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数学竞赛精编百练(组合卷)


目录
练习 01 练习 02 练习 03 练习 04 练习 05 练习 06 组合数与染色问题................................................................................................. 2 取物问题 ..................................

.............................................................................. 4 剖分问题 ................................................................................................................ 5 规律问题 ................................................................................................................ 6 运动与博弈问题 .................................................................................................... 7 格点问题 ................................................................................................................ 8

练习 01
1.

组合数与染色问题
( (D) 250 )

49 ?n? ? 99 ? n! 记? ? = . 于是 ∑ (?1) k ? ? 的值是 k =0 ? j ? j ! ? (n ? j )! ? 2k ?

(A) ?250 2.

(B) ?249

(C)0

? j? j! 定义 r ! = r × ( r ? 1) × ? ? ?× 1 及 C k ,其中 i 、 j 、 k 是正整数,且 k < j . j =? ?= ? k ? k !? ( j ? k )!
1 3 如果当 n > 3 时, Cn 、 Cn2 、 Cn 构成一个等差数列,那么 n 等于





(A)5 3.

(B)7

(C)9

(D)11

对于正数 n 和 a ,定义 na ! 是
na ! = n ( n ? a )(n ? 2a )( n ? 3a ) ? ? ? ? ? ( n ? ka )

其中 k 是对于 n > ka 的最大整数. 那么 728 !÷ 182 ! 的商等于 (A) 45 4. (B) 46 (C) 48 (D) 49





数 695 写成一个关于阶乘的多项式: 695 = a1 + a2 ? 2! + a3 ? 3! + ? ? ? + an ? n ! ,其中
a1 、 a2 、… 、 an 是整数, 0 ≤ ak ≤ k ,则 a4 等于





5.

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 即把正黑三角形分成四个全等的小三角形, 一个正三角形全涂上黑色, 每次做一个变换, 中间的小正三角形涂上白色(如图) . 经过五次变换后,仍是黑色的部分还有( )

?
(A) 6. 7.
1 1024

(1)

?
(C)
243 1024

(2)

(B)

15 16

(D)

1 4

8.

把图中九个方格中的两块涂黑,不同的染色法的种类共有 ( ) (A)3 (B)6 (C)8 (D)12 正方体的每一条棱或者涂成黑色,每个面至少有一条涂成黑色的棱,那么黑色的棱的 条数最少是 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 1000 个单位正方体合在一起成为一个棱长是 10 个单位的大正方体,油漆后再分开为 原来的立方体. 这些单位正方体中,至少有一面被油漆过的数目是 ( ) (A)600 (B)520 (C)488 (D)480

9.

把一个 3×3×3 的正方体的每一个面(共六个面)都等分成大小相同的 9 个小正方形 (共 54 个小正方形) 。 现用红、黄、蓝三种颜色去涂这些小正方形,使得有公共边的 小正方形不能同色。那么,可以涂成红色的小正方形,最多有 ( ) (A)28 个 (B)27 个 (C)22 个 (D)20 个

10. 一个 11×11×11 的正方体是 113 个单位正方体贴合而成的, 问从一点看上去最多能看见 单位正方体的个数是 ( ) (A)363 个 (B)330 个 (C)300 个 (D)331 个

练习 02
1.

