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1[1].2.2单位圆中的三角函数线


(1)掌握正弦线、余弦线、正切线 的概念及画法;

(2)利用三角函数线求角的范围.

知识探究(一):有向线段的概念:

带有方向的线段叫有向线段 。
有向线段的数量由其长度大小和方向来决定。 规定:当有向线段从始点到终点方向与坐标轴的正方向一
致时,就规定这条线段是正的;当线段的方向与坐标轴 的正方向相反时,就规定这条线段是负的。

如在数轴上,|OA|=3,|OB|=3 有向线段OA=3
B O

有向线段OB=-3 x A

知识探究(二):正弦线、余弦线、正切线

设角α为第一象限角顶点在原点,始边与x轴的正 半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x轴的垂线,垂足为M。过点A(1,0)作单位 圆的切线,与角α的终边或其反向延长线相交于点 T。 y T

有向线段MP=y=sinα 有向线段OM=x=cosα 有向线段AT=tanα

P(x,y)

A

O

M

x

三角函数线:用有向线段的数量来表示。
当角 ? 的终边不在坐标轴上时,我们把 OM, MP 都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫 y 有向线段.单位圆OP=1 P T y MP

sin ? ?

r

?

OP

? MP (正弦线)

x OM cos ? ? ? ? OM (余弦线) r OP

O

M A x

y AT tan ? ? ? ? AT (正切线) x OA

P

T

作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边,画单位圆;
O
M

A

x

(2) 设α的终边与单位圆交于点P,作 PM⊥x轴于M,则有向线段MP是正弦 A 线,有向线段OM是余弦线; (3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A, 过点A作x轴的垂线与角α的终边 (或其反向延长线)交于点T, 则有向线段AT是正切线.

y

α终边 P T
M A x 正弦线 余弦线 T 正切线

y

P M O
y

O

A x T

y

P M
O

M A x
O

A x
P T

P

注意: 1、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦 函数、余弦函数、正切函数的几何意义。
余弦线的起点在原点,余弦线在x轴上; 正切线的起点在A(1,0),正切线与y轴平行.

2、正弦线的起点在x轴上,正弦线与y轴平行;

3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与 x轴或y轴的正方向相同时,对应的三角 函数值为正值;与x轴或y轴的正方向相反 时,对应的三角函数值为负值。

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?1?sin ? ? 2
5? 6
-1

y
1
1 y? 1 2

?
6

O

x

5? -1 (2k? ? ,2k? ? )?k ? Z ? 6 6

?

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2? cos ? ? 2
-1

y
1

?
3
1

O

1 x? 2

x

? 5? ? ? 2k? ? ,2k? ? ??k ? Z ?-1 ? 3 3? ?

5? 3

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边: y

?3? tan? ? ?1

3? 4
-1

1 1 O -1 ?
A

? ? ? k? ? , k? ? )?k ? Z ? ? 4 2 ? 3? 3? ? ?k? ? 4 , k? ? 2 )?k ? Z ? ?

x

?
4

T

1 3 练习:写出满足 ? ? cos? ? 的角的集合: 2 2 y 2? Q 1 P ? 3 6
-1 O 1

x
S

-1 ? 2? ? ? 11 ? (2k? ? ,2k? ? ? ? ?2k? ? 3 ,2k? ? 6 )?k ? Z ? 6 3 ? ?

4? 3

R

11? 6 4?

【总一总★成竹在胸】
1、三角函数线的作法; 2、三角函数线的作用: ①利用三角函数线确定角的终边; ②利用三角函数线确定角的集合.


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