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【名师解析】辽宁师大附中2015届高三上学期10月模块考试数学(理)试题(解析版)


辽宁师大附中 2015 届高三上学期 10 月模块考试数学 (理)试题(解析版)
【试卷综析】 本次试卷考查的范围是三角函数和数列。 试卷的题型着眼于考查现阶段学生的 基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习 信心并激励学生继续学习的热情;在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出 知识体系中的重点,培养能力”的命题原则,

重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问 题、解决问题能力的考查。 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.若 a、b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ?

1 ”的( b



A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.L4 【答案解析】B 解析:若 a、b 为实数, ab ? 1 ,令 a=﹣1,b=1,ab=﹣1<1,

1 1 ,若 0 ? a ? ,可得 b>0,∴ 0< ab ? 1 ,? ab ? 1 , b b 1 ab ? 1 ”是“ 0 ? a ? 必要不充分条件,故选 B. ∴ b
推不出 0 ? a ? 【思路点拨】令 a=﹣1,b=1 特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断. 【题文】2.已知实数 x , y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
x y



A. x ? y
3

3

B. sin x ? sin y
2

C. ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)
2

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

【知识点】指数函数的图像与性质.L4 【答案解析】A 解析:∵ 实数 x , y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,∴ x>y, A.当 x>y 时, x ? y ,恒成立,
3 3

B.当 x=π,y=
2

时,满足 x>y,但 sin x ? sin y 不成立.
2

C.若 ln( x ? 1) ? ln( y ? 1) ,则等价为 x2>y2 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x2 >y2 不成立.

D.若

1 1 ,则等价为 x2+1<y2+1,即 x2<y2,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 ? 2 x ?1 y ?1
2

x2<y2 不成立.故选:A. 【思路点拨】 本题主要考查不等式的大小比较, 利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. 【题文】3.下列四个图中,函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象可能是(



【知识点】函数的图象.L4 【答案解析】C 解析:当 x>0 时,y<0,排除 A、B 两项;当﹣2<x<﹣1 时,y>0,排除 D 项.故选:C. 【思路点拨】根据四个选择项判断函数值的符号即可选择正确选项. 【题文】4.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满 足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是(
2



1 2 【知识点】奇偶性与单调性的综合.L4

A.

3 2

B.1

C.

D.2

【答案解析】C 解析:∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ,

等价为 f(log2a)+f(﹣log2a)=2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1). ∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增, ∴ f(log2a)≤f(1)等价为 f(|log2a|)≤f(1).即|log2a|≤1, ∴ ﹣1≤log2a≤1,解得 ,故 a 的最小值是 ,故选:C

【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行化简,即可得到结论. 【题文】5.已知向量 a、 b ,其中 a ? 是 ( A. )

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角 2 , b ? 2 ,且
C. D. ?

3? 4 4 2 【知识点】数量积表示两个向量的夹角.L4
B. 【答案解析】A 解析:设两个向量的夹角为 θ

?

?

(a ? b) ? a ,∴ ∵

,∴

,即



,∵ θ∈[0,π],∴

,故选 A

【思路点拨】 利用向量垂直的数量积为 0 列出方程; 利用向量的平方等于向量模的平方及向 量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角. 【题文】6.把函数 y ? sin 3x 的图象适当变化就可以得 y ? 个变化可以是( )

2 (sin 3x ? cos3x) 的图象,这 2

? 4 ? C.沿 x 轴方向向右平移 12
A.沿 x 轴方向向右平移

? 4 ? D.沿 x 轴方向向左平移 12
B.沿 x 轴方向向左平移

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.L4 【答案解析】C 解析:∵ 函数 y ?

2 (sin 3x ? cos3x) =sin(3x﹣ 2

)=sin3(x﹣

),

∴ 把函数 y ? sin 3x 的图象沿 x 轴方向向右平移 图象,故选:C.

