当前位置:首页 >> 数学 >>

南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷


2015 高考数学模拟题(1)
南师大《数学之友》
一. 填空题
1. 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ?

4 ? ,则 sin( 2 B ? ) ? 5 6



.

2.已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2

,点 M 、 N 分别为线段 BC 、 CD 上的两个 不同点,若 MN ? 1 ,则 OM ? ON 的取值范围是 ▲ .

2 x 3. 若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为___▲_____. x +a 2
4.设 x 、y 均为正实数,且

3 3 ? ? 1 ,以点 ( x, y ) 为圆心, R ? xy 为半径的圆的 2? x 2? y
▲ .

面积最小时圆的标准方程为

?ab, ab ? 0 ? 5. 任给实数 a , b ,定义 a ? b ? ? a ,设函数 f ( x) ? ln x ? x . ?an ? 是公比大于 0 的 , ab ? 0 ? ?b
等比数列, 且 a5 ? 1 ,f ?a1 ? ? f ?a2 ? ? f ?a3 ? ? ? ? f ?a7 ? ? f ?a8 ? ? a1 , 则 a1 ? ▲ .

6. 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 1 ,如果关于 x 的方程 f ?x ? ? m ?m ? R? 恰有 4 个互不相等的实 数根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 ▲ .

二、解答题
7. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板 AB 长为 2 m ,跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m, CE ? 5m , CF ? 6 m .为安全和空中姿态优 美, 训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 h m ( h ? 1) 时达到距水面最大高度 4m. 规 定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练 要求,求达到压水花的训练要求时,h 的取值范围.
3 2 2+h

B

A

C
5 6 m m 1 m m

E ·

F ·

D

8. 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点,直线 a 2 b2 c2 ( c 是椭圆的半焦距)相离,P 是直线 AB 上一动点,过点 P 4

2 2 AB 与圆 G: x ? y ?

作圆 G 的两切线,切点分别为 M、N. (1)若椭圆 C 经过点 (1,

5 4 2 ,求椭圆 C 的方程; ) ,离心率 e ? 3 3

(2)若存在点 P 使得△PMN 为正三角形,试求椭圆离心率 e 的取值范围.

9. 已知等比数列 {a n } 的首项 a1 ? 2015,公比 q ? ? (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ;

1 ,数列 {a n } 前 n 项和记为 S n . 2

(2)证明:若数列 {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为 d1 , d 2 ,?, d n ,则数列 {d n } 为等 比数列.

10.对于函数 y ? f ( x) ,若存在开区间 D ,同时满足: ①存在 a ? D ,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递减,当 x ? a 时,函数 f ( x) 单调递增; ②对任意 x ? 0 ,只要 a ? x, a ? x ? D ,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) . 则称 y ? f ( x) 为 D 内的“勾函数” . (1)证明:函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)对于给定常数 ? ,是否存在 m ,使函数 h( x) ?

1 3 1 2 2 ?x ? ? x ? 2?3 x ? 1 在 (m,??) 3 2

内为“勾函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

2

理科加试
11. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 ? 2 , E 是 BC 的中点. (1)若棱 AA1 上存在一点 M ,满足 B1M ? C1 E ,求 AM 的长; (2)求平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值.

A1 B1 A B E

C1

C

12.在数列 {a n } 和 {bn } 中,an ? a ,bn ? (a ? 1)n ? b ,n ? 1,2,3,?, 其中 a ? 2 且 a ? N ,
n
*

b ? R .设 A ? {a1 , a2 , a3 ,?} ,B ? {b1 , b2 , b3 ,?} , 试问在区间 [1, a] 上是否存在实数 b 使
得 C ? A ? B ? ? .若存在,求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ;若不存在,试说 明理由.

3

参考答案 一、填空题
1. 答案:

12 7 ? 17 . 50
2

解:在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? (? ) ?
2

4 5

3 . 5

BC AC AC 2 3 2 ? , 所以 sin B ? ? sin A ? ? ? . sin A sin B BC 3 5 5 4 又因为 cos A ? ? ,所以 ? A 为钝角,从而 ? B 为锐角, 5
由正弦定理, 于是 cos B ? 1 ? sin B ? 1 ? ( ) ?
2 2

