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2017届湖南省衡阳县第一中学高三9月月考数学(文)试题


衡阳县一中 2017 届高三 9 月月考数学(文科)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的)
1.集合 M={y|y=x2﹣1,x∈R},集合 N={x|y= A.{t|0≤t≤3} B.{t|﹣1≤t≤3} C.{(﹣ ,x∈R},则 M∩N=( ,1) ( ,1)} ) D.

? )

2.已知集合 A={1,2},B={1,a,b},则“a=2”是“A?B”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知命题 p: 所有有理数都是实数, 命题 q: 正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( A.(¬p)∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) ) D.(¬p)∨(¬q)



4.执行如图所示程序框图,输出的 x 值为(

A.4

B.11

C.13 )

D.15

5.函数 f(x)=ex+x﹣2 的零点所在区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

6.设函数 f(x)= A. B.3

,则 f(f(3))=( C.

) D. )

7.如果函数 f(x)=x2﹣ax﹣3 在区间(﹣∞,4]上单调递减,则实数 a 满足的条件是( A.a≥8 8.函数 f(x)=log


B.a≤8

C.a≥4

D.a≥﹣4 )

(x2﹣4)的单调递增区间为(
1第

A.(0,+∞)

B.(﹣∞,0)

C.(2,+∞) )

D.(﹣∞,﹣2)

9.函数 f(x)=lg(|x|﹣1)的大致图象是(

A.

B.

C.

D.

10.已知变量 x,y 满足 A. B.

,则 C.

的取值范围是( D. )



11.设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e2 B.e C.

D.ln2

12.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 ex?f(x)> ex+1 的解集为( A.{x|x>0} C.{x|x<﹣1,或 x>1} )
[来源:]

B.{x|x<0} D.{x|x<﹣1,或 0<x<1}

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 A={x|x2﹣x+a=0}=?,则实数 a 的取值范围是________. 14.已知函数 f(x)为奇函数,函数 f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则 f(3)= .

15.函数 y=( )

的值域为________ ,且当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,

16.已知偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣

函数 g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是________.



2第

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知 A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2﹣1=0},其中 a∈R,如果 A∩B=B,求实数 a 的取值 范围.

18.已知向量 =(sinx,cosx), = (1)求 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥ .

,x∈R,函数 f(x)= ? .



3第

19.(本小题满分 12 分)已知

sin ?? ? ? ? ?

4 ? , ? ? (0, ) 5 2 .

(Ⅰ)求

sin 2? ? cos 2

?
2 的值;

(Ⅱ)求函数

f ( x) ?

5 1 cos ? sin 2 x ? cos 2 x 6 2 的单调递减区间.

20.已知函数 且

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c ? R )

,满足 f (0) ? 1, f (1) ? 0 ,

f ? x ? 1?

是偶函数.

(1)求函数

f ? x?

的解析式;

x ?1 ? ? f ? x? h ? x? ? ? ? ?? f (2 ? x) x ? 1 ,若对任意的 x ? [t , t ? 2] ,不等式 (2)设

h( x ? t ) ? h( x 2 ) 恒成立,求实数 t 的取值范围.

21.设函数


4第

(1)求曲线

y ? f ( x) 在点 ? 0, f (0) ? 处的切线方程; f ( x) 有三个不同零点,求 c 的取值范围; ? 3b ? 0 是 f ( x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.

(2)设 a ? b ? 4 ,若函数 (3)求证: a
2

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 2 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ( t 为参数),直线 l 与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A 、

B 两点.
(Ⅰ)求弦 AB 的长; (Ⅱ)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为

(2 2,

3? ) 4 ,求点 P 到线段 AB 的中点 M 的距离.

参考答案 一、选择题



5第

题号 答案

1 B

2 A

3 D

4 C

5 A

6 D

7 A

8 D

9 B

10 C

11 B

12 A

二、填空题

13、a> 三、解答题

14.

-1

15. [ ,+∞).

16. [5,+∞)

17.【解答】解:x2+4x+4=0,解得 x=﹣2.∴A={﹣2}. ∵A∩B=B,∴B=?或{﹣2}. ∴△=4(a+1)2﹣4(a2﹣1)≤0,解得 a≤﹣1. 但是:a=﹣1 时,B={0},舍去. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1).

18.【解答】解:(1)∵向量 =(sinx,cosx), = ∴函数 f(x)= ? = 当 x+ = sinx+ cosx=sin(x+ ),

,x∈R,

+2kπ ,k∈Z 时,有最大值,f(x)max=1, ),

(2)由(1)f(x)=sin(x+ ∵f(x)≥ , ∴sin(x+ ∴ )≥ , ≤

+2kπ ≤x+

+2kπ ,k∈Z,

∴2kπ ≤x≤

+2kπ ,k∈Z, +2kπ ,k∈Z}

∴不等式的解集为{x|2kπ ≤x≤

? sin(? ? ? ) ?? sin ? ?
19.(1)
2 ?

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? ? cos ? ? 3 5 ? 2 ?, 5;

3 1? 1 ? cos ? 4 3 5 ? 24 sin 2? ? cos ? 2 sin ? cos ? ? ? 2? ? ? 2 2 5 5 2 25 ; 则
页 6第

(2 )

f ( x) ?

