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高中文科数学平面向量知识点整理


高中文科数学平面向量知识点整理
1、概念 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 向量表示:几何表示法 AB

;字母 a 表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).
??? ? ??? ? ? ? ? 向量的模: OA ? a , 设 则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作:| a | . ? ?2 ? ( | a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。 )

零向量:长度为 0 的向量。a=O ? |a|=O. 【例题】1.下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条 件是它们的起点相同,终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4) ? ?? ? ? ?? ? ??? ???? ? ? ? ,/ 若 ABCD 是平行四边形, AB ? DC 。 若 a ?bb, c? , a ? c 。 若 a / bb c , 则 (5) 则 (6) ? ? 则 a // c 。其中正确的是_______ (答: (4) (5) ) ? ? ?? ? ? ? 2.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? 3b | =_____ (答: 13 ) ; 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.
C
??? ??? ? ?
? ?

?

?

? a

?

? b

?

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .

? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
-1-

3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
【例题】 ??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? (1)① AB ? BC ? CD ? ___;② AB ? AD ? DC ? ____; ??? ? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ;

? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____
(答: 2 2 ) ; (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) ,则合力 ?? ?? ?? ?? ? ? ? F ? F1 ? F2 ? F3 的终点坐标是 (答: (9,1) ) 4、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? ? ? 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .
?? ? ?? ? ?? ?

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
??? 1 ??? 【例题】 (1) M 若 (-3, , (6, , MP ? ? MN , -2) N -1) 且 则点 P 的坐标为_______ 3 7 (答: ( ?6, ? ) ) ; 3 ? ? ? ? 5、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? a .设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , b ? 0 ) ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 。 (

? ? ? ? 【例题】 (1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 (答:2) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______ (答:4) ;
-2-

? ? ? ? ? ? ? ? 6、向量垂直: a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

【例题】(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?
3 ) ; 2 (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? , 则点 B 的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1); ) ? ?? ?? ? ?? ? (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(答:

(答: (b, ?a)或(?b, a) )

7、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,
? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③

? ? ? ? a ?b ? a b .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律: a ? b ? b ? a ; ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ① ② ③

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
?2 ? ? 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a⊥b ? a〃b=0 ? x1x2+y1y2=0.
则 a∥b ? a=λb(b≠0) ? x1y2= x2y1.?

? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b c o s? ? ? ? ? ; (注 | a ? b |?| a || b | ) 2 2 a b x12 ? y 12 x 2 ? y 2
【例题】 (1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9) ; ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 ? (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等
2 2
4
? ?? ? ?? ? ??

于____
-3-

(答:1) ;

(3)已知 a ? 2, b ? 5, a?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____ (答: 23 ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ?b 的夹角为____ (答: 30? ) (5)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值 4 1 范围是______ (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ) ; 3 3 (6)已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0)(1) 。 ? 若 x= ,求向量 a 、 c 的夹角; (答:150°) ; 3
? ?
? ?

?

?

? ?

?

?

? 8、 b 在 a 上的投影:即 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。
【例题】已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为 12 ______ (答: ) 5
? ?
? ? ? ?

平面向量高考经典试题
一、选择题 1.已知向量 a ? (?5,6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

?

?

?

?

, , 2、已知向量 a ? (1 n),b ? (?1 n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (
A. 1 B. 2 C. 2 D.4



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a, b 的夹角为 60° ,则 a ? a ? a ? b =______;

CD 4、 △ ABC 中, 在 已知 D 是 AB 边上一点, AD ? 2 DB, ? 若
A.

????

??? ??? ? ?

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3
-4-

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB , ? ?( 则 3 2 D. ? 3



5、若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( A. EF ? OF ? OE



??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

B. EF ? OF ? OE

??? ? ??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ?


C. EF ? ?OF ? OE

??? ?

