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5.4二阶常系数线性齐次微分方程


第四节

二阶常系数线性齐次微分方程

方程
A y ?? ? B y ? ? Cy ? f ( x )

为二阶常系 数线性微分 方程

B 其中 A 、 、C 是已知常数,且 A ? 0
若 f (x) ? 0

A y ?? ? B y ? ? Cy ?

0

为二阶常系 数线性齐次 微分方程

下面介绍方程 A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0 解的结构.

定理5-1 若函数 y 1 ( x ) 、y 2 ( x )是方程 的两个解,则
y ? C 1 y1 ( x ) ? C 2 y 2 ( x )

A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0

也是

A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0

的解,其中 C 1、 2 为任意常数 C

证明

? ? y ? ? C 1 y1 ? C 2 y 2
? ? y ?? ? C 1 y 1? ? C 2 y 2?

把 y ?、 y ?? 代入方程 A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0 的左边,得
? ? ? ? ? A ( C 1 y 1? ? C 2 y 2? ) ? B ( C 1 y 1 ? C 2 y 2 ) ? C ( C 1 y 1 ? C 2 y 2 )

? ? ? ? ? C 1 ( A y 1? ? B y 1 ? Cy 1 ) ? C 2 ( A y 2? ? B y 2 ? C ) y 2

? C1 ? 0 ? C 2 ? 0 ? 0

定理5-2 若函数 y 1 ( x ) 、 y 2 ( x ) 是方程 的两个线性无关的特解,则
y ? C 1 y1 ( x ) ? C 2 y 2 ( x )

A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0

是方程

、 A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0 的通解,其中 C 1 C

2

为任意常数

线性无关,是指不存在不全为零的常 数 k 1 、k 2 ,使 k 1 y1 ( x ) ? k 2 y 2 ( x ) ? 0,即
y2 (x) y1 ( x ) ?

y1 ( x ) 、 2 ( x ) y

常数

否则称 y 1 ( x ) 、 y 2 ( x ) 线性相关.

由定理5-2,求方程 A y ?? ? B y ? ? Cy ? 0 的通解的关键 是先要求出它的两个线性无关的特解. 由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数 ?x 仍为指数函数,故我们可假设方程有形如 y ? e 的解.

Ay?? ? By? ? Cy ? 0 的解法
设 y ?e
2

?x

, 将其代入以上方程, 得
?x

( A ? ? B ? ? C )e

?0

?e

?x

? 0,

故有

A? ? B? ? C ? 0
2

特征方程

特征根 ? 1 , 2 ?

?B?

B ? 4 AC
2

2A

根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论
(1)当 B 2 ? 4 AC ? 0,特征方程有两相异实根

特征根为

?1 ?

?B?

B ? 4 AC
2

2A

, ?2 ?

?B?

B ? 4 AC
2

2A

方程有两个线性无关的特解

y1 ? e

?1 x

,

y2 ? e
?1 x

?2 x

所以方程的通解为
y ? C1e ? C2 e
?2 x

(2) 当 B 2 ? 4 AC ? 0 ,方程有两个相等的实根
特征根为 ? 1 ? ? 2 ? ?
设另一特解为
B 2A ,

一特解为 y 1 ? e

?1 x

y 2 ? u ( x ) y1

? ? u ? ( x ) e ?1 x ? ? 1 u ( x ) e ?1 x y2
? y 2? ? u ?? ( x ) e
?1 x

? 2 ?1u ? ( x ) e

?1 x

? ?1 u ( x ) e
2

?1 x

若 y 2 ( x )是原方程的解,应有

?? ? Ay2 ? By2 ? Cy2 ? 0

? ? 将 y 2 , y 2 , y 2? 代入以上方程,得
? x ? x A ( u ?? ? 2 ?1u ? ? ?1 u ) e 1 ? B ( u ? ? ? 1u ) e 1 ? Cue
2

?1 x

?0

因 e ? x ? 0 ,故
1

A u ?? ? ( 2 A ?1 ? B ) u ? ? ( A ? 1 ? B ? 1 ? C ) ? 0
2

所以 A u ?? ? 0

0 u ?? ( x ) ? 0

0

u ( x ) ? C1 ? C 2 x
?1 x

~

~

取 u( x ) ? x ,

则 y 2 ? xe

所以方程的通解为 y ? (C1 ? C2 x)e

?1 x

(3) 当 B 2 ? 4 AC ? 0 ,方程有一对共轭复根
特征根为 ? 1 ? ? ? i ? ,
y1 ? e
( ? ? i? ) x

? 2 ? ? ? i?

,

y2 ? e

(? ? i? ) x

利用欧拉公式
e
i?

? cos ? ? i sin ?