取物问题

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

四位同学到商店买毛笔或铅笔,每人只买 1 枝笔,而且至少有 1 人买了铅笔,则可能的 买法有 ( ) (A)4 种 (B)5 种 (C)15 种 (D)16 种 在木箱里装有红色球 3 个,黄色球 5 个,蓝色球 7 个,若蒙眼取球,为保证取出的球中 有两个球的颜色相同,最少要取出球的个数为 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 暗室里红、绿、蓝、黄、白五种颜色的袜子各若干,为确保从室内取出 10 双袜子 (两只袜子颜色相同即一双) ,应从室内取出袜子的最少只数为 ( ) (A)23 (B)24 (C)25 (D)26 袋中有 100 个球,其中红球 28 个、绿球 20 个、黄球 12 个、蓝球 20 个、黑球 10 个, 从袋中任意摸出球来,要使一次摸出的球中至少有 15 个同色球。则需从袋中至少摸出 的球数是 ( ) (A)100 个 (B)75 个 (C)68 个 (D)77 个 一个盒子中装有许多木片,分别是红的、白的和蓝的。蓝木片的数目至少是白木片数目 的一半, 至多是红木片的三分之一。 白的与蓝的数目和至少为 55. 则红木片数目的最小 值是 ( ) (A)24 (B)33 (C)45 (D)57 把一张纸剪成 5 块,从所得纸片中取出若干块,每块剪成 5 块,再从以上所有的纸片中 取出若干块, 每块剪成 5 块, 如此继续至剪完某一次后停止, 纸片总块数可能是 ( ) (A)1990 (B)1991 (C)1992 (D)1993 六个袋中分别装有 18,19,21,23,25 与 34 个玻璃球,其中一袋内装的球都有裂口, 而其余五个袋内都没有这种带裂口的球。 今珍妮拿了其中三个袋, 乔治拿了其中两个袋, 只剩下那个装带有裂口的球的袋。 若珍妮得到的球数正好是乔治得到的两倍, 带裂口的 球的个数是 ( ) (A)18 (B)19 (C)21 (D)23 最初罐子里有黑、白弹子各 100 个,重复下面的操作:每次从罐子里取出三个弹子, 并从另外一堆弹子中拿相应数目的弹子放回罐中,具体数目和颜色是 取出的弹子 放回的弹子 1 个黑的 1 个黑的,1 个白的 2 个白的 1 个黑的,1 个白的

3 个黑的 2 个黑的,1 个白的 1 个黑的,2 个白的 3 个白的

经过一定次数后,最终罐子里所剩的弹子可能的情况是 ( ) (A)2 个黑的 (B)2 个白的 (C)1 个黑的 (D)1 个白的 9. 将 10 元纸币兑换成一角硬币和二角五分硬币,则换两种不同硬币的方法总数( ) (A)40 (B)38 (C)20 (D)19 10. 一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球,每轮随机拿出四次玻璃球且不放回, 并且下列情况均等发生: (1)拿出的是四个红球 (2)拿出的一个白球、三个白球 (3)每种颜色的球各一个 (4)拿出的一个白球、一个蓝球、两个白球 则满足条件的球的总数至少是 ( ) (A)19 (B)21 (C)46 (D)69

练习 03
1.

剖分问题

2.

3. 4.

5. 6.

7.

一个圆盘被 2n 条相等间隔的半径( n > 0 )和一条割线所分割. 这个圆盘能够被分成的 不交叠区域的最大数目是 ( ) (A) 2n + 1 (B) 2n + 2 (C) 3n ? 1 (D) 3n + 1 六条直线在同一平面内,任何两直线不平行,任何三直线不共点,则这六条直线把平面 分成的区域数为 ( ) (A)16 (B)20 (C)22 (D)24 平面上 6 条直线两两相交,但仅有三条通过同一点,则截得不重叠线段条数为( ) (A)24 (B)33 (C)36 (D)21 以三角形的 3 个顶点和它内部的 7 个点(共 10 个点)为顶点,能把原三角形分割成小 三角形的个数是 ( ) (A)11 (B)15 (C)19 (D)不能确定 在一个圆中画 6 条弦,把圆面分成 n 个平面部分,则 n 的最大值是 ( ) (A)18 (B)22 (C)24 (D)32 一张平面把空间分为两部分,两张平面最多把空间分成四部分. 设四张平面最多把空间 分成 n 部分,则 n 等于 ( ) (A)14 (B)15 (C)16 (D)13 x 轴正半轴上有 10 个点, y 轴正半轴上有 5 个点. x 轴正半轴上有 10 个点和 y 轴正半 轴上有 5 个点连成 50 条线段,这 50 条线段在第一象限内的交点个数最多是 ( (A)250 (B)450 (C)500 (D)1250 图中平行四边形的个数为 ( ) (A)40 (B)38 (C)36 (D)30 如图,按箭头方向前进,从 A 到 B 点不同的路线的条数为( (A)25 (B)24 (C)23 (D)22 ) )

8.