2 5

21 , 5

cos 2 B ? 2 cos2 B ? 1 ? 2 ? (

21 2 17 ) ?1 ? , 5 25

2 21 4 sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 2 ? ? ? 21. 5 5 25

? ? ? 4 21 3 17 1 12 7 ? 17 sin (2 B ? ) ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? ? ? ? ? . 6 6 6 25 2 25 2 50
2 . 2. 答案: ? ?2 ? 2,
解:以 O 为原点,平行于 AB 的直线为 x 轴作平面直角坐标系(如图 1) ,不妨设 M (1, y) 、
2 2 ? ?( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 N ( x,1) .由题意知 MN ? 1 ,故 ? ,其中 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? 1 . ? ON ? OM ? x ? y ? 1 在 圆 PRQ 中找一点 ( x, y ) 使 x ? y 取最大最小.设目标函数为 z ? x ? y . 4 1 ① 由图 2 可知, 当直线 x ? y ? z ? 0 与在 圆 PRQ 相切于点 R 时, 即x ? y, z 取得最小值, 4

?

2 得 2( x ? 1) ? 1 , ( x ? 1) ?
2

1 2 ?1. ,由于 0 ? x ? 1 ,故 x ? ? 2 2

因此 z min ? 2(?

2 ? 1) ? 2 ? 2 . 2

?由图 2 可知,当直线 x ? y ? z ? 0 经过点 C 时,即 x ? y ? 1 , z 取得最大值,最大值为

4

z ? 1 ? 1 ? 2 ,但是由题意知 M 、 N 是两个不同点,故最大值 2 取不到.
2 . 综上可得, OM ? ON 的取值范围是 ? ?2 ? 2,

?

图 1 3. 答案: 2 ? 1 . x 1 解:f (x)= 2 = (x≥1), a x +a x+ x

图 2

1 2 1 当 a≥1 时,f (x)的最大值为 = ,得 a= <1(舍去); 2 a 2 2
当 0<a<1 时,f (x)的在[1,+∞)上单调递减,其最大值为

2 1 = ,得 a= 2 ? 1 . 1+a 2

所以 a 的值为

2 ?1 .

4. 答案: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 256. 解:由 2 ? x ? 2 ? y ? 1 得: x ? y ? 1 .

3

3

8? y

? xy ?

y2 ? 8y z ? y ? 1 ,则 y ? z ? 1 . y ? 1 .令

z 2 ? 2 z ? 1 ? 8z ? 8 ? xy ? z ? z 2 ? 10z ? 9 ? 9? ? ? z ? ? ? 10 . z z? ?

5

?z ?

9 9 9 ? 2 z ? ? 6 ,当且仅当 z ? 时,等号成立. z z z

此时 xy 最小,即圆的面积最小,此时 z ? 3 , y ? 4 , x ? 4 ,

? 圆的标准方程: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 256.
5. 答案: e . 解: f (a5 ) ? f (1) ? 0 ,设数列 ?an ? 公比为 q ,

f (a5?i ) ? f (a5?i ) ? f (

1 ) ? f (q i ) ? 0 , qi

所以 f (a2 ) ? f (a8 ) ? f (a3 ) ? f (a7 ) ? f (a4 ) ? f (a6 ) ? 0 , 因此 f (a1 ) ? a1 . 当 a1 ? 1 时, ln a1 ? a1 ? a1 , a1 ? e , 当 a1 ? 1 时,

ln a1 ? a1 无解. a1

6. 答案: ?? 3,0? . 解:函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 1 的图像如右图所示: 由图可知,若 f ?x ? ? m 的四个互不相等的实数根,则

m ? ?0,1? ,且 x1 , x2 , x3 , x4 分别为: x1 ? m , x2 ? 2 ? m , x3 ? m ? 2 , x4 ? ?m ,
所以, x1 x2 x3 x4 ? ?m ?2 ? m??m ? 2?
2

? m 2 ? 2 ? 4 ? ?? 3,0? .
2

?

?

2+h 2

二、解答题
7.解:由题意可知最高点为 (2 ? h,4)(h ? 1) .
3

B

A

可设抛物线方程为 y ? a[ x ? (2 ? h)] ? 4 .
2

C (1)当 h ? 1 时,最高点为 (3,4) ,方程为 y ? a( x ? 3) ? 4 .
2

5

E ·
6 m m m

F ·

D

6

m

将 A(2,3) 代入,得抛物线方程为 y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 . (2)将点 A(2,3) 代入 y ? a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ,得 ah ? ?1 .
2

由题意,得方程 a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ? 0 在区间 [5,6] 内有一解. 令 f (x) ? a[ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ? ?

1 1 2 [ x ? (2 ? h)]2 ? 4 ,则 f (5) ? ? 2 (3 ? h) ? 4 ? 0 ,且 2 h h

f (6) ? ?

