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金版教程


05 限时规范特训
A级 基础达标 1.[2014· 山东莱芜模拟]已知函数 f(x)的定义域为[3,6],则函数 y = f?2x? 的定义域为( 1 log2?2-x? 3 A.[2,+∞) 3 C.(2,+∞) )

3 B.[2,2) 1 D.[2,2)

?3≤2x≤6, 解析: 由题意得? 1 ?log2?2-x?&g

t;0
项. 答案:B

?3≤x≤3, ??2 ?0<2-x<1

3 ?2≤x<2, 选B

2.[2014· 武汉模拟]若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x +1,则 f(x)=( A. x-1 C.2x+1 ) B.x+1 D.3x+3

解析:∵2f(x)-f(-x)=3x+1,① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1,② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, ∴f(x)=x+1. 答案:B 1-x2 3.[2014· 浙江金华]已知函数 g(x)=1-2x,f[g(x)]= x2 (x≠0),

1 则 f(2)等于( A. 1 C.15

) B.3 D.30

1 1-16 1 1 1 解析:令 1-2x=2,得 x=4,∴f(2)= 1 =15,故选 C. 16 答案:C

4. [2014· 济南模拟]如右图, 是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行 走时间(x)之间的函数关系的图象. 若用黑点表示张大爷家的位置, 则 张大爷散步行走的路线可能是( )

解析: 根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加 而增加,在第二段时间内,张大爷离家的距离不变,第三段时间内, 张大爷离家的距离随时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各 选项,只有 D 正确. 答案:D

2 ? ?x -4x+6,x≥0, 5.[2014· 宁夏模拟]设函数 f(x)=? 则不等式 ?x+6,x<0, ?

f(x)>f(1)的解集是(

) B.(-3,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

A.(-3,1)∪(3,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞)

解析:画出分段函数的图象如图,令 f(x)=f(1),得 x=-3,1,3. 所以当 f(x)>f(1)时,必有 x∈(-3,1)∪(3,+∞).故选 A.

答案:A 1 1 6.[2014· 宁波联考]设集合 A=[0,2),B=[2,1],函数 f(x)=

?x+1,x∈A, ? 2 ?2?1-x?,x∈B,
1 A.(0,4] 1 1 C.(4,2]

若 x0∈A, 且 f[f(x0)]∈A, 则 x0 的取值范围是( 1 1 B.(4,2) 3 D.[0,8]

)

1 解析:∵x0∈A,∴f(x0)=x0+2∈B. 1 1 ∴f[f(x0)]=f(x0+2)=2(1-x0-2)=1-2x0.

1 又 f[f(x0)]∈A,∴0≤1-2x0<2, 1 1 1 解得4<x0≤2,又 0≤x0<2. 1 1 ∴4<x0<2,故选 B. 答案:B 2x-1 7.[2014· 佛山模拟]f(x)= ,f(x)的定义域是________. log1 ?2x+1?
2

?2x+1>0, 解析:由已知得? ?2x+1?≠0, ?log1 2
2x-1≥0, 1 1 ∴x≥2,∴f(x)的定义域为[2,+∞). 1 答案:[2,+∞)

? ? 1 ∴? x>-2, ? ?2x+1≠1.

1 x≥2,

8. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x, y∈R), f(1)=2,则 f(-3)=________. 解析:令 x=y=0?f(0)=0;令 x=y=1?f(2)=2f(1)+2=6;令 x=2,y=1?f(3)=f(2)+f(1)+4=12;再令 x=3,y=-3,得 f(0)= f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=0?f(-3)=18-f(3)=6. 答案:6

9 . [2014· 金版原创]已知函数

? ? 3?0≤x≤1?, f(x) = ? 1 ? ?log3x?x>1?,

2x?x<0?,



f{f[f(a)]}(a<0)=________.

解析: ∵a<0, ∴f(a)=2a, ∴0<2a<1, ∴f[f(a)]=f(2a)= 3, ∵ 3>1, 1 1 ∴f{f[f(a)]}=f( 3)=log3 3=-2. 1 答案:-2 10. 已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6,x∈R. (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数的值域为非负数集,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域. 解:f(x)=x2-4ax+2a+6=(x-2a)2+2a+6-4a2. (1)∵函数值域为[0,+∞),∴2a+6-4a2=0. 3 解得 a=-1 或 a=2. (2)∵函数值域为非负数集,∴2a+6-4a2≥0. 3 即 2a2-a-3≤0,解得-1≤a≤2. 3 17 ∴f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=-(a+2)2+ 4 . 3 ∴f(a)在[-1,2]上单调递减. 19 ∴- 4 ≤f(a)≤4. 19 即 f(a)值域为[- 4 ,4].

11. [2014· 珠海模拟]甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲从家到

公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km,甲 10 时出发前往乙 家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km)与时 间 x(分)的关系.试写出 y=f(x)的函数解析式. 解:当 x∈[0,30],设 y=k1x+b1,
? ?b1=0, 由已知得? ? ?30k1+b1=2,

1 1 ∴k1=15,b1=0,y=15x; 当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k2x+b2,
? ?40k2+b2=2, 由已知得? ?60k2+b2=4, ?

