故|AB|=16.
答案 16 π? ? 8.(2013·广东揭阳一模)已知曲线 C1:ρ =2 2和曲 线 C2:ρ cos?θ + ?= 2,则 4? ?

C1 上到 C2 的距离等于 2的点的个数为________.
π? ? 2 2 2 解析 将方程 ρ =2 2与 ρ cos?θ + ?= 2化为直角坐标方程得 x +y =(2 2) 与 x 4 ? ? -y-2=0,知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 2 2的圆,C2 为直线,因圆心到直线 x-y-2 =0 的距离为 2,故满足条件的点的个数为 3. 答案 3 9.(2013·湖北卷)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为?
? ?x=acosφ , ?y=bsinφ ?

(φ 为

参数,a>b>0).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以

? ? x 轴正半轴为极轴)中, 直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρ sin?θ + ?= 4
π

?

?

2 m(m 为非零常 2

数)与 ρ =b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为________. 解析 椭圆的普通方程为 2+ 2=1, l 的直角坐标系方程为 x+y=m.圆的直角坐标系方 |m| 2 2 2 程为 x +y =b ,椭圆焦点(c,0)在直线上,则 c=|m|,直线与圆相切,则 =b,即 c= 2 2

x2 y2 a b

c c 6 b,e= = 2 2= . a 3 b +c
答案 6 3

二、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10.(本小题 10 分) (2013·福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的 π? ? 非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为? 2, ?,直线 l 的极坐标方程为 4? ? π? ? ρ cos?θ - ?=a,且点 A 在直线 l 上. 4? ? (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)圆 C 的参数方程为? 系. 解 π? π? ? ? (1)由点 A? 2, ?在直线 ρ cos?θ - ?=a 上,可得 a= 2. 4 4? ? ? ?
?x=1+cosα , ? ?y=sinα ?

(α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关

所以直线 l 的方程可化为 ρ cosθ +ρ sinθ =2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +y =1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1. 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 与圆 C 相交. 11.(本小题 10 分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为 π? ? 极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ =4sinθ ,ρ cos?θ - ?=2 2. 4? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为 1 2 = 2 <1, 2
2 2

x=t +a, ? ? ? b 3 y= t +1 ? ? 2


3

(t∈R 为参数),求 a,b 的值.

(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4,

2

2

直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
?x + y- =4, ? 解? ?x+y-4=0, ?
2 2

得?

?x1=0, ? ?y1=4, ?

?x2=2, ? ? ?y2=2. ?

π? ? π? ? 所 以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4, ?,?2 2, ?. 2 4? ? ? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, 由参数方程可得 y= x- +1. 2 2

b

ab

b ? ?2=1, 所以? ab ?- 2 +1=2. ?

解得 a=-1,b=2.

12.(本小题 10 分)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线 l 是过点 P(-1,2),方向向 π? ? 量为 n=(-1, 3)的直线,圆方程 ρ =2cos?θ + ?. 3? ? (1)求直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆相交于 M,N 两点,求|PM|·|PN|的值. 解 2π (1)∵n=(-1, 3),∴直线的倾斜角 α = . 3 1 ? ?x=-1-2t, (t 为参数), 即? 3 y=2+ t ? ? 2

2π ? ?x=-1+tcos 3 , ∴直线的参数方程为? 2π ?y=2+tsin 3 ? (t 为参数).

3 ?1 ? (2)∵ρ =2? cosθ + sinθ ?=cosθ + 3sinθ , 2 2 ? ? ∴ρ =ρ cosθ + 3ρ sinθ . ∴x +y - x+ 3y=0,将直线的参数方程代入得 t +(3+2 3)t+6+2 3=0. ∴|t1t2 |=6+2 3,即|PM|·|PN|=6+2 3.
2 2 2 2


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