4 1 (4 ? h)2 ? 4 ? 0 ,解得 1 ? h ? . 2 h 3
4 3

所以要达到压水花的训练要求 h 的取值范围为 [1, ] .

8. 解: (1)椭圆为

x2 y 2 ? ? 1. 9 4
2 2

(2)由直线 AB 与圆 G: x ? y ?

c2 ( c 是椭圆的焦半距)相离, 4



ab a 2 ? b2

?

c 2 2 2 2 2 ,即 4a b ? c (a ? b ) , 4a2 (a2 ? c2 ) ? c2 (2a2 ? c2 ) , 2
2

4 2 得 e ? 6e ? 4 ? 0 因为 0 ? e ? 1 , 所以 0 ? e ? 3 ? 5 ,①

连接 ON , OM , OP, 若存在点 P 使 ?PMN 为正三角形,则在 Rt ?OPN 中,

OP ? 2ON ? 2r ? c ,所以,点 O 到直线 AB 的距离不大于 c 即

ab a 2 ? b2

? c,

2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a b ? c (a ? b ) , a (a ? c ) ? c (2a ? c ) ,得 e ? 3e ? 1 ? 0

因为 0 ? e ? 1 ,所以

3? 5 ? e 2 ? 1 ,② 2

由①②,

3? 5 5 ?1 10 ? 2 ?e? . ? e2 ? 3 ? 5 ,所以 2 2 2

1 a2 [1 ? (? )n ?1 ] 1 1 2 9.(1)证明: Sn ? S1 ? ? S1 ? a1[1 ? (? )n ?1 ] ? S1 ,当 n ? 1 时,等号成立. 1 3 2 1 ? (? ) 2 1 a3 [1 ? (? )n ? 2 ] 1 1 2 Sn ? S2 ? ? S2 ? a1[1 ? (? )n ? 2 ] ? S2 ,当 n ? 2 时,等号成立. 1 6 2 1 ? (? ) 2

7

? S2 ? Sn ? S1 .
(2)证明:? an ? 2015 ( ? ) 均负. ?当 k 是奇数时, {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列为 ak ?1 , ak ? 2 , a k , 则 ak ?1 ? ak ? a1 (? ) ? a1 (? )
k

1 2

n ?1

,? an 随 n 增大而减小, a n 奇数项均正,偶数项

1 2

1 2

k ?1

?

1 k ?1 a a1 , 2ak ? 2 ? 2a1 (? ) ? 1 , k 2 2k 2

? ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , ak ?2 , ak 成等差数列,
公差 d k ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1[( ? )

1 2

k ?1

1 3a ? (? ) k ] ? k ?11 . 2 2

?当 k 是偶数时,设 {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列为 a k , ak ? 2 , ak ?1 ,

a a 1 1 1 则 ak ?1 ? ak ? a1 (? )k ? a1 (? )k ?1 ? ? 1 , 2ak ? 2 ? 2a1 (? )k ?1 ? ? 1 , k 2 2k 2 2 2

? ak ?1 ? ak ? 2ak ? 2 ,因此 ak ?1 , ak ?2 , ak 成等差数列,
3a 1 1 公差 dk ? ak ? 2 ? ak ? a1[(? )k ?1 ? (? )k ?1 ] ? k ?11 . 2 2 2
综上可知, {a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,且

dk ?

3a1 d 1 ,? n ?1 ? ,? 数列 {d n } 为等比数列. k ?1 2 dn 2

10. 证明: (1)①存在 a ? 1 ,当 x ? (0,1), f ( x) ? ? ln x 为减函数, 当 x ? (1,??), f ( x) ? ln x 为增函数; ②对任意 x ? 0 ,当 1 ? x ? 0 时, f (1 ? x) ? ln( 1 ? x) ? ? ln(1 ? x),

f (1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x).
所以 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? ? ln( 1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ? ln(1 ? x ) ? 0,
2

即 f (1 ? x) ? f (1 ? x). 所以函数 y ? ln x 为 (0,??) 内的“勾函数” . (2)①当 ? ? 0 时, h( x ) ? 1 ,不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数” ;
' 2 2 3 ②当 ? ? 0 时, h ( x) ? ?x ? ? x ? 2? ? ? ( x ? ? )(x ? 2? ).