? 2 个单位, 可得 y ? (sin 3x ? cos3x) 的 12 2

【思路点拨】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 【 题 文 】 7. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 又 知 ( x ln x) ' ? ln x ? 1 , 且
e

S10 ? ? ln xdx , S 20 ? 17 ,则 S30 为(
1



A.33 B.46 C.48 D.50 【知识点】等差数列的性质;定积分的简单应用.L4 【答案解析】C 解析: S10 ?

?

e

1

ln xdx =(xlnx﹣x)

=e﹣e﹣(﹣1)=1

∵ 等差数列中,S10,S20﹣S10,S30﹣S20 为等差数列, 即 1,17﹣1,S30﹣17 为等差数列,∴ 32=1+S30﹣17,∴ S30=48,故选 C。 【思路点拨】先利用微积分基本定理求定积分的值,得 S10=1,再利用等差数列的性质,即 S10,S20﹣S10,S30﹣S20 为等差数列,即可列方程得所求值. 【题文】8 .已知 sin( A. ?

7? 2? 4 3 ) 的值是 ( ,则 sin(? ? ? ? ) ? sin ? ? 6 3 5



2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

【知识点】两角和与差的正弦函数.L4 【答案解析】C 解析:sin( = cosα+ sinα+sinα= ﹣α)+sinα=sin ( cosα+ cosα﹣cos sinα)= sinα+sinα (sin cosα+cos sinα)

cosα+ sinα=

=

sin(

)= )= ,∴ =sin( )=﹣sin( )=﹣

∴ =sin( 故答案选:C

【思路点拨】先用正弦两角和公式把 sin( 后通过诱导公式展开则

﹣α)+sinα 展开求的 sin( )的值代入即可.

)的值,然

,把 sin(

【题文】 9. 已知函数 f (x) =lnx+tan ?( ? ∈ (0, ) ) 的导函数为 f ?( x ) , 若使得 f ?( x0 ) = f ( x0 ) 成立的 x0 <1,则实数 ? 的取值范围为( A. ( ) D. (0,

? 2

? ? , ) 4 2

B. (0,

? ) 3

C. (

? ? , ) 6 4

? ) 4

【知识点】导数的运算.L4 【答案解析】A 解析:∵ f′ (x)= ,f′ (x0)= ∴ =ln x0+tan α,∴ tan α= 又∵ 0<x0<1,∴ 可得 ﹣ln x0, , ).故选:A. =ln x0+tan α,即 tan ,f′ (x0)=f(x0),

﹣ln x0>1,即 tan α>1,∴ α∈(

【思路点拨】由于 f′ (x)= ,f′ (x0)= α= ﹣ln x0,由 0<x0<1,可得

,f′ (x0)=f(x0),可得

﹣ln x0>1,即 tan α>1,即可得出.

?1?x 【题文】10.已知函数 f(x)=? ? -log2x,实数 a、b、c 满足 f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c), ?3?
若实数 x0 是方程 f(x)=0 的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是( A.x0<a B.x0>b C.x0<c D.x0>c )

【知识点】函数零点的判定定理.L4 【答案解析】D 解析:因为 f(x)=( )x﹣log2x,在定义域上是减函数,所以 0<a<b< c 时,f(a)>f(b)>f(c)又因为 f(a)f(b)f(c)<0, 所以一种情况是 f(a),f(b),f(c)都为负值,① , 另一种情况是 f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0.② 在同一坐标系内画函数 y=( )x 与 y=log2x 的图象如下,

对于① 要求 a,b,c 都大于 x0, 对于② 要求 a,b 都小于 x0 是,c 大于 x0. 两种情况综合可得 x0>c 不可能成立 故选 D. 【思路点拨】有 f(a)f(b)f(c)<0 可得① f(a) ,f(b) ,f(c)都为负值;② (a)>0, f(b)>0,f(c)<0,对这两种情况利用图象分别研究可得结论. 第Ⅱ卷 (共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在相应位置上。 11.函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 1 ,对任意 x ? R, f '( x) >3,则 f ( x) >3x+4 的解集 为 . 【知识点】函数的单调性与导数的关系.L4 【答案解析】 ? ?1, ?? ? 解析:设 F(x)=f(x)﹣(3x+4),

