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安徽省合肥八中2015届高三上学期第四次段考数学试卷(理科)


安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第四次段考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A.1 + 是实数,其中 i 为虚数单位,则实数 a 等于() B. C. D.

2. (5 分)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.2π+8

B.8π+8

C.4π+8

D.6π+8

3. (5 分)运行如图所示的程序框图后,输出的结果是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题

5. (5 分) 已知点 A (3,

) , O 为坐标原点, 点P (x, y) 的坐标 x, y 满足

则向量 A.

在向量

方向上的投影的取值范围是() B. C. D.
2 2

6. (5 分)已知点 M 是直线 3x+4y﹣2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1) +(y+1) =1 上的动 点,则|MN|的最小值为() A. B. 1 C. D.

7. (5 分)函数 f(x)=cos(ωx+

) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到 f(x) )的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

的图象,只需将函数 g(x)=sin(ωx+ A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

8. (5 分)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)有相同的
2

焦点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆 的离心率是() A. B. C. D.

9. (5 分)已知向量



满足

, ,则点(λ,μ)在()



(λ,μ∈R) ,

若 M 为 AB 的中点,并且 A.以( B. 以( , C. 以( ,

, )为圆心,半径为 1 的圆上 )为圆心,半径为 1 的圆上 )为圆心,半径为 1 的圆上

D.以( , )为圆心,半径为 1 的圆上

10. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈时,f(x) =2x,若方程 ax﹣a﹣f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值 范围是 () A. ( ,1) B. C. (1,2) D. ;

②函数 g(x)在上是增函数; ③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在内恒有解; ④若存在 x1,x2∈,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是.

三、本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣ (x)图象相邻两交点的距离为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若点 图象的一个对称中心,且 b=3,求△ ABC 外接圆的面积. 17. (12 分)乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方 再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中, 甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)ξ 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ξ 的分布列与数学期望. 18. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC= ,D 是 是函数 y=f(x) )﹣2 +1(ω>0) .直线 与函数 y=f

AP 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△ PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD,如图 2. (Ⅰ)求三棱椎 D﹣PAB 的体积; (Ⅱ)求证:AP∥平面 EFG; (Ⅲ)求二面角 G﹣EF﹣D 的大小.

19. (13 分)已知函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x) =λf(x)+sinx 是区间上的减函数. (1)求 g(x)在 x∈上的最大值; 2 (2)若 g(x)≤t +λt+1 对?x∈及 λ∈(﹣∞,﹣1]恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程 =x ﹣2ex+m 的根的个数.
2

x

20. (13 分)已知数列{dn}满足 dn=n,等比数列{an}为递增数列,且 a5 =a10,2(an+an+2) * =5an+1,n∈N . (Ⅰ)求 an; n * (Ⅱ)令 cn=1﹣(﹣1) an,不等式 ck≥2014(1≤k≤100,k∈N )的解集为 M,求所有 dk+ak (k∈M)的和.

2

21. (13 分)如图,已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率为

,以该椭圆上的点和椭圆

的左、右焦点 F1,F2 为顶点的三角形的周长为 4( +1) ,一等轴双曲线的顶点是该椭圆 的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2,证明 k1?k2=1; (Ⅲ) (此小题仅理科做)是否存在常数 λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

安徽省合肥八中 2015 届高三上学期第四次段考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1. (5 分)已知 A.1

+

是实数,其中 i 为虚数单位,则实数 a 等于() B. C. D.