8

当 x ? (2? ,?? ) 时, h ' ( x) ? 0 , h( x) 为增函数; 当 x ? (?? ,??) 时, h ' ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, 因此不存在 m 及常数 x 0 , 使函数 h( x) 在 (m, x0 ) 为减函数, 同时在 ( x0 ,??) 为增函数. 所以不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. ③ 当 ? ? 0 时, h( x) 在 (?? ,2? ) 为减函数,在 (2? ,??) 为增函数. 当 m ? [?? ,2? ) ,则在 ( m,??) 上存在 a ? 2? ,使 h( x) 在 ( m, a ) 内为减函数,在

(a,??) 内为增函数.
当 x ? 0 , a ? x, a ? x ? (m,??) 时, 因为 h(a ? x) ? h(a ? x)

1 1 ? ?[( 2? ? x)3 ? (2? ? x)3 ] ? ?2 [( 2? ? x) 2 ? (2? ? x) 2 ] ? 2?3 [( 2? ? x) ? (2? ? x)] 3 2 2 3 ? ? ?x ? 0. 所以 h(a ? x) ? h(a ? x) . 3
所以也不存在 m 使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”. 综上所述,不论常数 ? 取何值,都不存在 m ,使函数 h( x) 在 ( m,??) 内为“勾函数”.

理科加试
11. 解: (1)如图,建立直角坐标系. 则 A1 (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , B1 (2,0, 2) , C (0, 2,0) ,
E (1,1, 0) , M (0, 0, m) , C1 ( 0 , 2 , , 2)

z A1 B1 A E y B C1

B1 M = (?2, 0, m ? 2) , C1 E = ?1,?1,?2? .

M C

x

因为 B1M ? C1 E ,所以 B1 M ? C1 E = ?2 ? 2(m ? 2) =0. 解得 m ? 1 所以 AM ? 1.

9

(2) AE = (1,1, 0) , AC1 ? (0, 2, 2) , 设平面 AEC1 的法向量 n = ( x, y, z ) ,
? ?n ? AE ? x ? y ? 0 则: ? ,令 y ? ?1 ,则 x ? 1, z ? 1 . n ? (1, ?1,1) . ? ?n ? AC1 ? 2 y ? 2 z ? 0

因为 AA1 ? AC , BA ? AC ,所以 AC ? 平面 ABB1 A1 ,
AC 为平面 ABB1 A1 的法向量, AC = (0, 2, 0) .

cos ? A C ,n ?=

AC ? n AC ? n

=

?2 2 3

=?

3 . 3 3 . 3

所以平面 AEC1 与平面 ABB1 A1 所成锐二面角的余弦值为

12.解:设存在实数 b ? [1, a] ,使 C ? A ? B ? ? ,设 m0 ? C ,则 m0 ? A ,且 m0 ? B .

at ? b 设 m0 ? a (t ? N ) ,m0 ? (a ? 1)S ? b(S ? N ) ,则 a ? (a ? 1)S ? b ,所以 S ? , a ?1
t * *
t

t * 因为 a, t , s ? N ,且 a ? 2 ,所以 a ? b 能被 a ? 1 整除.

? 当 t ? 1时,因为 b ? [1, a] , a ? b ?[0, a ? 1] ,所以 S ?
*

a ?b ? N*; a ?1

1 ? 当 t ? 2n(n ? N ) 时, a 2n ? b ? [(a ? 1) ?1]2n ? b ? (a ? 1)2n ? ?? C2 ) ?1? b , n (a ? 1

由于 b ? [1, a] ,所以 b ? 1? [0, a ? 1] , 0 ? b ? 1 ? a ? 1 ,
t 所以,当且仅当 b ? 1 时, a ? b 能被 a ? 1 整除.

? 当 t ? 2n ? 1(n ? N * ) 时, a2n?1 ? b ? [(a ? 1) ? 1]2n?1 ? b ? (a ? 1)2n?1 ? 由于 b ? [1, a] ,所以 b ? 1? [2, a ? 1] ,

1 ? C2 n ?1 (a ? 1) ? 1 ? b ,

t 所以,当且仅当 b ? 1 ? a ? 1 ,即 b ? a 时, a ? b 能被 a ? 1 整除.

综上,在区间 [1, a] 上存在实数 b ,使 C ? A ? B ? ? 成立.
2n * 当 b ? 1 时, C ? { y y ? a , n ? N } ;

当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n ? N *} .

10

2015 高考数学模拟题(2)
南师大《数学之友》
一. 填空题
1. 已知 ? ? (

?

3 ? ? , ? ) 且 cos ? ? ? ,则 tan( ? ) 的值为 2 5 2 4



.

2 2 2. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设 A 是曲线 C1 :y ? ax3 ? 1(a ? 0) 与曲线 C2 :x ? y ?

