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9.02两条直线的位置关系(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科高考一轮复习第九章《平面解析几何》

NO9.02 两条直线的位置关系(复习设计) [知识梳理] 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2. (ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2?k1· k2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点
?A1x+B1y+C1=0, ? 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组? 的解. ?A2x+B2y+C2=0 ?

2.几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. |Ax0+By0+C| (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 【知识拓展】 1.一般地,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+n =0. 2.过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R),但不包括 l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y 的系数对应相等. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2.( × ) |C1-C2| A2+B2 .

(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2 +B1B2=0.( √ ) |kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( × 1+k2 )

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(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ ) 1 (6)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的中点在直线 l 上.( √ ) k [考点自测] 1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 (1)充分性:当 a=1 时, B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行; (2)必要性:当直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行时有 a=-2 或 1. 所以“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件,故选 A. 2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 C. 2-1 答案 C |a-2+3| 解析 依题意得 =1. 1+1 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.∵a>0,∴a=-1+ 2. 3.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( A.-7 C.-1 或-7 答案 A 解析 3+m 5-3m l1 的斜率为- ,在 y 轴上的截距为 , 4 4 2 8 ,在 y 轴上的截距为 . 5+m 5+m B.-1 13 D. 3 ) B.2- 2 D. 2+1 )

l2 的斜率为-

3+m 2 又∵l1∥l2,由- =- 得,m2+8m+7=0, 4 5+m 得 m=-1 或-7. 5-3m 8 m=-1 时, = =2,l1 与 l2 重合,故不符合题意; 4 5+m 5-3m 13 8 m=-7 时, = ≠ =-4,符合题意. 4 2 5+m 4.(2014· 福建)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2=4 的圆心,且与直线 x+y+1=0 垂直,则 l 的方程是( A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
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)

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C.x+y-3=0 答案 D

D.x-y+3=0

解析 圆 x2+(y-3)2=4 的圆心为点(0,3), 又因为直线 l 与直线 x+y+1=0 垂直, 所以直线 l 的斜率 k=1. 由点斜式得直线 l:y-3=x-0,化简得 x-y+3=0. 5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a=________. 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得 a=0 或 a=1. [例题选讲] 题型一 两条直线的平行与垂直 例1 (1)已知两条直线 l1:(a-1)· x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0 平行,则 a 等于( B.2 D.-1 或 2 )

A.-1 C.0 或-2

(2)已知两直线方程分别为 l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若 l1⊥l2,则 a=________. 答案 解析 (1)D (2)-2 (1)若 a=0,两直线方程为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时两直线相交,不平行,所以 a≠0.当 a≠0 时,若两

a-1 2 1 直线平行,则有 = ≠ ,解得 a=-1 或 a=2,选 D. 1 a 3 (2)方法一 ∵l1⊥l2, ∴k1k2=-1, a 即 =-1, 2 解得 a=-2. 方法二 ∵l1⊥l2, ∴a+2=0,a=-2. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情

况.同时还要注意 x、y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 已知两直线 l1:x+ysin α-1=0 和 l2:2x· sin α+y+1=0,求 α 的值,使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 (1)方法一 当 sin α=0 时,直线 l1 的斜率不存在,l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于 l2.

1 当 sin α≠0 时,k1=- ,k =-2sin α. sin α 2

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1 2 要使 l1∥l2,需- =-2sin α,即 sin α=± . sin α 2 π 所以 α=kπ± ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4 π 故当 α=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin2α-1=0, 2 π 所以 sin α=± .所以 α=kπ± ,k∈Z. 2 4 又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α≠0,即 sin α≠-1. π 故当 α=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α+sin α=0,即 sin α=0,所以 α=kπ,k∈Z. 故当 α=kπ,k∈Z 时,l1⊥l2. 题型二 两条直线的交点与距离问题 例2 1 (1)已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=- x+2 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是________. 2

(2)直线 l 过点 P(-1,2)且到点 A(2,3)和点 B(-4,5)的距离相等,则直线 l 的方程为_____________________ 答案 1 1 - , ? (1)? ? 6 2? (2)x+3y-5=0 或 x=-1

y=kx+2k+1, ? ? 解析 (1)方法一 由方程组? 1 ? ?y=-2x+2, 2-4k x= ? ? 2k+1, 解得? 6k+1 y= ? ? 2k+1. 1 (若 2k+1=0,即 k=- ,则两直线平行) 2 ∴交点坐标为?

