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2013-2014学年高中数学(人教A版必修1)第一章集合与函数本章练习及答案解析


第一章 集合与函数
建议用时 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.集合{1,2,3}的所有真子集的个数为( A.3 C.7 B.6 D.8 ) ) 实际用时 满分 150 分 实际得分

2.下列五个写法,其中错误写法的个数为( .. ①{0}∈{0,2,3};②? A.1 C.3

{0};③{0,1,2}?{1,2,0};④0∈?;⑤0∩?=?.

B.2 D.4

3. 使根式 x-1与 x-2分别有意义的 x 的允许值集合依次为 M、 则使根式 x-1+ x-2 F, 有意义的 x 的允许值的集合可以表示为( A.M∪F C.?MF B.M∩F D.?FM ) )

4.已知 M={x|y=x2-2},N={y|y=x2-2},则 M∩N 等于( A.N C.R B.M D.?

5.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上

2

的表达式是(



A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)
6.等腰三角形的周长是 20,底边长 y 是一腰的长 x 的函数,则 y 等于( A.20-2x(0<x≤10) B.20-2x(0<x<10) C.20-2x(5≤x≤10) D.20-2x(5<x<10) 7.用固定的速度向如图所示形状的瓶中注水,则水面的高度 h 和时间 t 之间的关系 是 ( ) )

8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ①y=f(|x|); ③y=xf(x); A.①③ C.①④ ②y=f(-x); ④y=f(x)+x. B.②③ D.②④ )

)

3 9.已知 0≤x≤ ,则函数 f(x)=x2+x+1( 2 3 A.有最小值- ,无最大值 4 3 B.有最小值 ,最大值 1 4 C.有最小值 1,最大值 D.无最小值和最大值 19 4

10. 已知函数 f(x)的定义域为[a, 函数 y=f(x)的图象如图所示, b], 则函数 f(|x|)的图象是 (

)

c

11.若偶函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( 3 A.f(- )<f(-1)<f(2) 2 3 B.f(-1)<f(- )<f(2) 2 3 C.f(2)<f(-1)<f(- ) 2 3 D.f(2)<f(- )<f(-1) 2

)

12.(2009· 四川高考)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 1 2 5 2

? f? ?

? 5 ?? f ? ? ? 的值是( ? 2 ??

)

A.0 C.1

B. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设全集 U={a,b,c,d,e},A={a,c,d},B={b,d,e},则 ? UA∩ ? UB=________. 14.设全集 U=R,A={x|x≥1},B={x|-1≤x<2},则 ? U(A∩B)=________. 1 5 . 已 知 函 数 f ( x ) = x 2 + 2 ( a - 1 ) x + 2 (-∞,3]上为减函数,则实数 a 的取值范围为________. 16.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 在 区 间

f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解

析式为_______.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分) 设 A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且 A∩B={2}. (1)求 a 的值及集合 A,B; (2)设全集 U=A∪B,求( ? UA)∪ ( ? UB); (3)写出( ? UA)∪( ? UB)的所有子集

18.(12 分)已知集合 A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若 B≠? 且 BA,求 a,b 的值.

19.(12 分) 已知函数 f(x)=x2-2x+2. 1 (1)求 f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值; 2 (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

20. 分)已知函数 f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值 3, (12 求实数 a 的值.

21.(12 分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该 货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为 300 元/时,其他主要参考数据如下:
工 具 汽 车 火 车 100 4 4 1 800 50 8 2 1 000 途中速度 (千米/时) 途中费用 (元/千米) 装卸时 间(小时) 装卸费 用(元)

问:如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小?

22.(12 分)已知 f(x)的定义域为(0,+∞),且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当 x2>x1>0 时, f(x2)>f(x1). (1)求 f(1)、f(4)、f(8)的值; (2)若有 f(x)+f(x-2)≤3 成立,求 x 的取值范围

一、选择题 1. C 2. C 3. B 4. A 5. D 解析: 含一个元素的有{1}, {2}, {3}, 3 个; 共 含两个元素的有{1,2}, {1,3}, {2,3}, 解析:②③正确. 解析:根式 x-1+ x-2有意义,必须 x-1与 x-2同时有意义才可. 解析:M={x|y=x2-2}=R,N={y|y=x2-2}={y|y≥-2},故 M∩N=N. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数,
2

共 3 个;空集是任何非空集合的真子集,故共有 7 个.