5 2

的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是 ▲ .

3. 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上恰好有 6 个不同的点 a 2 b2
▲ .

P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是

4. 已知 AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 60 , CD ? 2 BC , AE ? x AD ? (1 ? x ) AB , x ? (0,1) , 则 AE 在 AC 上的投影的取值范围是 5. 设函数 f ( x) ? ? 实数 a 的值为 ▲ .

?? 1,?2 ? x ? 0 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax , x ?[?2,2] 为偶函数,则 ? x ? 1,0 < x ? 2
▲ .

6. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的数 列至多有 ▲ 项.

二、解答题
7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=64,圆 O1 与圆 O 相交,圆心为 O1(9,0). (1) 经过 O1 作圆 O 的切线,求切线方程; (2) 过定点 P?6,0? 作动直线 l 与圆 O ,圆 O1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O1 截得的弦长分 别为 d , d1 .若 d 与 d1 的比值总等于同一常数 λ,求 λ 的值和圆 O1 的方程.

11

8. 某港湾的平面示意图如图所示,直线 l1 、 l 2 是两条海岸线,点 O 为

l1 、l 2 交点,A 位于 O 的正南方向 6 km 处,B 位于 O 的北偏东 60? 方
向 10 km 处. (1) 求集镇 A , B 间的距离; (2) 随着经济的发展, 为缓解集镇 O 的交通压力, 拟在海岸线 l1 ,l 2 上 分别修建码头 M、N , 开辟水上航线. 勘测时发现: 以 O 为圆心, 3 km 为半径的扇形区域为浅水区, 不适宜 船只航行. 请确定码头 M、N 的 位置,使得 M、N 之间的直线航线最短.

9. 有 n 个首项都是 1 的等差数列, 设第 m 个数列的第 k 项为 amk (m, k ? 1, 2,3, 公差为 d m ,并且 a1n , a2n , a3n ,

, n, n ≥ 3) ,

, ann 成等差数列.

(1)证明 d m ? ?2 ? m?d1 ? ?m ? 1?d 2 ; (2)设 d1 ? 1, d 2 ? 3 ,当 n ? 6 时,不等式

1 ( 2n ? 3)2 n ?1 ? d n 恒成立. 50

2 10.已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? b ln x ( a, b ? R ) , g ( x) ? x .

1 x

(1) 若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值; (2) 在(1)的条件下,求证 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 ; (3) 若 b ? 2 ,函数 f ( x) 与 g ( x) 在其公共点处是否存在公切线.若存在,求出 a 值的个 数;若不存在,说明理由.

12

理科加试
11. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且

D1E ? ?EO .
(1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值.

D1 A1 D A O B E B1

C1

C

12. 如图,椭圆 C 1 :

x2 3 2 ? y 2 ? 1 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x ? 1截得的线段 2 4

长等于 C 1 的长半轴长.设 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A ,

B ,直线 MA , MB 分别与 C1 相交于点 D , E .
(1)证明: MD ? ME ; (2) 记 ?MAB ,?MDE 的面积分别为 S 1 ,S 2 , 问: 是否存在直线 l , 使得 请说明理由.

S1 17 成立? ? S 2 32

13

参考答案 一. 填空题
1.答案:

1 . 3

解:

?
4

?

?
2

?

?
2

, cos ? ? 2 cos

2

?
2
?
2

? 1 ,? cos2
?1

?
2

?

? 5 ? 2 5 1 , cos ? , sin ? , 5 2 5 2 5

tan

?
2

? 2 , tan( ? ) ?
2 4

?

?

1 ? . ? 3 1 ? tan 2

tan

2.答案: 4. 解:设 A?x0 , y0 ? ,所以 C1 在 A 处的切线斜率为 f ' ?x0 ? ? 3ax0 ,
2

C2 在 A 处的切线斜率为 ?
直, 所以, ? ??
3

x 1 ? ? 0 ,又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂 kOA y0

? x0 ? 3 2 ? ? 3ax0 ? ?1 ,即 y0 ? 3ax0 . ? ? y0 ?
1 5 3 2 2 .代入 C 2 : x ? y ? ,得 x0 ? ? , 2 2 2

又 ax0 ? y0 ?1,故 y0 ? 将 x0 ? ?

1 3 3 , y0 ? 代入 y ? ax ? 1?a ? 0? ,得 a ? 4 . 2 2 1 1 1 3.答案: ( , ) ? ( ,1) . 3 2 2
解: ?

