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直线的交点以及距离


一、两条直线的位置关系
已知两条直线的方程为 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 1)两条直线相交、平行与重合条件: ① 相交的条件: A 1B2 ? A2 B 1 ?0 ② 平行的条件: A 1B2 ? A2 B 1 ? 0且 B 1C2 ? C1B2 ? 0 ③ 重合的条件: A1 ? ?

A2 , B1 ? ? B2 , C1 ? ?C2 ? ? ? 0? 2)两条直线垂直的条件: A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 延伸: 斜率存在的情况下:两条直线为 l1 : y ? k1 x ? b1 ; l2 : y ? k2 x ? b2 相交的条件: k1 ? k2 ;平行的条件: k1 ? k2 且 b1 ? b2 ;重合的条件: k1 ? k2 , b1 ? b2 . 两条直线垂直的条件: k1k2 ? ?1.

二、点到直线的距离公式
1)点 P ? x0 , y0 ? 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d 的计算公式: d ?
y R(x 1,y 0) Q O S(x 0,y2) x

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

P(x 0,y0)

设 A ? 0 , B ? 0 这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交. 如图:过 P ? x0 , y0 ? 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R ? x1, y0 ? ; 作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ? x0 , y2 ? ,由 Ax1 ? By0 ? C ? 0 , Ax0 ? By2 ? C ? 0 , 得 x1 ?

? By0 ? C ? Ax0 ? C Ax0 ? By0 ? C |, , y2 ? ,∴ | PR | ?| x0 ? x1 | ? | A B A Ax0 ? By0 ? C | , | RS |? B

| PS |?| y0 ? y2 | ?|
?

PR ? PS

2

2

A2 ? B2 ? | Ax0 ? By0 ? C | | A? B |

由三角形面积公式知: d ? | RS |?| PR | ? | PS | ,

∴d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

,当 A ? 0 或 B ? 0 时,以上公式仍适用.

2)两条平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离为 d , 则d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2



3)已知 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 d ? A, B ? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

三、对称问题
1)求已知点关于点的对称点

P ? x ', y '? 关于点 Q ? x0 , y0 ? 的对称点为 ? 2x0 ? x ',2 y0 ? y '?
2)求直线关于点的对称直线 方法一:利用中点公式可求得点 P ? x0 , y0 ? 关于点 A? a, b? 的对称点为

P ' ? 2a ? x0 , 2b ? y0 ? ,求一条直线关于点 A? a, b? 的对称直线方程时可在该直线上取某个
两个特殊点,再求它们关于点 A 的对称点坐标,然后利用两点式求其直线方程; 方法二: (一般性方法)可设所求的直线上任一点坐标为 ? x, y ? ,再求它关于 A? a, b? 的对 称点坐标,而它的对称点在已知直线上,将其代入已知直线方程,便可得到关于 x , y 的方 程,即为所求的直线方程. 常见的对称结论有: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , ① l 关于 2 x 轴对称的直线是 Ax ? B ? ? y ? ? C ? 0 ② l 关于 y 轴对称的直线是 A? ? x ? ? By ? C ? 0 ③ l 关于原点对称的直线是 A? ?x ? ? B ? ? y ? ? C ? 0 ④ l 关于 y ? x 对称的直线是 Ay ? Bx ? C ? 0 ⑤ l 关于 y ? ? x 对称的直线是 A? ? y ? ? B ? ?x ? ? C ? 0 3)求点关于直线的对称点 ①设 P ? x0 , y0 ? , l : Ax ? By ? C ? 0 A ? B ? 0 ,设 P 关于 l 的对称点的坐标
2 2

?

?

Q ? x, y ? ,则 l 是 PQ 的垂直平分线,即 a. PQ ? l ;b. PQ 的中点在 l 上,解方程组

? y ? y0 ? A ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? x ? x0 ? B ? 可得 Q 点坐标. ? ? A ? x ? x0 ? B ? y ? y0 ? C ? 0 ? ? 2 2
②点 A? x, y ? 关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称点 A ' 的坐标为 ? ? y ? c, ? x ? c ? ,关于直线

x ? y ? c ? 0 的对称点 A '' 的坐标为 ? y ? c, x ? c ? .曲线 f ? x, y ? ? 0 关于直线
x ? y ? c ? 0 的对称曲线为 f ? ? y ? c, ? x ? c ? ? 0 ,关于直线 x ? y ? c ? 0 的对称曲线为

f ? y ? c, x ? c ? ? 0 .
常见的结论有: a. A? a, b? 关于 x 轴的对称点为 A ' ? a, ?b ? ; b. B ? a, b? 关于 y 轴的对称点为 B ' ? ?a, b ? ; c. C ? a, b? 关于 y ? x 轴的对称点为 C ' ? b,a ? ; d. D ? a, b? 关于 y ? ? x 轴的对称点为 D ' ? ?b,? a ? ; e. E ? a, b ? 关于 x ? m 轴的对称点为 E ' ? 2m ? a,b ? ;