则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣3+4)=1﹣1=0, 又对任意 x∈R,f′ (x)>3,∴ F′ (x)=f′ (x)﹣3>0, ∴ F(x)在 R 上是增函数, ∴ F(x)>0 的解集是(﹣1,+∞), 即 f(x)>3x+4 的解集为(﹣1,+∞). 故答案为:(﹣1,+∞) 【思路点拨】构造函数 F(x)=f(x)﹣(3x+4),由 f(﹣1)=1 得 F(﹣1)的值,求 F(x) 的导函数,根据 f′ (x)>3,得 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的单调性得 F(x)大于 0 的解集,从而得所求不等式的解集.

m2 ? 9 ? 0 ,则实 【题文】12.已知 f ?x ? ? tan x ? cos?x ? m? 为奇函数,且 m 满足不等式 m?m ? 1?
数 m 的值为 . 【知识点】函数奇偶性的性质.L4

【答案解析】 ?

?
2


解析:不等式

≤0 等价于



解得,



,即有﹣3≤m<0 或 1<m≤3,①

∵ f(x)=tanx+cos(x+m)为奇函数, ∴ f(﹣x)=﹣f(x),即 tan(﹣x)+cos(﹣x+m)=﹣tanx﹣cos(m+x), ∴ cos(﹣x+m)=﹣cos(x+m),∴ cosmcosx+sinmsinx=﹣cosmcosx+sinmsinx, ∴cosm=0,m=k ,k 为整数,② ∴由① ② 得,m=± .故答案为:± .

【思路点拨】 首先解不等式

≤0, 得到﹣3≤m<0 或 1<m≤3, ① 再根据 ( f x) =tanx+cos ,k 为

(x+m)为奇函数,由奇函数的定义,以及应用三角恒等变换公式,求出 m=k 整数,② ,然后由① ② 得,m=± .

【题文】 13. 已知 x>0, y>0, 且

2 1 2 若 x+2y>m +2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围 ? =1, x y

.

【知识点】函数恒成立问题.L4 【答案解析】-4<M<2 解析 ∵ ,∴ x+2y=(x+2y) =4+ + ≥4+2 =8

∵x+2y>m2+2m 恒成立,∴m2+2m<8,求得﹣4<m<2,故答案为:﹣4<m<2. 【思路点拨】先把 x+2y 转化为(x+2y) 展开后利用基本不等式求得其最小值,然

后根据 x+2y>m2+2m 求得 m2+2m<8,进而求得 m 的范围 【题文】14. 已知点 O 是 ?ABC 的外接圆圆心,且 AB ? 3, AC ? 4 .若存在非零实数 x, y , 使得 AO ? x AB ? y AC ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 cos ?BAC ? 【知识点】平面向量的基本定理及其意义.L4 【答案解析】 ∴ ﹣ =y( .

2 3

解析:如图所示,∵ =x ﹣2 ),∴ =y( + =2 +

+y ), ,

,且 x+2y=1,

取 AC 的中点 D,则

,∴ =2y

又点 O 是△ ABC 的外心,∴ BD⊥ AC.在 Rt△ BAD 中,cos∠ BAC= .故答案为: ,

【思路点拨】由

=x

+y

,且 x+2y=1,可得 =2y



=y(

﹣2

) ,利用向量的运算法

则,取 AC 的中点 D,则

,再利用点 O 是△ ABC 的外心,可得 BD⊥ AC.即可得出.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分. 2 15.已知命题 p :任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,命题 q :存在 x0 ? R ,使得 x0 ? (a ? 1) x0 ? 1 ? 0 . 若“ p 或 q 为真”,“ p 且 q 为假”,求实数 a 的取值范围. 【知识点】复合命题的真假.L4 【答案解析】-1≤a≤1或a>3 解析:p 真 , 任意 x ? [1, 2] ,有 x 2 ? a ? 0 ,即 a ? x 2 在 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1, 4 , 则 a≤ 1 ? ( 2分 ) 2 q 真 , 则 △ = ( a-1 ) -4 > 0,即 a > 3 或 a < -1 ? ( 4分 ) ∵“ p 或 q ”为 真 ,“ p 且 q ”为 假 , ∴ p,q 中 必 有 一 个 为 真 , 另 一 个 为 假 ? 当 p 真 q 假 时 , 有í
2