?4c ? 2a ? 2c 1 1 1 1 1 ? ? e ? 1且e ? ,故离心率范围为 ( , ) ? ( ,1) . 3 2 3 2 2 ?2c ? a

4.答案: ?1,7 ?. 解:如图, C(3,0), B(1, 3), D(7, ?2 3) .

AE ? (6x ? 1, ?3 3x ? 3) ,
AE cos ?EAC ? ? 6 x ? 1 ? [1, 7] AE ? AC AC ? 3(6 x ? 1) ? 6 x ? 1, x ? (0,1) 3

14

5.答案:

1 . 2

解:由题设, g ( x) ? ?

?? ax ? 1,?2 ? x ? 0 , ?(1 ? a) x ? 1,0 < x ? 2

则 g ( ? x) ? ?

?ax ? 1,?2 ? ? x ? 0 ?? (1 ? a) x ? 1,?2 ? x < 0, ?? ?(a ? 1) x ? 1,0 ? ? x ? 2 ?ax ? 1.0 ? x ? 2

因为 g ( x) 为偶函数,故 g ( x) ? g (? x) . 则 ax ? 1 ? (1 ? a) x ? 1对于 x ?[?2,2] 恒成立, 从而有 a ? 1 ? a ,得 a ? 6.答案: 8. 解:设 a1 , a2 , a3 ,??, an 是公差为 4 的等差数列, 则 a1 ? a2 ? a3 ???? an ? 100, 即 a1 ?
2

1 . 2

2

?a1 ? 4? ? ?a1 ? 4?n ? 1?? ? ?n ? 1? ? 100 ,
2
2

? ? a1 ? ?n ?1?a1 ? ?2n2 ? 2n ?100? ? 0 ,
因此, ? ? 7n ? 6n ? 401? 0 ,
2

解得 n1 ? n ? n2 , 其中 n1 ?

1 3 ? 2816 3 ? 2816 ? 0 , 8 ? n2 ? ?9, 7 7

?

?

所以,自然数 n 的最大值为 8,故这样的数列至多有 8 项. 故答案为:8.

二、解答题
7.解:(1)设切线的斜率为 k ,则由题意可得切线方程为 y ? kx ? 9k ? 0 , 由圆心 O (0,0) 到切线的距离为圆 O 的半径得:

9k 1? k 2

? 8,

解得 k ? ?

17 . 8

15

所以切线方程为 y ?

17 9 17 17 9 17 x? x? 或y?? . 8 8 8 8

(2) 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? k ( x ? 6) ,即 y ? kx ? 6k ? 0 . 则点 O,O1 到直线 l 的距离分别为 h ?

6k 1? k 2



h1=

3k 1? k 2

,设圆 O1 的半径为 r ,

36k 2 9k 2 2 从而 d ? 2 64 ? , d1 ? 2 r ? . 1? k 2 1? k 2
d 2 由 =λ,得 d 2 ? ?2 d1 . d1 所以 64-

36k 2 9k 2 2 2 ? ( r ? ). = 1? k 2 1? k 2

整理得: (28 ? ?2r 2 ? 9?2 )k 2 ? ?2r 2 ? 64 ? 0 . 由题意,知上式对于任意实数 k 恒成立,
2 2 2 ? ?28 ? ? r ? 9? ? 0 所以 ? 2 2 . ? ?? ? r ? 64 ? 0
2 解得 ? =2(负根舍去), r ? 16 .

综上所述, ? =2.圆 O1 的标准方程为 ( x ? 9) ? y ? 16 .
2 2
? 8. 解:(1) 在 ?ABO 中, OA ? 6 , OB ? 10 , ?AOB ? 120 ,

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2 ? OA? OB ? cos120?

? 1? ? 62 ? 102 ? 2 ? 6 ?10? ? ? ? ? 196 . ? 2?

? AB ? 14 ,即 A , B 间的距离为 14 km .

(2) 依题意,直线 MN 与圆 O 相切,设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN . 设 OM ? x , ON ? y , MN ? u ,

16

在 ?OMN 中, 即 xy ? 2 3u .

1 1 ? OM ? ON ? sin 60 ? ? ? MN ? OC , 2 2

由余弦定理, u 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos120?

? x 2 ? y 2 ? xy ? 3 xy .
所以, u ? 6 3u , u ? 6 3 ,当且仅当 x ? y ? 6 时, u 取得最小值.
2

答: M、N 建在距离 O 点均为 6km 处航线最短. 9. 证明:(1)因为 a1n , a2n , a3n ,

, ann 成等差数列,所以 a12 , a22 , a32 ,......,an 2 成等差数列.