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的除法运算化简 + 为 a+bi(a、b∈R)的形式,再由已

知复数是实数,得出虚部等于 0,即可求出 a 的值. 解答: 解: ∵ ∴ + + = = ,

是实数, ,

则 a=1. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.2π+8

B.8π+8

C.4π+8

D.6π+8

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征,从而求出它的体积是多少. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体底部为四棱柱,上部为平放的两个半圆柱的组合体, 该几何体的体积为 V 几何体=V 底部+V 上部=2×(2+2)×1+π?1 ×2=8+2π. 故选:A. 点评: 本题考查了几何体的三视图的应用问题, 解题时根据几何体的三视图, 得出该几何 体是什么图形,从而解答问题. 3. (5 分)运行如图所示的程序框图后,输出的结果是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 i, n, m 的值, 当 i=4 时不满足条件 i<4, 退出循环,输出 n 的值为 . 解答: 解:执行程序框图,有 i=1,m=0,n=0 满足条件 i<4,i=2,m=1,n= 满足条件 i<4,i=3,m=2,n= 满足条件 i<4,i=4,m=3,n= + =

不满足条件 i<4,退出循环,输出 n 的值为 . 故选:C. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 4. (5 分)下列有关命题的说法正确的是() 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 对于 A:因为否命题是条件和结果都做否定,即“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 对于 B:因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分条件,故错误. 2 对于 C:因为命题的否定形式只否定结果,应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误.由排除法 即可得到答案.

解答: 解:对于 A:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1”.因为否命题 2 应为“若 x ≠1,则 x≠1”,故错误. 2 2 对于 B:“x=﹣1”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件.因为 x=﹣1?x ﹣5x﹣6=0,应为充分 条件,故错误. 2 2 对于 C:命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x +x+1<0”. 2 因为命题的否定应为?x∈R,均有 x +x+1≥0.故错误. 由排除法得到 D 正确. 故答案选择 D. 点评: 此题主要考查命题的否定形式,以及必要条件、充分条件与充要条件的判断,对于 命题的否命题和否定形式要注意区分,是易错点.

2

2

5. (5 分) 已知点 A (3,

) , O 为坐标原点, 点P (x, y) 的坐标 x, y 满足

则向量 A.

在向量

方向上的投影的取值范围是() B. C. D.

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义;简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合.

分析: 由题意由于 O 为坐标原点,点 P(x,y)的坐标 x,y 满足

,画

出可行域,在利用 解答: 解:画出可行域为:



有图可知 故选 A



点评: 此题考查了有不等式組准确画出可行域, 还考查了一个向量在另外一个向量上的投 影的概念及向量夹角的概念. 6. (5 分)已知点 M 是直线 3x+4y﹣2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1) +(y+1) =1 上的动 点,则|MN|的最小值为() A. B. 1 C. D.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 解三角形. 分析: 求出圆心到直线的距离 d,由 d﹣r 即可求出|MN|的最小值. 解答: 解:∵圆心(﹣1,﹣1)到直线 3x+4y﹣2=0 的距离 d= = ,r=1,

∴|MN|min=d﹣r= ﹣1= . 故选 C. 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,根据题意得出 d﹣r 为|MN|最小值是解本题的关键. 7. (5 分)函数 f(x)=cos(ωx+ ) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到 f(x) )的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

的图象,只需将函数 g(x)=sin(ωx+ A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先由周期求得 ω,再利用诱导公式、函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,可得 结论. 解答: 解:由于函数 f(x)=cos(ωx+ f(x)=cos(2x+ ) , )=sin(2x+ )=cos(2x+ ﹣ )=cos(2x﹣ ) . ) ) (x∈R,ω>0)的最小正周期为 π= ,∴ω=2,

故 g(x)=sin(ωx+

把函数 g(x)=cos(2x﹣ =f(x)的图象, 故选:C.

)的图象向左平移

个单位长度,可得 y=cos=cos(2x+

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,诱导公式、余弦函数的周期 性,属于基础题.

8. (5 分)已知椭圆

(a>b>0)与双曲线
2 2

(m>0,n>0)有相同的
2

焦点(﹣c,0)和(c,0) ,若 c 是 a、m 的等比中项,n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆 的离心率是() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;等差数列的性质;等比数列的性质;圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;压轴题. 2 2 分析: 根据是 a、m 的等比中项可得 c =am,根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得 a ﹣ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b =m +n =c ,根据 n 是 2m 与 c 的等差中项可得 2n =2m +c ,联立方程即可求得 a 和 c 的关系,进而求得离心率 e.