[ ]

ì ? a?1 得 -1 ≤ a ≤ 1 ? ( 8 分 ) a 3 ? ? - 1# ì a> 1 ? 得 a> 3 ? ? a>3或a< - 1

当 p假 q真 时 , 有 í

∴实数 a 的取值范围为-1≤a≤1 或 a>3 ?(12 分) 【思路点拨】先求出命题 p,q 为真命题时,a 的范围,据复合函数的真假得到 p,q 中必有 一个为真,另一个为假,分两类求出 a 的范围. 【题文】16.已知 f ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2sin( (1)最小正周期及对称轴方程; (2) 已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 且 f ? A? ? ? 3 , a ? 3 , 求

3? ? x)sin( ? ? x), x ? R 2

BC 边上的高的最大值.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.L4 【答案解析】(1) p , x =

kp 5p + ,k 2 12

Z ;(2)

3 3 2

解析:(1) f ? x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? ?2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
k? 5? ? ,k ?Z 2 12

? f ? x ?的最小正周期为? , 令2 x ?
(2)由 f ? A? ? ? 3 得 sin ? 2 A ?

?
3

? k? ?

?
2

, 得x ?

? ?

??

3 ? ? ?? , 又A ? ? 0, ?, ? A= ?? 3? 2 3 ? 2?

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得9=b2 ? c2 ? bc ? bc

即bc ? (当且仅当 9 b=c时取等号)
设 BC 边上的高为 h ,由三角形等面积法知

1 1 3 9 3 ah ? bc sin A, 得3h ? bc ? 2 2 2 2

?h ?

3 3 3 3 ,即 h 的最大值为 . 2 2

【思路点拨】(1) 利用二倍角公式,诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简,利用三 角函数图象和性质求得其最小正周期 T,及对称轴; (2) 利用三角形面积公式得到 h 和 bc 的关系式,进而利用余弦定理得到 b 和 c 的关系式,利用基本不等式的性质求得 bc 的最大 值,进而求得 h 的最大值. 【题文】17.已知首项都是 1 的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N ) 满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ,求数列{cn}的通项公式; (2)若 bn=3 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【知识点】数列递推式;数列的求和.L4 【答案解析】(1) cn=2n-1 (2) Sn=(n-1)3 +1.
* *

an bn

n-1

n

解析:(1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N ),所以

an+1 an - =2, bn+1 bn

即 cn+1-cn=2,所以数列{cn}是以 c1=1 为首项,d=2 为公差的等差数列, 故 cn=2n-1. n-1 n-1 (2)由 bn=3 ,知 an=(2n-1)3 ,于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n-1, 1 2 n-1 n 3Sn=1×3 +3×3 +?+(2n-3)×3 +(2n-1)×3 , 1 2 n-1 n n 将两式相减得-2Sn=1+2×(3 +3 +?+3 )-(2n-1)×3 =-2-(2n-2)×3 , n 所以 Sn=(n-1)3 +1. 【思路点拨】(1)由 anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0,en= ,可得数列{cn}是以 1 为首项,2 为公

差的等差数列,即可求数列{cn}的通项公式;(2)用错位相减法求和.

【题文】18.已知向量 a

3 ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 4
2

(1)当 a // b 时,求 cos (2)设函数 若

x ? sin 2 x 的值; f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在△ ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,
6 3
,求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

a ? 3, b ? 2, sin B ?