5 1 1 1 2 ? cos ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 6 2 2 2 2 4 ,

?
令2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

? 3? ? ? 3? x ? ?k? ? , k? ? ,k ? Z ? 2k? 8 8 ? ? ? 2 ,解得 ,

所以函数

f ( x) ?

? 3? ? ? 5 1 k? ? , k? ? ,k ? Z cos ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 8 8 ? ? 6 2 的单调递减区间为 .

? ? f (0) ? c ? 1 ?a ? 1 ? ? ? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? ?2 ? b ?c ? 1 ? ?? ?1 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 -???3 分 20.解(1) ? 2a
2 ? ?( x ? 1) x ? 1 h( x ) ? ? 2 ? ??( x ? 1) x ? 1

(2 )

,易知

h( x) 在 R 上单调递增,

? h( x ? t ) ? h( x 2 ) ? x ? t ? x 2 ,
即t 令

? x 2 ? x 对任意 x ? [t , t ? 2] 恒成立,

??????????5 分

? ( x) ? x 2 ? x 得
t? 1 2 时, ? ( x) 在 t , t ? 2 上单调递增,



?

?

? ( x) min ? ? (t ) ? t 2 ? t ? t ? t ? 0 或 t ? 2 ,? t ? 2 ;???????7 分
②当
t?2? 1 3 t?? 2即 2 时, ? ( x) 在 t , t ? 2 上单调递增减,

?

?

? ( x) min ? ? (t ? 2) ? (t ? 2) 2 ? (t ? 2) ? t ? t 2 ? 2t ? 2 ? 0 ,此式恒成立,
? t?? 3 2
???????????????????9 分
2

1 ?1? 1 1 3 1 ? ( x) min ? ? ( ) ? ? ? ? ? t ? t ? ? ? ?t ? 2 ?2? 2 4 2 时, ③当 2
? ?


3 1 ?t ?? 2 4.

?????????????????11 分
7第

1? ? ? ??, ? ? ? ? 2, ?? ? 4? 综上,实数 t 的取值范围的取值范围为 ? .???12 分

21. (Ⅰ) 由, 因为

2 f ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c. 得 f ?( x) ? 3 x ? 2ax ? b .

f (0) ? c, f ?(0) ? b , y ? f ( x) 在点 ? 0, f (0) ? 处的切线方程为 y ? bx ? c .???2 分
f ? x ? ? x 3 ? 4 x 2 ? 4 x ? c.

所以曲线

(Ⅱ)当 a ? b ? 4 时,, 所以

f ?( x) ? 3x 2 ? 8 x ? 4 .
2



f ?( x) ? 0 ,得 3x ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? ?2 或

x??

2 3.

f ( x) 与 f ?( x) 在区间 ? ??, ?? ? 上的情况如下:
x
f ?? x?
f ? x?

? ??, ?2 ?
?
?

?2
0

2? ? ? ?2, ? ? 3? ?
?
?

?

2 3

? 2 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?

0
c? 32 27

?
?

c

所以,当 c ? 0 且 存在

c?
使

2? ? ? 2 ? x1 ? (?4, 2), x2 ? ? ?2, ? ? , x3 ? ? ? , 0 ? 3? ? ? 3 ? ? 32 ? c ? ? 0, ? f ( x) 的单调性知,当且仅当 ? 27 ? 时, 由
函数

32 ?0 27 时,
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0
得,

f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 4 x ? c 有三个不同零点.????????????7 分 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 , x ? ? ??, ?? ? ,

2 (Ⅲ)当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时,

此时函数

f ( x) 在区间 ? ??, ?? ? 上单调递增,所以 f ( x) 不可能有三个不同零点.
8第



2 当 ? ? 4a ? 12b ? 0 时,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 只有一个零点,记作 x0 .

当 当

x ? (??, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, x0 ) 上单调递增; x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x0 , ??) 上单调递增.

所以

f ( x) 不可能有三个不同零点. f ( x) 有三个不同零点,则必有 ? ? 4a
2

综上所述,若函数 故a 当
2

? 12b ? 0 .

? 3b ? 0 是 f ( x) 有三个不同零点的必要条件.
2

a ? b ? 4, c ? 0 ,时, a

? 3b ? 0 ,

f ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 4 x ? x( x ? 2) 2 只有两个不同零点,
所以 a 因此 a
2 2

? 3b ? 0 不是 f ( x) 有三个不同零点的充分条件. ? 3b ? 0 是 f ( x) 有三个不同零点的必要而不充分条件.????12 分

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? ? ?y ? 2? 3 t 2 ? 2 代入曲线 C 方程得 t ? 4t ? 10 ? 0 ,设 A, B 对应的参数分 l 22.解:(Ⅰ)直线 的参数方程 ?

别为 ∴

t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? ?4 , t1 ? t2 ? ?10 ,
.???5 分

AB ? t1 ? t2 ? 2 14

(Ⅱ) P 的直角坐标为 (?2, 2) ,所以点 P 在直线 l 上,又中点 M 对应参数为 由参数 t 的几何意义,∴点 P 到线段 AB 中点 M 的距离

t1 ? t2 ? ?2 2 ,

PM ? 2

.???10 分



9第


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