?(1 ? d2 ) ? (1 ? d1 ) ? (1 ? d3 ) ? (1 ? d2 ) ? ? ? (1 ? dn ) ? (1 ? dn?1 )
即 d 2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? d n ? dn?1 ,所以, {d n } 成等差数列,公差为 d 2 ? d1 , 所以 dm ? d1 ? (m ?1)(d2 ? d1 ) ? (2 ? m)d1 ? (m ?1)d2 . (2)由题知 d n ? 2n ? 1, ?

1 ( 2n ? 3) 2 n ?1 ? d n , 即 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) . 50

即为不等式 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) ? 0 的解, 考虑函数 f (n) ? (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) , 由于 f (n ? 1) ? f (n) ? 2[(2n ? 1)2 ? 50] ,
n

当 n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) . 即 f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? ? , 而 f (6) ? 9(128 ? 50) ? 100 ? 602 ? 0 , 所以,当 n ≥ 6 时,有 f (n) ? 0 . 因此当 n ≥ 6 时, (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) 恒成立, 即

1 ( 2n ? 3)2 n ?1 ? d n 恒成立. 50

10. 解: (1) a ? 1 , f ( x) ? x ?
'

1 b x ? bx ? 1 1 ' , ? b ln x , f ( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
2

依题意, f (1) ? 2 ? b ? 0 .? b ? 2 .

17

(2)由(1)得 f ( x) ? x ?

1 ? 2ln x , x ? (0,??) . x
2

要证 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 ,只须证 x ? x ? 设 F (x) ? x2 ? x ?

1 ? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0 . x

1 ? 2ln x ? 2ln 2 ( x ? 0 ). x

F ' ( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 2 x 3 ? x 2 ? 1 ? 2 x (2 x ? 1)(x 2 ? 1) ? ? ? . x2 x x2 x2

1 1 1 . 当 0 ? x ? 时, F ' ( x) ? 0 ;当 x ? 时, F ' ( x) ? 0 . 2 2 2 1 7 1 所以,当 x ? 时, F ( x) 取极小值,也是最小值, F ( x ) min ? F ( ) ? ? 0 . 2 2 4
令 F ' ( x) ? 0 ,得 x ? 因此 F ( x ) ? 0 , g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 . (3)设函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像在其公共点 ( x0 , y0 ) 处存在公切线.

1 ax2 ? 2 x ? a ' , g ( x) ? 2 x . f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x , f ' ( x) ? 2 x x
由 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,可得到

ax0 ? 2 x0 ? a 3 2 ? 2 x0 ,即 2x0 ? ax0 ? 2x0 ? a ? 0 , 2 x0

2

(2 x0 ? a)( x02 ? 1) ? 0 ,得 x0 ?

a . f ( x) 的定义域为 (0, ??) . 2

当 a ? 0 时, x0 ?

a ? (0, ??) .函数 f ( x) 与 g ( x) 在其公共点处没有公切线; 2

当 a ? 0 时,令 f ( ) ? g ( ) ,

a 2

a 2

1 2 a 1 a2 ? 8 a a ? 2 ? 2 ln ? a 2 ,即 ? ln( ) . 2 2 4 8 2

8 ln a ? a 2 ? 8 ? 8 ln 2 ? 0 .
设 h( x) ? 8ln x ? x2 ? 8 ? 8ln 2 ( x ? 0 ) , h ( x) ?
'

8 ? 2 x .令 h' ( x) ? 0 ,得 x ? 2 . x

当 x ? (0, 2) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 递增;当 x ? (2, ??) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 递减. 所以 h( x) max ? h(2) ? 4 ? 0 .

2 2 2 ?4 h( ) ? 8ln ? ( )2 ? 8 ? 8ln 2 ? ? 0 ,在 (0, 2) 上存在唯一 x1 ,使得 h( x1 ) ? 0 ; e e e e
又 h(2 ) ? 8 ln 2 ? 8 ? 0 ,在 (2, ??) 上存在唯一 x 2 , h( x2 ) ? 0 .
2

综上, a ? 0 时,不存在公切线; a ? 0 时,存在公切线,适合题意的 a 值有两个.

18

理科加试
11. 解: (1)不妨设正方体的棱长为 1, 以 DA, DC, DD 1 为单位正交基底建立如图所示的空间

O( , 直角坐标系 D ? xyz , 由题设,E 为 D1O 的中点, 则 A(1,0,0) ,

1 1 ,0) ,C (0,1,0) , 2 2

1 1 1 1 1 1 D1 (0,0,1) , E ( , , ) , 于是 DE ? ( , , ) , 4 4 2 4 4 2 1 1 CD1 ? (0,?1,1) , CO ? ( ,? ,0) , 2 2
由 cos ? DE, CD1 ??