? ?

??

? ?? ? ( x ? ?0, ? )的取值 6? ? 3?

范围. 【知识点】解三角形;平面向量共线(平行)的坐标表示;三角函数的恒等变换及化简求 值.L4 【答案解析】(1)

8 ; (2) 5

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

解析: (1)

3 3 a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)+

3 2

由正弦定理得

a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 ? 4 12 ? ? 3? ?

?? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , 6? 2 4 ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?
,从而可求 tanx,再代入即可人;

【思路点拨】(1)由 a // b 可得

(2)由正弦定理得 知x

a b 2 ? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 代入可得 f ( x) ,结合已 sin A sin B 2 4

可求函数的值域

【题文】19.已知函数 (1)当 a

f ( x) ? ( x 2 ? 2 x) ? ln x ? ax 2 ? 2 .

? ?1 时,求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)设函数 g ( x) ?

f ( x) ? x ? 2 ,

(ⅰ)若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,若 e
?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围。

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究 函数的极值.L4
2 【答案解析】(1) 3x ? y ? 4 ? 0 ;(2) (ⅰ) a ? 1 ; (ⅱ) m ? 2e

3e

解析: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x2 ? 2 x)ln x ? x2 ? 2 定义域 ? 0, ?? ? ,

f ?( x) ? ? 2x ? 2? ln x ? ? x ? 2? ? 2x
? f ?(1) ? ?3 ,又 f (1) ? 1
f ( x) 在 ?1, f ?1? ? 处的切线方程 3x ? y ? 4 ? 0
(2) (ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 2 ? 0
2 2 则 x ? 2 x ln x ? ax ? 2 ? x ? 2

?

?

即a

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x , x
1 1 2 ? 2 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? ? x2 x x2 x2

则 h?( x) ? ?

令 t ( x) ? 1 ? x ? 2 ln x

t ?( x) ? ?1 ?

2 ?x ? 2 ? , x x

t ?( x) ? 0 , t ( x) 在 (0, ??) 上是减函数


t ?1? ? h? ?1? ? 0

所以当 0 ? x ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,当 1 ? x 时, h? ? x ? ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减,

?h ? x ?max ? h(1) ? 1

所以当函数 g ? x ? 有且今有一个零点时, a ? 1
2 2 (ⅱ)当 a ? 1 , g ? x ? ? x ? 2 x ln x ? x ? x ,若 e?2 ? x ? e, g ( x) ? m, 只需证明

?

?

g ( x)max ? m,

g?( x) ? ? x ?1??3 ? 2ln x ?
令 g ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? e 又
? 3 2

e ?2 ? x ? e ,
? 3 ? 3

? 函数 g ( x) 在 (e ?2 , e 2 ) 上单调递增,在 (e 2 ,1) 上单调递减,在 (1, e) 上单调递增
又 g (e
? 3 2 3 ? 1 ) ? ? e ?3 ? 2e 2 2



g (e) ? 2e 2 ? 3e

3 3 ? ? 1 ?3 3 2 g (e ) ? ? e ? 2e ? 2e 2 ? 2e ? 2e(e ? ) ? g (e) 2 2 ?

3 2

即 g (e

?

3 2

) ? g (e)
? m ? 2e 2 ? 3e
??????14 分

g ( x) max ? g (e) ? 2e 2 ? 3e

【思路点拨】(1) 当 a=﹣1 时,求导数,可得切线斜率,求出切点坐标,即可求 f(x)在(1, f(1) )处的切线方程; (2) (i)令 g(x)=f(x)﹣x﹣2=0,可得 a

?

1 ? ( x ? 2) ? ln x x

令 h( x ) ?

1 ? ( x ? 2) ? ln x ,证明 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递 x
?2

减,可得 h(x)max=h(1)=1,即可求 a 的值;(ii)若 e

? x ? e, g ( x) ? m, ,只需证明

g ( x)max ? m, ,即可求 m 的取值范围.


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