9.

10. 平面上有一个点集 M 和七个不同的圆 C1 、 C2 、… 、 C7 ,其中圆 C7 恰好经过 M 中的 7 个点,圆 C6 恰好经过 M 中的 6 个点,… ,圆 C1 恰好经过 M 中的一个点,那么 M 中 的点数最少为 (A)11 ( (B)12 (C)21 (D)28 )

练习 04
1.

规律问题

2. 3.

4.

图中所示的 4×4 的正方形内,写着 1~16. 按下列四步 1 2 3 4 顺序折叠该正方形 5 6 7 8 (1)上半部盖在下半部上 (2)下半部盖在上半部上 9 10 11 12 (3)右半部盖在左半部上 (4)左半部盖在右半部上 13 14 15 16 经过这四次折叠后,最上面的数字是 ( ) (A)1 (B)9 (C)10 (D)14 若 11 个连续奇数的和是 1991,把这些数按大小顺序排列起来,第六个数是 ( (A)179 (B)181 (C)183 (D)185 设 x = 0.1234567891011 ? ? ? 998999 ,这个小数是从小数点后,以 1 开头一直写到 999 得到的. 那么小数点后第 1983 位的数字是 ( (A)2 (B)3 (C)5 (D)7 把由 1 开始的自然数依次写下去,写到第 198 位为止,这个数用 9 除的余数是(
12345678910111213 ??? 1444 4 24444 3
198 位

) 而 ) )

5.

6.

7.

8.

(A)4 (B)6 (C)7 (D)非上述答案 埃尔和鲍勃在同一天开始他们的新工作,埃尔的工作日程表是 3 天工作接着 1 天休息, 鲍勃的工作日程表是 7 天工作接着 3 天休息,在前 1000 天埃尔和鲍勃共同的休息日的 天数有 ( ) (A)48 (B)50 (C)72 (D)100 如果甲的身高数和体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中, 如果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子。那么,在 100 个小伙子中,棒小伙子 最多可能有 ( ) (A)1 (B)2 (C)50 (D)100 在一宴会结束时,总共握了 28 次手,假设每一个参加宴会的人对其他每个与会人士均 握了一次手,则与会人士共有 ( ) (A)14 (B)28 (C)8 (D)7 九把椅子排成一排,现在 6 位同学和三位教授(分别是 α 、 β 、 γ ) ,三位教授先与 学生到达,决定选座位,以使每位教授均位于两名学生中间. 这种排法总数为( ) (A)12 (B)36 (C)60 (D)630 五个人围坐在一圆桌旁,若至少坐在一位女性旁的人数 f ≥ 0 ,至少坐在一位男性旁的 人数 m ≥ 0 ,那么所用可能的有序数组 ( f , m) 的个数是 ( ) (D)10 ( )

9.

(A)7 (B)8 (C)9 10. 某学生在暑假期间观察了 x 天的天气情况,其结果是 (1)共有 7 个上午是晴天 (2)共有 5 个下午是晴天 (3)共下了 8 次雨 (4)下午下雨那天,上午是晴天 则 x 等于 (A)8 (B)9 (C)10

( (D)11



练习 05
1.

运动与博弈问题

2.

3.

两游泳运动员在长 90 英尺的游泳池对边上开始游,一人以每秒 3 英尺,另一人以每秒 2 英尺的速度行进,它们来回游 12 分,若不计转方向时的时间,则它们相遇的次数为 ( ) (A)21 (B)20 (C)19 (D)18 圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点,一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳 到另一点. 若它停在奇数点上,则下一次只能跳一个点;停在偶数点则可跳两个点,该 蛙从 5 这点跳起,经 1995 次跳后它将停在的点是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 如图, 在一个 4×6 的球台上, 有两个小球 P 和 Q . 若小球 P 依次经过球台边 AB , BC , CD 和 DA 反弹后,恰好击中小球 Q . 则小球 P 击出时,瞄准应是 AB 边上的 ( )
A D3 D2 D1 D A1 A2 A3 A4 A5 P Q C B

4.