一、两条直线位置关系与距离问题
用点到直线的距离公式时,直线方程要化为一般式,还要注意公式中分子含有绝对值的符 号,分母含有根式的符号.而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一 点,再求这一点到另一直线的距离. 【题干】已知直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,且 P ? a, b? 在直线 l 上,求 最小值. 【答案】 【解析】 【点评】 【题干】已知直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 与 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,且 l1 , l2 之间的 距离为 5 ,求直线 l1 的方程. 【答案】 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 或 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 . 【解析】因为 l1 ? l2 ,∴

? a ?1? ? ? 2b ? 1?
2

2



m 8 n ?m ? 4 ?m ? ?4 ? ? ,∴ ? 或? 2 m ?1 ?n ? ?2 ?n ? 2

(1)当 m ? 4 时,直线 l1 的方程为 4 x ? 8 y ? n ? 0 ,把 l2 的方程写成 4 x ? 8 y ? 2 ? 0 . ∴

|n?2| ? 5 ,解得 n ? ?22 或 n ? 18 . 所以,所求直线的方程为 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 或 16 ? 64

2x ? 4 y ? 9 ? 0 .
(2)当 m ? -4 时,直线 l1 的方程为 4 x ? 8 y ? n ? 0 , l2 的方程为 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 , ∴

?n ? 2 ? 5 ,解得 n ? ?18 或 n ? 22 .所以,所求直线的方程为 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 或 16 ? 64

2 x ? 4 y ? 11 ? 0 .
【点评】 【题干】已知点 A ? ?3,8? 和 B ? 2,2? ,求 x 轴上与点 A 、 B 距离之和最短的点的坐标,以 及对应的距离和的最小值. 【答案】 【解析】 【点评】

二、对称问题
解决这类对称问题要抓住两条:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是以已知点 和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.注意中点坐标公式的应用. 【题干】光线从 A ? ?4, ?2? 点射出,到直线 y ? x 上的 B 点后被直线 y ? x 反射到 y 轴上

C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D ? ?1,6? ,求 BC 所在的直线方程.
【答案】 10 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 【解析】作出草图如图,设 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A? , D 关于 y 轴的对称点为 D ? , 则易得 A? ? ?2,?4? , D? ?1,6? .由入射角等于反射角可得 A? D ? 所在直线经过点 B 与 C .故

BC 所在的直线方程为

y ? 6 x ?1 ? ,即 10 x ? 3 y ? 8 ? 0 . 6 ? 4 1? 2

【点评】设 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A? , D 关于 y 轴的对称点为 D ? ,则直线 A? D ? 经 过点 B 与 C .

【题干】已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 , l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 .若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是( ) . B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 【答案】B.

【解析】 l1 与 l2 关于 l 对称,则 l1 上任一点关于 l 的对称点都在 l2 上,故 l 与 l1 的交点 ?1,0 ? 在 l2 上.又易知 ? 0,-2? 为 l1 上一点,设其关于 l 的对称点为 ? x, y ? ,

?x?? y?2 ? ?1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? 2 2 则? ,得 ? ,即 ?1,0 ? 、 ? ?1 ,?1? 为 l2 上两点,可得 l2 方程为 ? y ? ?1 ? y ? 2 ? 1 ? ?1 ? ? x

x ? 2 y ?1 ? 0 .
【点评】 【题干】直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 【答案】D. 【解析】在直线在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上任取两点 ?1,1? , ? 0, ? ,这两点关于直线 x ? 1 的 对称点分别为 ?1,1? , ? 2, ? ,过这两点的直线方程为 y ? 1 ? ? 即 x ? 2y ? 3 ? 0 . 【点评】 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0 )