?2-4k,6k+1?. ? ?2k+1 2k+1?

又∵交点位于第一象限, 2-4k ? ?2k+1>0, ∴? 6k+1 ? ?2k+1>0, 1 1 解得- <k< . 6 2 方法二 如图,已知直线
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1 y=- x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0),B(0,2). 2 而直线方程 y=kx+2k+1 可变形为 y-1=k(x+2),表示这是一条过定点 P(-2,1),斜率为 k 的动直线. ∵两直线的交点在第一象限, ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA<k<kPB. 1 1 ∵kPA=- ,kPB= . 6 2 1 1 ∴- <k< . 6 2 (2)方法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0. |2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 由题意知 = , k2+1 k2+1 即|3k-1|=|-3k-3|, 1 ∴k=- . 3 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符合题意. 1 方法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- , 3 1 直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当 l 过 AB 中点时,AB 的中点为(-1,4). ∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意:①点 P(x0,y0)到直线 x=a 的距离 d=|x0-a|,到直线 y=b 的距离 d=|y0-b|;②两平行线 间的距离公式要把两直线方程中 x,y 的系数化为相等. (1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0 所截的线段的中点 在直线 l3:x-y-1=0 上,求其方程.
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解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0. 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0, 即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1), ∴(1+λ)(-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0. 1 解得 λ=- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 (2)正方形的中心为点 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程. 解 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 |-1-5| 3 10 d= = . 5 1+9 设与 x+3y-5=0 平行的一边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 |-1+m| 3 10 d= = , 5 1+9 解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 |-3+n| 3 10 d= = , 5 1+9 解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0. 题型三 对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l,使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被点 P 平分,则直线 l 的 方程为________________. 答案 x+4y-4=0 解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上,代入 l2 的方程得 -a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上,所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 命题点 2 点关于直线对称 例 4 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为____________. 33 4 - , ? 答案 ? ? 13 13?
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解析 设 A′(x,y),由已知得 y+2 2 ? ?x+1×3=-1, ? x-1 y-2 ?2× 2 -3× 2 +1=0, ?

?x=-13, 解得? 4 ?y=13,
33 4 ? 故 A′? ?-13,13?. 命题点 3 直线关于直线的对称问题 例 5 已知直线 l:2x-3y+1=0,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. 解 在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上.

33

设对称点 M′(a,b),则 a+2? b+0? 2×? -3×? ? ? ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ?a-2×3=-1, ?

?a=13, 解得? 30 ?b=13,
6 30? ∴M′? ?13,13?. 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
?2x-3y+1=0, ? 由? ?3x-2y-6=0, ?

6

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3). ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称
? ?x′=2a-x, ①点 P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足? ?y′=2b-y. ?

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称

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n-b ? A? ? ?m-a×?-B?=-1, ①点 A(a,b)关于直线 Ax+By+C=0(B≠0)的对称点 A′(m,n),则有? a+m b+n ? ?A· 2 +B· 2 +C=0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点,光线从点 P 出发, 经 BC, CA 发射后又回到原点 P(如图).若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( )

A.2 8 C. 3 答案 D 解析 建立如图所示的坐标系:

B.1 4 D. 3

可得 B(4,0),C(0,4),故直线 BC 的方程为 x+y=4, △ABC 的重心为

?0+0+4,0+4+0?,设 P(a,0),其中 0<a<4, 3 ? ? 3
则点 P 关于直线 BC 的对称点 P1(x,y), a+x y+0 ? ? 2 + 2 =4, 满足? y-0 ?-1?=-1, ?x-a· ?
?x=4, ? 解得? 即 P1(4,4-a),易得 P 关于 y 轴的对称点 P2(-a,0), ?y=4-a, ?

由光的反射原理可知 P1,Q,R,P2 四点共线, 4-a-0 4-a 直线 QR 的斜率为 k= = , 4-?-a? 4+a 4-a 故直线 QR 的方程为 y= (x+a), 4+a
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4 4 由于直线 QR 过△ABC 的重心( , ),代入化简可得 3a2-4a=0, 3 3 4 ? 4 4 解得 a= ,或 a=0(舍去),故 P? ?3,0?,故 AP=3. 3 [巩固作业]A 组 专项基础训练(时间:35 分钟) 1.已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB 为直角三角形,则必有 ( A.b=a3 1 B.b=a3+ a
3 1? C.(b-a3)? ?b-a -a?=0 3 1? D.|b-a3|+? ?b-a -a?=0