可将 y 1 和 y 2 改写成如下形式
y1 ? e y2 ? e
(? ? i? ) x

?e ?e

?x

?e ?e

i? x

?e

?x

(cos ? x ? i sin ? x ) (cos ? x ? i sin ? x )

(? ? i? ) x

?x

? i? x

?e

?x

重新组合

y1 ?
*

1 2

( y 1 ? y 2 ) ? e ? x cos ? x ,

y2 ?
*

1 2i
*

( y 1 ? y 2 ) ? e ? x sin ? x ,

不难看出

y 1 和 y 2 线性无关
*

得方程的通解为
y?e
?x

(C1 cos ? x ? C 2 sin ? x ).

求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤: (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解.
A? ? B? ? C ? 0的根
2

Ay?? ? By? ? Cy ? 0通解

不相等实数根

?1 ? ? 2

y ? C1e

?1 x

? C2 e

?2 x

相等实数根

?1 ? ? 2

y ? (C1 ? C2 x)e
y?e
?x

?1 x

共轭复数根 ?1 ? ? ? i ? 、 ? 2 ? ? ? i ?

(C1 cos ? x ? C 2 sin ? x ).

( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件 C 代入通解中,即可确定C 1、 2 ,从而获得满足初始条件的特 解.

例5-13 求下列方程的通解
(1) y ?? ? 4 y ? ? 3 y ? 0

(2)

y ?? ? 2

2 y? ? 2 y ? 0

(3)

y ?? ? 2 y ? ? 3 y ? 0

2 解 (1)特征方程为 r ? 4 r ? 3 ? 0

解得 r1 ? 3 , r2 ? 1 所以方程的通解为
y ? C 1e
3x

? C 2e

x

? C 1 , C 2为任意常数 ?

(2)特征方程为 r 2 ? 2 2 r ? 2 ? 0
解得 r1 ? r2 ? ? 2

所以方程的通解为
y ? ? C 1 ? C 2 x ?e
? 2x

? C 1 , C 2为任意常数 ?

(3)特征方程为 r 2 ? 2 r ? 3 ? 0 解得 r1 , 2 ? ? 1 ? 所以方程的通解为
y ? e
?x

2i

?C

1

cos

2 x ? C 2 sin

2x?

?C 1 , C 2为任意常数 ?

例5-14

求方程 y ?? ? 4 y ? ? 5 y ? 0 满足初始条件

y ( 0 ) ? 1、 y ? ( 0 ) ? 2 的特解.

解 特征方程为 ? 2 ? 4 ? ? 5 ? 0 即
( ? ? 1)( ? ? 5 ) ? 0

特征方程有两个不相等的实数根 ? 1 ? ? 1, ? 2 ? 5 所以所求方程的通解为
y ? C 1e
?x

? C 2e
?x

5x

对上式求导,得
y ? ? ? C 1e ? 5C 2 e
5x

将 y ( 0 ) ? 1、y ? ( 0 ) ? 2 代入以上二式,得

? 1 ? C1 ? C 2 ? ? 2 ? ? C1 ? 5C 2

解此方程组,得
所以所求特解为
y ?

C1 ?

1 2

,C2 ?

1 2

1 2

e

?x

?

1 2

e

5x

例5-15

求方程 y ?? ? 6 y ? ? 9 y ? 0满足初始条件

y ( 0 ) ? 0、 y ?( 0 ) ? 1 的特解.

解 特征方程为 ? 2 ? 6 ? ? 9 ? 0



(? ? 3) ? 0
2

特征方程有两个相等的实数根 ?1 ? ? 2 ? 3

所以所求方程的通解为
y ? C 1e
3x

? C 2 xe

3x

对上式求导,得
? ? 3 C 1 e 3 x ? C 2 e 3 x ? 3 C 2 xe 3 x y

将 y ( 0 ) ? 0 、y ?( 0 ) ? 1 代入以上二式,得
? 0 ? C1 ? ? 3C 1 ? C 2 ? 1

解此方程组,得 C 1 ? 0 , C 2 ? 1
所以所求特解为

y ? xe
例5-16

3x

求方程 y ?? ? 4 y ? ? 13 y ? 0 满足初始条件

y ( 0 ) ? 0、 y ?( 0 ) ? 1 的特解.

解 特征方程为? 2 ? 4 ? ? 13 ? 0

特征根为

?1, 2 ? ? 2 ? 3 i

所以所求方程的通解为
y ?e
?2 x

( C 1 cos 3 x ? C 2 sin 3 x )

对上式求导,得
y? ? e
?2 x

[( 3 C 2 ? 2 C 1 ) cos 3 x ? ( 3 C 1 ? 2 C 2 ) sin 3 x ]

将 y ( 0 ) ? 0 、y ?( 0 ) ? 1 代入以上二式,得
C1 ? 0, C 2 ? 1 3

所以所求特解为
y ? 1 3 e
?2 x

sin 3 x

主要内容
二阶常系数线性齐次微分方程及其解法 解法 特征方程法

由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法.


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