解答: 解:由题意:

∴ ∴ ∴ .

, ,∴a =4c ,
2 2

故选 D. 点评: 本题主要考查了椭圆的性质,属基 础题.

9. (5 分)已知向量



满足

, ,则点(λ,μ)在()



(λ,μ∈R) ,

若 M 为 AB 的中点,并且 A.以( B. 以( , C. 以( ,

, )为圆心,半径为 1 的圆上 )为圆心,半径为 1 的圆上 )为圆心,半径为 1 的圆上

D.以( , )为圆心,半径为 1 的圆上

考点: 平面向量的正交分解及坐标表示;向量的模. 专题: 计算题.

分析: 由题意分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴建立平面直角坐标系,则点 M( , ) , C(λ,μ) ,故此题为求 C 点的轨迹问题,由 知 C 点轨迹是以 M( , )为圆心,

以 1 为半径的圆. 解答: 解:分别以 OA、OB 所在直线为 x、y 轴建立平面直角坐标系, 则点 M( , ) . 由 得 C(λ,μ)点的轨迹为以 M( , )为圆心,以 1 为半径的圆

故选 D 点评: 本题考查向量的坐标运算、向量的模的含义及求轨迹问题. 10. (5 分)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈时,f(x) =2x,若方程 ax﹣a﹣f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是() A. ( ,1)
2

B.

C. (1,2)

D.

∴ax +bx+c≥2ax+b 恒成立, 2 即 ax +(b﹣2a)x+(c﹣b)≥0 恒成立, 2 2 2 故△ =(b﹣2a) ﹣4a(c﹣b)=b +4a ﹣4ac≤0,且 a>0, 2 2 即 b ≤4ac﹣4a , 2 ∴4ac﹣4a >0, ∴c>a>0, ∴ 故 ,



=

=

=



=2

﹣2,

故答案为:2 ﹣2 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,导函数,恒成立问题,最值,基本不等式, 是函数方程不等式导数的综合应用,难度大.

15. (5 分)已知函数 f(x)=

g(x)=asin(

x+

)﹣2a+2(a

>0) ,给出下列结论: 结论: ①函数 f(x)的值域为;

② 函数 g(x)在上是增函数; ③对任意 a>0,方程 f(x)=g(x)在内恒有解; ④ 若存在 x1,x2∈,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是①②④. 考点: 分段函数的应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用. 分析: 求得 f(x)的各段的值域,再求并集,即可判断①;化简 g(x) ,判断 g(x)的 单调性即可判断②; 求出 g(x)在的值域,求出方程 f(x)=g(x)在内无解的 a 的范围,即可判断③; 由③得,有解的条件为:g(x)的最小值不大于 f(x)的最大值且 g(x)的最大值不小于 f(x)的最小值,解出 a 的范围,即可判断④. 解答: 解:当 x∈时,f(x)= ﹣ x 是递减函数,则 f(x)∈, 当 x∈( ,1]时,f(x)=

=2(x+2)+

﹣8,f′(x)=2﹣

>0,则 f(x)

在( ,1]上递增, 则 f(x)∈( , ]. 则 x∈时,f(x)∈,故①正确; 当 x∈时,g(x)=asin( 由 a>0,0≤ x≤ x+ )﹣2a+2(a>0)=﹣acos x﹣2a+2,

,则 g(x)在上是递增函数,故②正确;

由②知,a>0,x∈时 g(x)∈, 若 2﹣3a> 或 2﹣ <0,即 0<a< 或 a> ,方程 f(x)=g(x)在内无解,故③错;

故存在 x1, x2∈,使得 f(x1)=g(x2)成立,则

解得 ≤a≤ .