1 1 ∴k2=10,b2=-2,y=10x-2.

? 15x,x∈[0,30], ? ∴f(x)=?2,x∈?30,40?, 1 ? ?10x-2,x∈[40,60].
? ?x-1,x>0, 12.已知函数 f(x)=x2-1,g(x)=? ?2-x,x<0. ?

1

(1)求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值; (2)求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式. 解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, ∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1,故 f[g(x)]=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x,故 f[g(x)]=(2-x)2-1=x2-4x+3;

2 ? ?x -2x,x>0, ∴f[g(x)]=? 2 ?x -4x+3,x<0. ?

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0,故 g[f(x)]=f(x)-1=x2-2; 当-1<x<1 时,f(x)<0,故 g[f(x)]=2-f(x)=3-x2.
2 ? ?x -2,x>1或x<-1, ∴g[f(x)]=? 2 ? ?3-x ,-1<x<1.

B级

知能提升 1.[2014· 赣州模拟]对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整

数.例如,[π]=3,[-1.08]=-2.如果定义函数 f(x)=x-[x],那么下 列命题中正确的一个是( A.f(5)=1 1 B.方程 f(x)=3有且仅有一个解 C.函数 f(x)是周期函数 D.函数 f(x)是减函数 1 1 1 1 4 解析:f(5)=5-[5]=0,故 A 错误;因为 f(3)=3-[3]=3,f(3) 4 4 1 =3-[3]=3, 所以 B 错误; 函数 f(x)不是减函数, D 错误; 故 C 正确. 答案:C
? ?a,a<b 2.[2014· 临川一中模拟]对 a,b∈R,记 min{a,b}=? , ? ?b,a≥b

)

1 函数 f(x)=min{2x,-|x-1|+2}(x∈R)的最大值为________.

解析: 1 y=f(x)是 y=2x 与 y=-|x-1|+2 两者中的较小者,数形结合可 知,函数的最大值为 1. 答案:1
?e-x-2?x≤0? ? 3.已知函数 f(x)=? (a 是常数且 a>0).对于下列命 ? ?2ax-1?x>0?

题: ①函数 f(x)的最小值是-1; ②函数 f(x)在 R 上是单调函数; 1 ③若 f(x)>0 在[2,+∞)上恒成立,则 a 的取值范围是 a>1; x1+x2 f?x1?+f?x2? ④对任意 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 f( 2 )< . 2 其中正确命题的所有序号是________.

解析: 作出函数 f(x)的图象如图所示,显然 f(x)在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)的最小值为 f(0)=-1,故命题 ①正确; 显然,函数 f(x)在 R 上不是单调函数,②错误; 1 因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)在[2,+∞)上的最 1 1 1 小值为 f(2)=2a×2-1=a-1,所以若 f(x)>0 在[2,+∞)上恒成立, 则 a-1>0,即 a>1,故③正确; 由图象可知,在(-∞,0)上,对任意 x1<0,x2<0 且 x1≠x2,恒有 x1+x2 f?x1?+f?x2? f( 2 )< 成立,故④正确. 2 答案:①③④
? ?1,1≤x≤2, 4.设函数 f(x)=? g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其 ?x-1,2<x≤3, ?

中 a∈R,记函数 g(x)的最大值与最小值的差为 h(a). (1)求函数 h(a)的解析式; (2)画出函数 y=h(x)的图象并指出 h(x)的最小值.
? ?1-ax,1≤x≤2, 解:(1)由题意知 g(x)=? ??1-a?x-1,2<x≤3, ?

当 a<0 时,函数 g(x)是[1,3]上的增函数, 此时 g(x)max=g(3)=2-3a, g(x)min=g(1)=1-a, 所以 h(a)=1-2a; 当 a>1 时,函数 g(x)是[1,3]上的减函数, 此时 g(x)min=g(3)=2-3a, g(x)max=g(1)=1-a, 所以 h(a)=2a-1; 当 0≤a≤1 时,若 x∈[1,2], 则 g(x)=1-ax,有 g(2)≤g(x)≤g(1); 若 x∈(2,3],则 g(x)=(1-a)x-1, 有 g(2)<g(x)≤g(3), 因此 g(x)min=g(2)=1-2a, 而 g(3)-g(1)=(2-3a)-(1-a)=1-2a, 1 故当 0≤a≤2时,g(x)max=g(3)=2-3a,有 h(a)=1-a; 1 当2<a≤1 时,g(x)max=g(1)=1-a,有 h(a)=a.

?1-2a,a<0,1 ?1-a,0≤a≤2, 综上所述,h(a)=? 1 a,2<a≤1, ? ?2a-1,a>1.

1 (2)画出 y=h(x)的图象,如图所示,数形结合可得 h(x)min=h(2) 1 =2.


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