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计数原理


计数原理、排列组合(提高 考纲要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理;会用分类加法计数原理或 分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式; 能解决简单的实际问题. 知识网络

考点梳理 要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 分类加法计数原理 2. 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 要点诠释: 如果完成一件事有 n 类办法,这 n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪 一类办法中哪一种方法都能完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类 加法计数原理;在解题时,应首先分清楚怎样才算完成这件事,有些题目在解 决时需要进行分类讨论,分类时要适当地确定分类的标准,按照分类的原则进 行,做到不重不漏。 2.分步乘法计数原理 2 方案中有 n 种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。

完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法。 要点诠释: 如果完成一件事需要分成 n 个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有的步 骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,计算完成这 件事的方法种数就用分步乘法计数原理。解题时,关键是分清楚完成这件事是 分类还分步,在应用分步乘法计数原理时,各个步骤都完成,才算完成这件事, 步骤之间互不影响,即前一步用什么方法,不影响后一步采取什么方法,运用 分步乘法计数原理,要确定好次序,还要注意元素是否可以重复选取 3.两个计数原理的综合应用 (1)在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能 同应用计数原理,即分类时,每类的方法可能要运用分步完成的,而分步时, 每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外,具体问题是先分类后分步,还 是先分步后分类,应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使 用,分类的关键在于要做到“不重不漏”,分类的关键在于要正确设计分步的 程序,即合理分类,准确分步。 (2)对于复杂问题,只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决 时,可以综合应用两个原理,可以先分类,在某一类中再分步,也可先分步, 在某步中再分类。 要点二、排列与组合基础知识 1. 定义、公式 排列与排列数 组合与组合数

1.排列:从 n 个不同元素中取出 m(m≤ 1.组合:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) n)个元素,按照一定的顺序排成一列, 个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 取出 m 个元素的一个组合。 定 义 个排列。 2.组合数:从 n 个不同元素中取出 m(m

2.排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做 ≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数。 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列 数。

排列数公式 公 式

组合数公式

性 质 备 注

(1) (2)

要点诠释: 区分某一问题是排列问题还是组合问题, 关键是看所选出的元素与顺序是否 有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合 问题。 2. 排列数、组合数计算 (1)排列数公式:右边第一个因数为 n,后面每个因数都比它前面那个因 数少 1,最后一个因数是 n-m+1,共 m 个

因数。公式

主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证;

(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种,与排列数公式的应用一样, 前者多用于数字计算,后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。 还应注意组合数公式的逆用,即由 要点诠释: 在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用,注意 含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。 要点三、排列应用题 求排列应用题的主要方法有: (1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算; 写出 。

(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置; (3)排列、组合混合问题先选后排的方法; (4)相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他 元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列; (5)不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列,再将 不相邻的元素插在前面元素排列的空当中; (6)分排问题直排处理的方法; (7)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法; (8)定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以 定序元素的全排列; (9)正难则反,等价转化的方法。 要点四、组合应用题 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元 素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元 素中去选取。 (2) “至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须十分重视“至 少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解。用直接法和间接法都 可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理。 考点梳理 要点五、排列、组合应用题 1. 排列、组合问题几大解题方法: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑, 待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端 的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后 再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑, 然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素

进行全排列有

种,

个元素的全排列有

种,由于要求 m 个元素次序

一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有 种排列方法.

⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有

. ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全

相同的球排成一列,在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球 分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为 ( 显然 , 故 ,对应着

)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解

惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图

所示)故方 .

程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 注意:若为非负数解的 x 个数,即用 有 解的个数为 . 中 等于 ,

,进而转化为求 a 的正整数

2. 解排列组合的应用题要注意以下几点: (1)仔细审题,判断是排列问题还是组合问题;要按元素的性质分类,按 事件发生的过程进行分类; (2)深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩 证思维,多角度分析,全面考虑; (3)对限制条件较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方 案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决; (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查 结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用 多种不同的方法求解,看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时,分类标

准应统一,否则易出现遗漏或重复。 (5)排列组合综合题目,一般是符合要求的元素取出(组合)或进行分组, 再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时,要注意“平均分组”与“不 平均分组”的差异及分类的标准。

类型五、排列组合常见问题及解法 一、分析题意明确是分类问题还是分步问题,是排列还是组合问题 5. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字的五位数,分别求出 下列各类数的个数: (1)奇数;(2)5 的倍数;(3)比 20300 大的数;(4)不含数字 0,且 1,2 不相邻的数。

【思路点拨】 (1)确定个位数为奇数,然后确定万位数,然后排列中间的 3 个位置,即 可。 (2)比 20300 大的数,按照万位、千位、百位,分别求出满足题目的数目 即可。 (3)不相邻问题采用插空法解决。 【解析】 (1)要得到一个 5 位数的奇数,分成 3 步, 第一步考虑个位必须是奇数,从 1,3,5 中选出一个数排列个位的位 置上有 种; 第二步考虑首位不能是 0,从余下的不是 0 的 4 个数字中任选一个排 在首位上有 种;

第三步:从余下的 4 个数字中任选 3 个排在中间的 3 个数的位置上有

种, 由乘法原理共有 (2)按 0 作不作个位来分类 第一类:0 作个位,则有 ; 。 (个)。 (个)。

第二类:0 不作个位即 5 作个位,则 则共有这样的数为: (3)比 20300 大的五位数可分为三类: 第一类:3xxxx, 4xxxx, 5xxxx,有 个;

