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武汉市重点中学2011-2012学年高一下学期期末统考数学试题


武汉市重点中学2011-2012学年高一下学期期末统考数学试题
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若三直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky=0 相交于一点,则 k=(
A .-2 B .?
1 2


D.
1 2



C .2

2.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是(
A .三棱锥
C .四棱台



B .四棱锥
D .三棱台

π 3.已知△ABC 中, a =1, b = 3,A= ,则 B=( 6
A.

)
D. π 或

π 3

B.

π 3

C.

π 2 或 π 3 3

5 6

π 6 )

4.已知 A(3,3),B(-1,-5),过线段 AB 的中点且斜率为-1 的直线的方程是(
A . y-1=-(x-1) C . y+1=-(x-1) B . y-1=-(1-x) D . y+1=-(x+1)

5. 设长方体的长、 宽、 高分别为 1、 1, 2、 其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为(
A . 3π B . 6π C . 12π D . 24π

)

6.已知 a > b > c 且 a ? b ? c ? 0 ,则下列不等式恒成立的是(
A. a > b > c
2 2 2

)
D . ab > ac

B. a b > c b

C . ac > bc

?x ? y ?1? 0 ? 7.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为( ?x ? y ?1? 0 ?
A.
2



B.

1

C. ?2

D . ?3

8.已知直线 ax ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? b ? 0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a ? b ? c 的值 为(
A.

) -4
B.

20

C. 0

D . 24

9.已知直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) ,两点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) ,P ,若(Ax1+

By1+C)( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则直线 l ( ) A . 与直线 P1P2 不相交 B . 与线段 P2P1 的延长线相交 C . 与线段 P1P2 的延长线相交 D . 与线段 P1P2 相交 10. 在三棱锥 P ? ABC 中, PA , PB , PC 两两垂直,且 PA ? 3 , PB ? 2 , PC ? 1 . 设 M 是底 面 ABC 内的一点,定义 f ( M ) ? ( m , n , p ) ,其中 m , n , p 分别是三棱锥 M ? PBC 三棱锥
M ? PAC 三棱锥 M ? PAB 的体积。若 f ( M ) ? (
1 2 , x , y ) ,且

1 x

?

a y

? 8 恒成立,则正实

数 a 的最小值为( ) C . 2 A. 1 B . ?1 二.填空题:本大题共5小题.每小题5分.共25分. 轴,则直观图 A′B′C′D′的面积为________.

D.

?2

11. 等腰梯形 ABCD,上底边 CD=1,腰 AD=CB= 2,下底 AB=3,按平行于上、下底边取 x

12. 直线 x-2y+2k=0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1,则 k 的取值范围为 _______. 13. 若不等式 x -kx+k-1>0 对 x∈(1,2)恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 14.过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程______________________. 15.
2
2

已知 0 ? x ? 2 , 0 ? y ? 2 ,则
2

x ? y

?

x ? (2 ? y )
2

2

?

(2 ? x) ? y
2

2

?

( 2 ? x ) ? ( 2 ? y ) 最小值为______.
2 2

三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在锐角三角形△ A B C 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边,且 3 a ? 2 c sin A . (1)确定角 C 的大小; (2)若 c ?
7 ,且 ? A B C 的面积为
3 3 2

,求 a ? b 的值.

17. (本题满分 12 分) (1)已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.求侧视图的面积. (2)某几何体的三视图如图所示,当 a+b 取最大值时,求这个几何体的体积

18. (本题满分 12 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? n ? n (n∈N )
2
*

(1)求数列{ a n }的通项公式 a n 。 (2)若数列{ b n }满足 b n ?
1 a n a n ?1

(n∈N ), T n 是数列{ b n }的前 n 项和,求 T 9

*

19. (本题满分 12 分)
2 已知不等式 a x ? 3 x ? 6 ? 4 的解集为 ? x x ? 1或 x ? b ?

(1)求出 a , b 并解不等式 ? x ? c ? ? a x ? b ? ? 0 (2)已知线段 AB 长为 7 ,其正视图长为 6 ,侧视图长为 a ,俯视图长为 b ,求 a ? b 的 最大值。

20. (本题满分 13 分)
2 2 (1) 已知实数 x , y 满足不等式 x ? 2 x ? y ? 2 y ,若 1 ? x ? 4 ,求

y x

的取值范围;

(2).已知函数 f ( a ) ? (3 m ? 1) a ? b ? 2 m ,当 m ? [0,1] 时, 0 ? f ( a ) ? 1 恒成立,
9a ? b
2 2



的取值范围。

ab

21. (本题满分 14 分)

已知数列 ?log

2

x n ? 是首项和公差均为 ? 1 的等差数列,且 y n ? x n

2

(n ? N ) ;

?

(I)求数列{ x n },{ y n }的通项公式 x n , y n ( n ? N ? ) ; (II)设 a n ?
1 1 ? xn ? 1 1 ? x n ?1

,数列{ a n }的前 n 项和为 Tn.求证: T n ? 2 n ?
1 b1 )(1 ? 1 b2

1 2


1 bn )≥

(III)设 b n ? 1 ? lo g2 y n ,若对于任意正整数 n,不等式 (1 ?
a 2 n ? 3 成立,求正数 a 的取值范围.