∴ 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x=x(-x-2) . ∴ f ( x) ? ?
6. D 由得. 7. B 8. D 解析:水面升高的速度由慢逐渐加快. 解析:因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函

? x( x ? 2)( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2). ? x(? x ? 2)( x ? 0),

解析:C=20=y+2x,由三角形两边之和大于第三边可知 2x>y=20-2x,x>5;

数; ②y=f(-x)为奇函数; ③令 F(x)=xf(x), 所以 F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)· [-f(x)]=xf(x), 所以 F(-x)=F(x),所以 y=xf(x)为偶函数;④令 F(x)=f(x)+x,所以 F(-x)=f(-x)+(- x)=-f(x)-x=-[f(x)+x],所以 F(-x)=-F(x),所以 y=f(x)+x 为奇函数. 9. C 1 3 3 解析:f(x)=x2+x+1=(x+ )2+ ,画出该函数的图象知,f(x)在区间[0, ]上是增 2 4 2

3 19 函数,所以 f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f( )= . 2 4 10. B 11. D 解析:因为 y=f(|x|)是偶函数,所以 y=f(|x|)的图象是由 y=f(x)把 x≥0 的图象保留, 解析:由 f(x)是偶函数,得 f(2)=f(-2),又 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且 再关于 y 轴对称得到的. 3 3 -2<- <-1,则 f(2)<f(- )<f(-1). 2 2 12. A 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析:令 x=- ,则- f( )= f(- ),又∵ f ( )=f (- ),∴ f ( )=0;令 x= , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 f ( 3 2 ) =

3 1 3 3 3 5 5 3 5 f ( ),得 f ( )=0;令 x= ,则 f ( )= f ( ),得 f ( )=0;而 0· f(1)=f(0)=0,∴ f =f(0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =0,故选 A. 二、填空题 13. ? 解析: ? UA∩ ? UB= ? U(A∪B),而 A∪B={a,b,c,d,e}=U. 解析:A∩B={x|1≤x<2},∴ ? U(A∩B)={x|x<1 或 x≥2}. 解析:函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=1-a,则由题意知:1-a≥3,即 a≤-

14. {x|x<1 或 x≥2} 15. a≤-2 2. 16.

f ( x) ?

1 x
2

?1

解析:由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,





f ( x) ? g ( x) ?

1 ? x ?1







f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1





1 1 1 1 f ( x) ? ( ? )? 2 . 2 x ?1 ? x ?1 x ?1
三、解答题 17.解:(1)由交集的概念易得,2 是方程 2x2+ax+2=0 和 x2+3x+2a=0 的公共解,则 a=
?1 ? -5,此时 A=?2,2?,B={-5,2}. ? ?

1 ? ? (2)由并集的概念易得,U=A∪B=?-5,2,2?.
? ? ?1? 由补集的概念易得, ? UA={-5}, ? UB=?2?. ? ?

1? ? 所以( ? UA)∪( ? UB)=?-5,2?.
? ?

1? 1? ? ?1? ? (3)( ? UA)∪( ? UB)的所有子集即集合?-5,2?的所有子集: ?2?,{-5},?-5,2?. ,
? ? ? ? ? ?

18.解:(1)当 B=A={-1,1}时,易得 a=0,b=-1. (2)当 B 含有一个元素时,由 Δ=0 得 a2=b. 当 B={1}时,由 1-2a+b=0,得 a=1,b=1; 当 B={-1}时,由 1+2a+b=0,得 a=-1,b=1. 1 19.解:(1)∵ f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[ ,3], 2 1 5 ∴ f(x)的最小值是 f(1)=1.又 f( )= ,f(3)=5, 2 4 ∴ f(x)的最大值是 f(3)=5, 1 即 f(x)在区间[ ,3]上的最大值是 5,最小值是 1. 2 (2)∵ g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2, m+2 m+2 ∴ ≤2 或 ≥4,即 m≤2 或 m≥6. 2 2 故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). a 20.解:f(x)=4?x-2? +2-2a. ? ? a (1)当 <0,即 a<0 时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得 a=1- 2或 a=1 2(舍去). 2 a a 1 (2) 当 0≤ ≤2,即 0≤a≤4 时,f(x)min=?2?=2-2a=3,解得 a=- (舍去). ? ? 2 2 a (3) 当 >2,即 a>4 时,f(x)min=f(2)=a2-10a+18=3,解得 a=5+ 10或 a=5 10(舍 2 去). 综上可知:a 的值为 1- 2或 5+ 10. 21.解:设甲、乙两地距离为 x 千米(x>0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为 y1 和 y2. 由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表: 工具 汽车 火车 途中及装卸费用 8x+1 000 4x+1 800 途中时间 x +2 50 x +4 100
2

于是 y1=8x+1 000+(

x +2)× 300=14x+1 600, 50

x y2=4x+1 800+( +4)× 300=7x+3 000.令 y1-y2<0 得 x<200. 100 ①当 0<x<200 时,y1<y2,此时应选用汽车; ②当 x=200 时,y1=y2,此时选用汽车或火车均可; ③当 x>200 时,y1>y2,此时应选用火车. 故当距离小于 200 千米时,选用汽车较好;当距离等于 200 千米时,选用汽车或火车均 可;当距离大于 200 千米时,选用火车较好. 22.解:(1)f(1)=f(1)+f(1),∴ f(1)=0,f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,f(8)=f(2)+f(4)=1+2= 3. (2)∵ 又∵ f(x)+f(x-2)≤3,∴ f[x(x-2)]≤f(8). 对于函数 f(x)有 x2>x1>0 时 f(x2)>f(x1),∴ f(x)在(0,+∞)上为增函数.

∴ 解得 2<x≤4. ∴ x 的取值范围为(2,4]


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