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

1 ? x ? 1? , 2

三、直线综合
【题干】若方程 x ? 1 ? a ? x ? 1? 恰有两个不同的实根,则实数 a 的取值范围是(
2



A. ?1 ? a ? ? C. ?1 ? a ? ?

2 2 2 B. a ? ? 或a ? 2 2 2 2 2 2 或 ? a ? 1D. a ? ?1 或 ?1 ? a ? ? 2 2 2

【答案】 【解析】 【点评】 【题干】若方程 x ? y ? 6 x ? y ? lg m ? 0 仅表示一条直线,则实数 m 的取值范围是. 【答案】 【解析】 【点评】

x y ? ? 1 通过点 M ? cos ? , ) sin ? ? ,则( a b 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ? 1B. a ? b ? 1C. 2 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 a b a b
【题干】若直线 【答案】D. 【解析】若直线

x y cos? sin? ? ? 1 通过点 M ? cos ? , ? ? 1, sin ? ? ,则 a b a b
2

2 2 ∴ b cos ? ? a sin ? ? ab ,∴ ? b cos ? ? a sin ? ? ? a b .

因为 ? b cos ? ? a sin ? ? ? a ? b
2 2
2 2 2 2 ∴ a b ? a ? b ,∴

?

2

? ? ? cos

2

? ? sin 2 ? ? ? ? a 2 ? b 2 ? ,

?

?

1 1 ? ?1. a 2 b2

【点评】 【题干】已知过点 A ?11 , ? 且斜率为 ?m ? m ? 0? 的直线 l 与 x , y 轴分别交于 P, Q ,过 P, Q 作直线 2 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 R, S ,求四边形 PRSQ 的面积的最小值. 【答案】 3.6 . 【解析】设 l 的方程为 y ?1 ? ?m ? x ?1? ,则 P ?1 ? 从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为 x ? 2 y ?

? ?

1 ? , 0 ? , Q ? 0,1? m? . m ?

m ?1 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? m ?1? ? 0 . m

2m ? 2 ? 1 ?
又 PR || QS ,所以 RS ?

1 m

5

?

3 ? 2m ?

1 2 2? m, m . 又 PR ? 5 5

QS ?

M ?1 ,四边形 PRSQ 为梯形, S PRSQ 5

2 1 ? ? 2? 3 ? 2m ? ? ? 1 m ? M ?1 ? m ? ? ? 2? 5 5 ? 5 ? ?

1? 1 9? 1 1? 9? 1 = ? m ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3.6 ,所以四边形 PRSQ 的面积的最小值为 5? m 4 ? 80 5 ? 4 ? 80
3.6 .
【点评】 【题干】直线 l 过点 M ? 2,1? ,且分别交 x 轴、 y 轴的正半轴于点 A 、 B ,点 O 是坐标原 点, (1)求当 ?ABO 面积最小时直线 l 的方程; (2)当 MA ? MB 最小时,求直线 l 的方程. 【答案】 (1) x ? 2 y ? 4 ? 0 ; (2) x ? y ? 3 ? 0 . 【解析】 (1)设直线 l 方程为

2

2

x y ? ? 1 ( a 、 b 均为正数) ,因为 l 过点 M ? 2,1? ,所以 a b

2 1 2 1 2 1 2 1 ? ? 1 .因为 1 ? ? ? 2 ? ,化简得 ab ? 8 ,当且仅当 ? 时,即 a ? 4 , a b a b a b a b
b ? 2 时,等号成立,所以当 a ? 4 , b ? 2 时, ab 有最小值 8 ,此时 ?OAB 面积为

s?

1 x y ab ? 4 达到最小值.直线 l 的方程的方程为 ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 4 2

(2)过 M 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 P 、 N ,设 ?MAP ? ? ,则 Rt ?MPA 中, sin ? ?

MP MP 2 1 ,得 MA ? ,同理可得: MB ? , ? MA cos ? sin ? sin ?

所以 MA ? MB ?

2 4 ? ? .因为 sin 2? ? ? 0,1? ,所以 2? ? 90 时, sin ? cos ? sin 2? 4 ? 4 达到最小值,此时直线 l sin 2?

? 即 ? ? 45 时, sin 2? ? 1 达到最大值, MA ? MB ?

的斜率 k ? ?1 ,得直线 l 方程为 y ?1 ? ? ? x ? 2? ,即 x ? y ? 3 ? 0 .

【点评】

【题干】设直线 y ? m ? 2m ? 2 x ? 3m ? 6m ? 1,其中 m 为任意实数,求证:不论 m
2 2

?

?

为何值时,所给直线过定点. 【答案】 【解析】 【点评】


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