故④正确. 故答案为:①②④. 点评: 本题考查分段函数的运用, 考查函数的值域和单调性及运用, 考查存在性命题成立 的条件,转化为最值之间的关系,属于易错题和中档题. 三、本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)设函数 f(x)=sin(ωx﹣ (x)图象相邻两交点的距离为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; )﹣2 +1(ω>0) .直线 与函数 y=f

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若点 图象的一个对称中心,且 b=3,求△ ABC 外接圆的面积. 考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的奇偶性. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I) 将函数表达式展开, 再用辅助角公式合并, 可得 ( f x) = 结合题意知它的周期是 π,利用三角函数的周期公式,可得 ω=2. (II)因为点 围,可得 B=

是函数 y=f(x)



是函数图象的一个对称中心,所以 f( )=0,结合三角形内角的范 ,最后用正弦定理可以算出外接圆半径 R,从而得到△ ABC 外接圆的面积. = …(4 分)

解答: 解: (Ⅰ) = ∴函数的最大值为 ∵直线 ∴ 与函数 y=f(x)图象相邻两交点的距离为 π ,得 ω=2…(6 分)

(Ⅱ)由(I) ,得 ∵点 ∴f( )= 是函数 y=f(x)图象的一个对称中心 =0,可得 …(9 分) ,所以 , ,即

因为 0<B<π,所以取 k=0,得 根据正弦定理,得△ ABC 外接圆直径
2

∴△ABC 外接圆的面积 S=πR =3π …(12 分) 点评: 本题着重考查了两角差的正弦公式、 三角函数的降次公式、 三角函数的图象与性质 和正弦定理等知识,属于中档题,是一道不错的综合题. 17. (12 分)乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方 再连续发球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中, 每次发球,发球方得 1 分的概率为 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中, 甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)ξ 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ξ 的分布列与数学期望.

考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记 Ai 为事件“第 i 次发 球,甲胜”,i=1,2,3,则 P(A1)=P(A2)= ,P (A3) = . “开始第 4 次发球时, 甲、 乙的比分为 1 比 2”为事件 + A2 + ,

由此能求出开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率. (2)由题意 ξ=0,1,2,3.分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,P(ξ=3) ,由此能求出 Eξ. 解答: 解: (1)记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜”,i=1,2,3, 则 P(A1)=P(A2)= ,P(A3)= . “开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2”为事件 + 其概率为 P( + A2 + )=2× × × + × × = , .…(6 分) A2 + ,

即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 (2)由题意 ξ=0,1,2,3. P(ξ=0)= × × = ,
3

P(ξ=1)=2× × × +( ) = P(ξ=2)=2× × × + × × = P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列 为: ξ 0 P 所以 Eξ=0× +1× +2× = ,

, ,

1

2

3

+3×

= .…(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望, 是历年 2015 届高考的必考题型. 解 题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的合理运用.

18. (12 分)如图 1,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=

,D 是

A P 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△ PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD,如图 2. (Ⅰ)求三棱椎 D﹣PAB 的体积; (Ⅱ)求证:AP∥平面 EFG;

(Ⅲ)求二面角 G﹣EF﹣D 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 根据要求的三棱锥的体积与已知底面和高的三棱锥的体积相等, 写出体积的 表示式,得到结果. (Ⅱ) 建立坐标系,写出要用的点的坐标, 进而写出向量, 设出平面的法向量, 求出法向量, 根据法向量与直线的方向向量垂直,得到线面平行. (Ⅲ)两个平面的法向量一个已经求出,另一个在图形中存在,这样根据两个平面的法向量 所成的角,得到两个平面的二面角. 解答: 解: (Ⅰ) (Ⅱ)证明:如图以 D 为原点,以 则有关点及向量的坐标为: . 为方向向量建立空间直角坐标系 D﹣xyz.

