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高中数学必修二直线与方程经典



高中数学必修 2 知识点——直线与方程 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 0 用 k 表示。即 k ? tan ? (? ? 90 ) 。斜率反映直线与 x 轴的倾斜程度。
? 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

?

?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、 P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例.如右图,直线 l1 的倾斜角?=30°,直线 l1⊥l2,求直线 l1 和 l2 的斜率. y 解:k1=tan30°= ∴k2 =— 3 例:直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是( A.120° B.150° ) C.60° D.30°

3 ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1 3
?1 o

l1 ?2

x

l2

(3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

线,直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ,当写成 ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) 的形式时,方程 可以表示任何一条直线。 ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )即不包含于平行于 x 轴或 y 直线两点轴的直 y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。
对于平行于坐标轴或者过原点的方程不能用截距式。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; 例题:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是 ? ,经过点 A(8,—2); . 2 (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; .

3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2 4)经过两点 P1(3,—2)、P2(5,—4);
例 1:直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 C.C=0,AB<0 的象限是( A.第一 ) B.第二 D.C=0,AB>0

. . )

例 2:直线 l 的方程为 Ax—By—C=0,若 A、B、C 满足 AB.>0 且 BC<0,则 l 直线不经 C.第三 D.第四

(4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1

A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为

0 的常数)的直线系:

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)

y? y0 ?k ? x? x0 ? ,直线过定点 ?x , y ?;
0 0

系方程为 ? A1x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0( ? 为参数) , 其中直线 l 2 不在直线系中。 (三)垂直直线系 垂直于已知直线 Ax ? By ? C

: A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线
? 0 ( A, B 是不全为 0 的常数)的直线系:
。(m∈R)

Bx ? Ay ? C? ? 0
例 1:直线 l:(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0 所经过的定点为 (5)两直线平行与垂直 当 l1

: y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

(1) l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; (2) l1 ? l 2 ? k1k 2 ? 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (3) k1 ? k2 , b1 ? b2 ? l1 与 l2 重合; (4) k1 ? k2 ? l1 与 l2 相交。 另 外一 种形式 :一般 的, 当

?1

l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0( A1 , B1不全为0)





l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0( A2 , B2不全为0) 时,

? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ?? ,或者 ? 。 ? B1C 2 ? B2 C1 ? 0 ? A1C2 ? A2C1 ? 0 (2) l1 ? l2 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 。
l / / l2 (1) 1

(3) l1 与 l2 重合 ? A 1B2 ? A 2B 1=B 1C2 ? B2C1 = AC 1 2 ?A 2C1 =0。 (4) l1 与 l2 相交 ? A 1 B2 ? A2 B 1 ? 0。 例.设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(—3,4),直线 l2 经过点 C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1/ / l2 (2)

l1⊥l1 时分别求出 m 的值

例 1.已知两直线 l1: x+(1+m) y =2—m 和 l2:2mx+4y+16=0,m 为何值时 l1 与 l2①相交②平 行 例 2. 已知两直线 l1:(3a+2) x+(1—4a) y +8=0 和 l2:(5a—2)x+(a+4)y—7=0 垂直,求 a 值 (6)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
交点坐标即方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

例 3.求两条垂直直线 l1:2x+ y +2=0 和 l2: mx+4y—2=0 的交点坐标 例 4. 已知直线 l 的方程为 y ? ?

1 x ?1, 2

(1)求过点(2,3)且垂直于 l 的直线方程;(2)求过点(2,3)且平行于 l 的直线方程。 例 2:求满足下列条件的直线方程 (1) 经过点 P(2,3)及两条直线 l1: x+3y—4=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点 Q; (2) 经过两条直线 l1: 2x+y—8=0 和 l2:x—2y+1=0 的交点且与直线 4x—3y—7=0 平行; (3) 经过两条直线 l1: 2x—3y+10=0 和 l2:3x+4y—2=0 的交点且与直线 3x—2y+4=0 垂直; (7)两点间距离公式:设 则|

A( x1 , y1 ),( B x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,

AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

(8)点到直线距离公式:一点

P?x0 , y0 ?

到 直 线 l1: Ax?By?C?0 的 距 离

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 对于 l1 : A1 x ? B1 y ? C1

? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 来说:

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2



例 1:求平行线 l1:3x+ 4y —12=0 与 l2: ax+8y+11=0 之间的距离。 例 2:已知平行线 l1:3x+2y —6=0 与 l2: 6x+4y—3=0,求与它们距离相等的平行线方程。 (10) 对称问题 1) 中 心对 称 A 、 若点 M ( x1 , y1 ) 及 N ( x, y) 关于 P ( a, b) 对 称 ,则 由中点 坐标公 式得

? x ? 2 a ? x1 , B、直线关于点的对称,主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐 ? ? y ? 2b ? y1 .
标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标, 再由两点式求出直线方程, 或者求出一个

对称点,再利用 l1 / / l2 ,由点斜式得出所求直线的方程。
l: Ax?By?C?0 对 2) 轴对称 A、点关于直线的对称: 若 P 1 ( x1 , y1 ) 与 P 2 ( x2 , y2 ) 关于直线

称,则线段 PP 1 2 的中点在对称轴 l 上,而且连结 PP 1 2 的直线垂直于对称轴 l ,由方程组

y ? y2 ? x1 ? x2 A? ? B? 1 ? C ? 0, ? 2 2 ? 可得到点 P ?y ? y 1 关于 l 对称的点 P 2 的坐标 ( x2 , y2 ) (其中 B 1 2 ? ? , ? x1 ? x2 A ?

A ? 0, x1 ? x2 ) 。

B、直线关于直线的对称:此类问题一般转化为关于直线对称的

点来解决,若已知直线 l1 与对称轴 l 相交,则交点必在与 l1 对称的直线 l2 上,然后再求 出 l1 上任一个已知点 P 1 关于对称轴 l 对称的点 P 2 ,那么经过交点及点 P 2 的直线就是 l 2 ; 若已知直线 l1 与对称轴 l 平行,则与 l1 对称的直线和 l1 到直线 l 的距离相等,由平行直线 系和两条平行线间的距离,即可求出 l1 的对称直线。 例 1:已知直线 l:2x—3y+1=0 和点 P(—1,—2). (1) 分别求:点 P(—1,—2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标 (2) 分别求:直线 l:2x—3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程. (3) 求直线 l 关于点 P(—1,—2)对称的直线方程。 (4) 求 P(—1,—2)关于直线 l 轴对称的直线方程。 例 2:点 P(—1,—2)关于直线 l: x+y—2=0 的对称点的坐标为 11. 中点坐标公式:已知两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1),则线段的中点 M 坐标为( 。

x1 ? x 2 , 2

y1 ? y 2 ) 2
例. 已知点 A(7,—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程


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