) … (1 ?

高一数学参考答案
一. 1 . B , 2 . B ,3 .C , 4 .C ,5 . B , 6 . D , 7 . B ,8 . A ,9 .C ,10 . A 二.11. 2 ,12. ?? 1,1? , 13. ? ? ? , 2 ? ,14. x ? y ? 3 ? 0 或 2 x ? y ? 0 , 15 . 4 2 2

17.解: (1) 根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中

VA= 4 2 ?

2 3

?

3 2

?2 3

1 = 12=2 3,∴S△VBC= ×2 3×2 3=6. 2 (2) 如图所示,可知 AC ? 6 , BD ? 1, BC ? b , AB ? a

…………………6 分

A

设 CD ? x , AD ? y , 则 x ? y ? 6 , x ? 1 ? b , y ? 1 ? a ,
2 2 2 2 2 2

消去 x , y 得 a ? b ? 8 ≥
2 2
2 2

?a

? b? 2

2

D


B

C

所以 a ? b ? 4 , 当且仅当 a ? b ? 2 时等号成立,此时 x = 3 , y = 3 , 所以 V =
1 3

×

1 2

×1× 3 × 3 =

1 2

.
2

…………………12 分

18. 解: (1)∵数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n n= n ? n ∴n=1 时, a 1 =2;n ? 2 时, a n =Sn-Sn-1=2n, ∴ a n =2n(n∈N )
*

………………….6 分

∴ bn ? 1 4

1 a n a n ?1



1 1 1 = ( - ), 2 n ( 2 n ? 2 ) 4 n n+1
1

T 9 = [(1- )+( - )+…+( -

1 2

1 1 2 3

1 9

1 1 1 9 )]= ×(1- )= . 10 4 10 40

………………….

19.解:(1)由已知 1, b 是方程 a x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的两根,
3 ? 1? b ? ? ? a ? ?b ? 2 ? a ?

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 2

………3 分

原不等式为 ? x ? c ? ? x ? 2 ? ? 0
c ? 2 时解集为 ? x x ? c 或 x ? 2 ? c ? 2 时解集为 ? x x ? 2 或 x ? c ? c ? 2 时解集为 ? x x ? 2 ?

………6 分

20.解: (1) .解: (1) x ? 2 x ? y ? 2 y , ( x ? y )( x ? y ? 2 ) ? 0 ? ?
2 2

又1 ? x ? 4

? x? y ? 0 y ? 则 ? x ? y ? 2 ? 0 ,考察 几何意义。 x ? 1? x ? 4 ?
? ? 1 ? ? ? ? ,1 ? x ? 2 ? y

………6 分

(2) f ( a ) ? g ( m ) ? ( 3 a ? 2 ) m ? b ? a ,则 g ( m ) ? ?0 ,1? 在 m ? ?0 ,1? 时恒成立,
? 0 ? g ( 0 ) ? 1且 0 ? g (1) ? 1 即 0 ? b ? a ? 1且 0 ? 2 a ? b ? 2 ? 1 ………8 分

则由线性规划得 t ?
9a
2

b a

? ?1, 4 ? ,

………10 分
9 t ? ?6 ,10 ?



?b

2

? t?

9 t

,则 h ( t ) ? t ?

ab 9a
2



?b

2

ab

? ?6 ,10 ?

………13 分

(II)由(1)知 x n

? (

1 2

)

n

. 所以 a n
2
n ?1

?

1 1 n 1? ( ) 2

?

1 1 n ?1 1? ( ) 2

?

2
n

n

2 ?1

? 2

2

n ?1

n ?1

?1

?

2 ?1?1
n

2 ?1
n

+

?1?1 ?1

2

n ?1

?1?

1 2 ?1
n

+1+
2

1
n ?1

?1

? 2?(

1 2 ?1
n

? 2

1
n ?1

?1

) . , . )? 2 ? (
1 2
2

………………6 分

由 得

1 2 ?1
n

?

1 2
n


2
1

1
n ?1

?1

? 2

1
n ?1

1 2 ?1
n

?
2

n ?1

?1

?
?

1 2
n

?
2

1
n ?1

所以 a n ? 2 ? (

1 2 ?1
n

1 2
n ?1

1 2
n

?1

? 2
1 2
3

1
n ?1

).
1 2
n

从而 T n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? [ 2 ? ( ?
2

1

1 2
2

)] ? [ 2 ? (

?

)] ? ? ? [ 2 ? (

? 2

1
n ?1

)]

? 2 n ? [( ? 2n ? (

1 2

? ? 2

1 2
2

)?(

1 2
2

?

1 2 1 2
3

)] ? ? ? (

1 2
n

? 2

1
n ?1

)]

1 2

1
n ?1

) ? 2n ?

, …………………9 分

即 Tn ? 2 n ? (III)由于 y n ?
1 4

1 2
n

. ,故 b n ? 2 n ? 1 .
1 b1 )(1 ? 1 b2 ) ? (1 ? 1 bn )≥ a

对任意正整数 n,不等式 (1 ? 即a ≤
1 2n ? 3

2n ? 3

成立,

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

) 恒成立.



f (n) ?

1 2n ? 3

(1 ?

1 b1

)(1 ?

1 b2

) ? (1 ?

1 bn

)



………………10 分


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