设平面 EFG 的法向量为



.取

. ∵ ,∴ ,

又 AP?平面 EFG.∴AP∥平面 EFG (Ⅲ)由已知底面 ABCD 是正方形∴AD⊥DC,又∵PD⊥面 ABCD∴AD⊥PD 又 PD∩CD=D∴AD⊥平面 PCD,∴向量 平面 EFG 的法向量为 ∴
0

是平面 PCD 的一个法向量,

=(2,0,0) .

结合图知二面角 G﹣EF﹣D 的平面角为 45 .

点评: 本题考查立体几何的综合题目, 本题解题的关键是建立坐标系, 把一些理论性的证 明转化成运算,降低了题目的难度. 19. (13 分)已知函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x) =λf(x)+sinx 是区间上的减函数. (1)求 g(x)在 x∈上的最大值; 2 (2)若 g(x)≤t +λt+1 对?x∈及 λ∈(﹣∞,﹣1]恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程 =x ﹣2ex+m 的根的个数.
2 x

考点: 根 的存在性及根的个数判断;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义;奇 函数;函数恒成立问题. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: (1)先利用 f(x)是实数集 R 上的奇函数求出 a,再利用 g(x)=λf(x)+sinx 是区间上的减函数求出 g(﹣1)即可. (2)利用(1)的结论把问题转化为(t+1)λ+t +sin1+1≥0 在 λ∈(﹣∞,﹣1]恒成立,再利 用图形找到 t 满足的条件即可. (3)把研究根的个数问题转化为两个函数图象的交点问题,借助于图形可得结论. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=ln(e +a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数, 0 ∴f(0)=ln(e +a)=0, 0 ∴e +a=1.∴a=0. 又∵g(x)在上单调递减, ∴g(x)max=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1. 2 (2)只需﹣λ﹣sin1≤t +λt+1 在 λ∈(﹣∞,﹣1]上恒成立, 2 ∴(t+1)λ+t +sin1+1≥0 在 λ∈(﹣∞,﹣1]恒成立. 令 h(λ)=(t+1)λ+t +sin1+1(λ≤﹣1) ,则
2 x 2



而 t ﹣t+sin1≥0 恒成立,∴t≤﹣1.

2

(3)由(1)知 f(x)=x,∴方程为 令 ,







当 x∈(0,e)时,f′1(x)≥0,f1(x)在 x∈(0,e]上为增函数; x∈ 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ) 由题意知, 椭圆离心率为 = , 及椭圆的定义得到又 2a+2c= ,

解方程组即可求得椭圆的方程,等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程; (Ⅱ)设点 P(x0,y0) ,根据斜率公式求得 k1、k2,把点 P(x0,y0)在双曲线上,即可证 明结果; (Ⅲ)设直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,则可求出直线 CD 的方程为 y= (x﹣2) ,联立直 线和椭圆方程,利用韦达定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|,求得 λ 的 值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为 = 得 ,又 2a+2c= , 2 2 2 所以可解得 ,c=2,所以 b =a ﹣c =4, 所以椭圆的标准方程为 ; ,

所以椭圆的焦点坐标为(±2,0) , 因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点, 所以该双曲线的标准方程为 (Ⅱ)设点 P(x0,y0) , 则 k1= ,k2= , .

∴k1?k2=

=



又点 P(x0,y0)在双曲线上, ∴ ,即 y0 =x0 ﹣4,
2 2

∴k1?k2=

=1.

(Ⅲ)假设存在常数 λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立, 则由(II)知 k1?k2=1,

∴设直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,则直线 CD 的方程为 y= (x﹣2) ,

由方程组

消 y 得: (2k +1)x +8k x+8k ﹣8=0,

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则由韦达定理得, ,

∴AB= 同理可得

=



CD=

=

=



∵|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|, ∴λ= = ﹣ = = ,

∴存在常数 λ=

,使得|AB|+|CD|=λ|AB|?|CD|恒成立.

点评: 本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位 置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题(III) 是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.


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