D. EF ? ?OF ? OE

,, , 6、已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) ,则向量 ? A. (?2, 1) , C. (?1 0)
二、填空题

1 3 a? b ?( 2 2

1) B. (?2, , D. (?1 2)

4? , 1、已知向量 a = ? 2,,b = ?11? .若向量 b ? (a + ? b) ,则实数 ? 的值是



? ? ? ? ? ? ? ? 2、若向量 a, 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a? a ? b ? b

?

?



0) , 3、在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0, , B(11) ,则

??? ??? ? ? AB ? ? AC



三、解答题: 1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0). (1)若 AB?AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin∠A 的值

2、在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, C ? 3 7 . tan (1)求 cos C ;

CA (2)若 CB ? ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

, , 3 、 在 △ ABC 中 , a, b c分 别 是 三 个 内 角 A, B C 的 对 边 . 若 a ? 2,

C?

π , 4

-5-

cos

B 2 5 ,求 △ ABC 的面积 S . ? 2 5

4、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

5、在 △ ABC 中, tan A ? (Ⅰ)求角 C 的大小;

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

答案 选择题 1、A. 已知向量 a ? (?5,6) , b ? (6,5) , a ? b ? ?30 ? 30 ? 0 ,则 a 与 b 垂直。 2、C

?

?

? ?

?

?

2a ? b =( 3n ,由 2a ? b 与 b 垂直可得: , )

(3, n) ? (?1, n) ? ?3 ? n2 ? 0 ? n ? ? 3 ,
3、
3 2 ? ? ? ? 1 3 解析: a ? a ? a ? b ? 1 ? 1?1? ? , 2 2

a ? 2。

4、A

在?ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA ? ?CB ,则

??? ??? ???? ??? 2 ??? ??? 2 ??? ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 CD ? CA ? AD ? CA ? AB ? CA ? (CB ? CA) ? CA ? CB ,???= 。 3 3 3 3 3 ??? ??? ??? ? ? ? 5、B 由向量的减法知 EF ? OF ? OE
6、D

1 3

1 3 a ? b ? (?1, 2). 2 2
-6-

填空题 1 、 解 析 : 已 知 向 量 a = ? 2,,= ?11? . 量 a ? ?b ? (2? ? , 4? ? ), b ? (a + ?b) , 则 4? b , 2+λ+4+λ=0,实数 ? =-3.

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ? 1 1 1 【解析】 a? a ? b ? ? a ? a ? b ? a ? a ? b cos60? ? 1 ? ? 。 ? 2 2 2 ??? ??? ? ? 3、解析: AB?AC ? (0,1) ? (?1,1) ? 0 ? (?1) ? 1?1 ? 1.
2、 解答题 1、解: (1)

??? ? AB ? (?3, ?4)


? ? ?? A C? ( c? 3 , ? 4 )

? ? ?? ? ? ?? 25 A B A C ? ( c 3 ) ? 1 6? 2 5 c ? 得 c ? ? ? 3 ? ? 3 0 3 ??? ? ??? ? (2) AB ? (?3, ?4) AC ? ( 2 ? 4 ) , ??? ???? ? AB?AC ?6 ? 16 1 2 5 sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ? cos ?A ? ??? ???? ? ? ? 5 5 20 5 AB ? AC

? 2、解: (1)? tan C ? 3 7,
又? sin C ? cos C ? 1
2 2

sin C ?3 7 cos C
解得 cos C ? ?

1 . 8 1 ? tan C ? 0 ,? C 是锐角. ? cos C ? . 8 ??? ??? 5 ? ? 5 CA ? ab cos C ? , ? ab ? 20 . (2)? CB ? ? , 2 2
又? a ? b ? 9

? a2 ? 2ab ? b2 ? 81 .

? a 2 ? b2 ? 41.

?c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 36 . ? c ? 6 .

4 3 3、解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7

-7-

4、解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .

所以, b ?

7.

5、本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理 和运算能力,满分 12 分.

1 3 ? 4 5 ? ?1 . 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边.

? ?

?? ??

sin A 1 ? ? , ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 .

-8-


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