DE ? CD1 DE ? CD1

?

3 . 6
3 . 6

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

(2)设平面 CD1O 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? CO ? 0 , m ? CD1 ? 0 ,得

1 ?1 ? x1 ? y1 ? 0, 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? z1 ? 1 ,即 m ? (1,1,1) .由 D1E ? ?EO , 2 ?2 ? ?? y1 ? z1 ? 0,
得 E(

1 ? ? 1 , , ). ) , DE ? ( 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? , ,

?

?

又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CD ? 0 , n ? DE ? 0 ,得

? y2 ? 0, ? 取 x2 ? 2 ,得 z2 ? ?? ,即 n ? (?2,0, ? ) . ?y2 ?z2 ? ?x2 ? ? ? 0 , ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) ?
因为平面 CDE ? 平面 CD1 E ,所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2 . 12. 解:(1) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是上述方程的两个实根, 于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 .又点 M 的坐标 (0,?1) ,所以

k MA ? k MB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2

19

?

k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ?1 . ?1 x1 x2

故 MD ? ME . (2) 设直线 MA 的斜率为 k1 ,则直线 MA 的方程为 y ? k1 x ? 1 , 由?

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 2 或? .故点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) . 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1

又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 ( ? , 2 ? 1) . k1 k1 k1
2

1 1 1 1 1 ? k1 于是 S 1 ? MA ? MB ? , ? 1 ? k12 ? k1 ? 1 ? 2 ? 2 2 k1 2 k1 k1
由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 .
2 2

8k1 ? x ? ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 解得 ? 或? , 故点 的坐标为 ( , ), D 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
1 ? 8k1 4 ? k12 又直线 ME 的斜率为 ? ,同理可得点 E 的坐标为 ( , ), k1 4 ? k12 4 ? k12
于是 S 2 ?

32(1 ? k12 ) ? k1 1 MD ? ME ? . 2 (1 ? 4k12 )(k12 ? 4)

因此

S1 1 4 S 1 4 17 ? (4k12 ? 2 ? 17) 由题意知, 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) ? , S 2 64 k1 S 2 64 k1 32
k12 ?

1 k12 1 1 2 2 解得 k1 ? 4 或 k1 ? .又由点 A , B 的坐标可知, k ? = k1 ? , 1 k1 4 k1 ? k1
所以 k ? ?

3 . 2
3 3 x, y ? ? x . 2 2

故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ? 当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n ? N *} .

20


相关文章:
4江苏省南京师大附中2015届高三模拟考试数学卷
4江苏省南京师大附中2015届高三模拟考试数学卷_数学_高中教育_教育专区。精编版南京师大附中 2015 届高三模拟考试试卷 数 学 2015.05 一.填空题:本大题共 14 小...
南京师大附中2015届高三12月段考数学试题
南京师大附中 2015 届高三 12 月段考试卷 数学 2014.12.30 注意事项: 本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两...
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学模拟题(1) 南师大《数学之友》一. 填空题 1. 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , ...
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷(教师版)
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷(教师版)_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 飞车狂小子 贡献于2015-05-28 1/2 相关文档推荐 ...
南京师大附中2015届高三模拟考试试卷
南京师大附中2015届高三模拟考试试卷_数学_高中教育_教育专区。南京师大附中 2015 届高三模拟考试试卷 语文 2015.05 本试卷包含选择题(第 1 题-第 7 题,共 7 ...
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学模拟题(1) 南师大《数学之友》 一. 填空题 1. 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 ,...
江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷及答案
江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学模拟题(2) 南师大《数学之友》 一. 填空题 1. 已知 ? ? ( ? ...
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷1
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷1_数学_高中教育_教育专区。南京师大附中 2015 届高三数学模拟考试试卷 1 一. 填空题 1. 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 ,...
江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷1
江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷1_数学_高中教育_教育专区。2015 高考数学模拟题(1) 南师大《数学之友》一. 填空题 1. 在 ?ABC 中,已知 AC ?...
更多相关标签:
南京师大附中 | 南京师大附中江宁分校 | 南京师大附中新城 | 南京师大附中新城初中 | 南京师大附中树人学校 | 云师大附中高三课程表 | 福建师大附中高三英语 | 云南师大附中高三安排 |