第二类:21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx,有 第三类:203xx, 204xx, 205xx, 有 因此,比 20300 大的五位数共有: (4)不含数字 0 且 1,2 不相邻的数分两步完成: 第一步:将 3,4,5 三个数字排成一行; 个,

个;

(个)。

第二步:将 1 和 2 插入四个“空”中的两个位置, 故共有 【总结升华】 计数原理的应用问题,采用特殊位置优先考虑的原则,注意分类与分步计 数原理的应用,考查计算能力。 二、特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑 6. 五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数: (1)甲必须在排头; (2)甲必须在排头,并且乙在排尾; (3)甲、乙必须在两端; (4)甲不在排头,并且乙不在排尾; (5)甲、乙不在两端; (6)甲在乙前; (7)甲在乙前,并且乙在丙前; 个不含数字 0,且 1 和 2 不相邻的五位数。

【思路点拨】先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而要考虑分类。 【解析】 (1)特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”有 4 个位置有 种, × =24 种 × × =6 种 种,再排其它

所以共有:

(2)甲必须在排头,并且乙在排尾的排法种数: (3)首先排两端有 种,再排中间有

种,[来源:Z_xx_k.Com] × =12 种 -2 + =78 种

所以甲、乙必须在两端排法种数为:

(4)甲不在排头,并且乙不在排尾排法种数为: (5) 因为两端位置符合条件的排法有 种, 所以甲、乙不在两端排法种数为 ×

种, 中间位置符合条件的排法有

=36 种 ÷2!=60

(6)因为甲、乙共有 2!种顺序,所以甲在乙前排法种数为: 种 (7)因为甲、乙、丙共有 3!种顺序, 所以甲在乙前,并且乙在丙前排法种数为: 素和特殊位置入手。 ÷3!=20 种

【总结升华】站队问题是排列组合中的典型问题,解题时,要先从特殊元

三、捆绑与插空 7. 8 人排成一队 (1)甲乙必须相邻

(2)甲乙不相邻 (3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻,丙丁必须相邻 (5)甲乙不相邻 ,丙丁不相邻

思路点拨】有限制条件的排列问题,常见类型是“在与不在”、“邻与不邻” 问题,可分别用相应方法。 【解析】 (1)有 (2)有 (3)有 (4)有 种方法 种方法 种方法 种方法

(5)本题不能用插空法,不能连续进行插空,用间接解法: 全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻, 共 种方法。

【总结升华】解决本题的关键是掌握一些技巧在解题时很有用,如本题中 所用到的绑定,与插空,这些技巧都是针对某一类问题的,不同的问题中所采 用的技巧,将这些技巧与具体的背景结合起来。

四、间接法 8. 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,不同的 取法共有多少种?

【思路点拨】本题直接计数很困难,用间接法,从 10 个点中取 4 个有 剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种数为 (2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为 6 (3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有 3 种 故不同的取法共有 种

种方法,

【总结升华】为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现 某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复 杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数

五、隔板法 9. 10 个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方 法?

【思路点拨】把 10 个相同的名额放到八个班中,每班至少一个,可以用隔板法 来解。 【解析】把 10 个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中, 选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共

【总结升华】对于相同元素的分配问题,常采用隔板法,灵活运用隔板法 能处理一些较复杂的排列组合问题,但使用时有三点要求:①元素相同;②每组 均“非空”,即每组中至少分一个元素;③不能有剩余元素。

六、定序问题 10. 六人排成一排,要求甲在乙的前面,(不一定相邻),共有多少种不同 的方法?如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?

【思路点拨】本题可以采用消序的方法。 【解析】 (1)实际上,甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称,具有相同的排 法数。 因而有 (2)先考虑六人全排列 站, 由于三人所占位置相同的情况下,共有 种变化, ; ;其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序位

∴ 【总结升华】当某些元素次序一定时,先不考虑顺序限制,排列后再除以 定序元素的全排列,解题方法是:n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定, 共有 种排列方法。

七、排列组合综合应用 11. (1)某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬 手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只 能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有______种.(用数字作答) (2)有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1, 2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张 卡片所标数字之和等于 10,则不同的排法共有__________种(用数字作答).

思路点拨】 (1)根据题意,先安排第一棒,再安排最后一棒,由于甲既可以传第一棒, 又可以传最后一棒,因此应分类讨论,然后再逐类排出。 (2)根据题意,先将数字之和是 10 的数分类,然后再逐类安排。 【解析】 (1)甲传第一棒,乙传最后一棒,共有 乙传第一棒,甲传最后一棒,共有 丙传第一棒,共有 种方法。 + + =96 种方法。 种方法; 种方法;

由分类加法计数原理,共有

(2)取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10,共有三种情况:1144,2233, 1234; 所取卡片是 1144 的共有 所取卡片是 2233 的共有 种排法; 种排法;

所取卡片是 1234,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色,2 张红色, 3 张红色,全是红色, 共有排法 + + + + =16 种,

∴共有排法 18 【总结升华】

=18×4×3×2×1=432 种。

解排列组合的应用题要注意以下几点: (1)仔细审题,判断是排列问题还是组合问题;要按元素的性质分类,按 事件发生的过程进行分类; (2)深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩 证思维,多角度分析,全面考虑; (3)对限制条件较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方 案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决; (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查 结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用

多种不同的方法求解,看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时,分类标 准应统一,否则易出现遗漏或重复。 (5)排列组合综合题目,一般是符合要求的元素取出(组合)或进行分组, 再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时,要注意“平均分组”与“不 平均分组”的差异及分类的标准。


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