)

答案 C π 解析 若以 O 为直角顶点,则 B 在 x 轴上,则 a 必为 0,此时 O,B 重合,不符合题意;若∠A= ,则 b=a3≠0. 2 a3-b π 1 若∠B= ,根据垂直关系可知 a2· =-1,所以 a(a3-b)=-1,即 b-a3- =0.以上两种情况皆有可能,故只 2 a a 有 C 满足条件. 2.已知过点 A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点 C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则 m 的值为( A.-1 B.-2 C.2 D.1 答案 B 解析 由题意得:kAB= m-0 m = , -5-?m+1? -6-m )

5-3 1 kCD= = .由于 AB∥CD,即 kAB=kCD, 0-?-4? 2 m 1 所以 = ,所以 m=-2. -6-m 2 1 3.当 0<k< 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交点在 ( 2 A.第一象限 C.第三象限 答案 B
?kx-y=k-1, ? ? k ,2k-1?,因为 0<k<1,所以 k <0,2k-1>0, 解析 解方程组? 得两直线的交点坐标为? ? 2 k-1 k-1 ?k-1 k-1 ? ? ?ky-x=2k

)

B.第二象限 D.第四象限

故交点在第二象限. 4.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称,则直线 l2 经过定点 ( A.(0,4) C.(-2,4) B.(0,2) D.(4,-2)
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)

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答案 B 解析 直线 l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1) 对称,故直线 l2 经过定点(0,2). 5.从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 答案 A 1 1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程为 y-3= (x-2),其与 y 轴的 2 2 交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知 A 正确.
? y-3 ? =3?,N={(x,y)|ax+2y+a=0}且 M∩N=?,则 a=________. 6.已知 M=??x,y?| x -2 ? ?

)

B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0

答案 -2 或-6 解析 由题可知,集合 M 表示过点(2,3)且斜率为 3 的直线,但除去(2,3)点,而集合 N 表示一条直线,该直线的斜率 a a 为- ,且过(-1,0)点,若 M∩N=?,则有两种情况:①集合 M 表示的直线与集合 N 所表示的直线平行,即- =3, 2 2 解得 a=-6;②集合 N 表示的直线过(2,3)点,即 2a+2×3+a=0,解得 a=-2,综上,a=-2 或-6. 7.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,若 l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则 a +b=________. 8 答案 0 或 3 a+b?a-1?=0, ? ? 4 |b| 解析 由题意得? . 2 2= ? ?a-1?2+1 ? a +?-b?

? ?a=2, ?a= , ? 解得? 或? 3 ?b=-2 ? ? ?b=2
8 ∴a+b 的值为 0 或 . 3

2

经检验,两种情况均符合题意,

π 8. 已知直线 l1: ax+y-1=0, 直线 l2: x-y-3=0, 若直线 l1 的倾斜角为 , 则 a=________; 若 l1⊥l2, 则 a=________; 4 若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为________. 答案 -1 1 2 2 π 解析 若直线 l1 的倾斜角为 , 则-a=k=tan 45° =1, 故 a=-1; 若 l1⊥l2, 则 a×1+1×(-1)=0, 故 a=1; 若 l1∥l2, 4 则 a=-1,l1:x-y+1=0,两平行直线间的距离 d= |1-?-3?| =2 2. 1+1

9.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为
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x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解 依题意知:kAC=-2,A(5,1),

∴lAC 为 2x+y-11=0,
?2x+y-11=0, ? 联立 lAC、lCM 得? ∴C(4,3). ?2x-y-5=0, ?

x0+5 y0+1 设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为( , ), 2 2 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,
? ?2x0-y0-1=0, ∴? ∴B(-1,-3), ?x0-2y0-5=0, ?

6 6 ∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4), 5 5 即 6x-5y-9=0. 10.已知直线 l 经过直线 l1:2x+y-5=0 与 l2:x-2y=0 的交点. (1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)易知 l 不可能为 l2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y

-5=0, ∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3, ∴ =3, ?2+λ?2+?1-2λ?2 |10+5λ-5|

1 即 2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或 λ= , 2 ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0. (2)由?
?2x+y-5=0, ? ? ?x-2y=0,

解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离,则 d≤PA(当 l⊥PA 时等号成立).

∴dmax=PA= ?5-2?2+?0-1?2= 10.

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