一只虫(不计大小)由坐标平面的原点出发. 首先它向右移动 1 个单位到 (1,0) . 然后它 逆时针旋转 90° 走
1 1 个单位到 (1, ) . 若照此继续下去,每次逆时针旋转 90° 并走上次的 2 2

一半,下列离虫最近的一点是 ?2 2? ?4 2? (A) ? , ? (B) ? , ? ?3 3? ?5 5? 5.


?2 4? (C) ? , ? ?3 5? ?2 4? (D) ? , ? ?5 5?



一昼夜中,时针、分针、秒针三者重合的次数是 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)24 6. 某人最初有 64 元,和人打赌 6 次,结果赢三次、输三次,其输赢的次序是任意的, 赢的机会和输的机会是相等的, 若赌金是每次赌时所余钱的一半, 最后的结果是( ) (A)输了 27 元 (B)赢了 27 元 (C)输了 37 元 (D)不输也不赢 7. 一次职业保龄球赛的最后阶段,前五名选手再按下法比赛,首先由第五名与第四名赛, 输者得 5 等奖,赢者与第三名赛,输者得 4 等奖,赢者与第二名赛,输者得 3 等奖,赢 者与第一名赛,输者得 2 等奖,赢者得 1 等奖,不同的得奖顺序的种类是 ( ) (A)10 (B)16 (C)24 (D)120 8. 一次数学竞赛中, B 、 D 得分和 A 、C 得分和相等,若将 B 、C 等分交换,则 A 、C 得 分和将超过 B 、 D 得分和. 此外,还知 D 的得分比 B 、C 得分和还多. 假定所有得分都 是非负的,那么从高分到低分排列顺序是 ( ) (A) D , A , C , B (B) D , A , B , C (C) D , C , B , A (D) A , D , B , C 9. 有一份选择题试卷共六道小题,其得分标准是:一道小题答对得 8 分,答错得 0 分,不 答得 2 分. 某同学得了 20 分,则他 ( ) (A)至多答对一道小题 (B)至少答对三道小题 (C)至少有三道小题没答 (D)答错两道小题 10. 一些同学参加三项比赛, 冠军得 5 分, 亚军得 3 分, 季军得 1 分,没有并列的。 那么, 一个同学要想使得分一定比其他同学高,他至少要得的分数为 ( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)13

练习 06
1.

格点问题

在 直 角 坐 标系 中, 横坐 标和 纵坐 标都为整数的点 称 为 整点 . 设 过 A( ?2 2, ?1 + 2) ,
3 3 3 B(0, 2) 两点的直线为 l ;过 C (0, ) , D ( , ) 的直线为 m ,则 2 2 4





2.

(A)直线 l 上无整点 (B)直线 l 上有有限个整点 (D)直线 m 上有有限个整点 (C)直线 m 上无整点 在直角坐标系中,横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点. 用 I 表示所有直线的集合, 用 M 表示恰经过一个整点的直线的集合,用 N 表示不经过任何整点的直线的集合,用 P 表示经过无穷多个整点的直线的集合. 那么,在下述表达式中: (1) M U N U P = I (2) N ≠ ? (3) M ≠ ? (4) P ≠ ? 正确的表达式的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 将一些钉子钉在一块木板上,使得它们在水平方向与竖直方向都相隔 1 个单位长度. 用一条橡皮圈套在如图所示的四个钉子上形成一个四边形,该四边形的面积是( )

3.

4.

(A)2 (B)5 (C)5.5 (D)6 在直角坐标系中,横坐标和纵坐标都为有理数的点称为有理点. 若 a 是有理数, b 是无 理数,则在半径为 r ,圆心为 (a, b) 的圆上有理点的个数有 ( ) (A)最多一个 (B)最多两个 (C)最多三个 (D)有无穷多个 则以 S 中的点为顶点的三角形的个数为 ( 令 S = {( x, y ) | x, y ∈ N ,1 ≤ x ≤ 4,1 ≤ y ≤ 4} , (A)496 (B)500 (C)512 (D)516
1 在直角坐标系中,横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点. 则曲线 y = ( x 2 ? x + 1) 5

5. 6.



7.

通过的整数点的个数为 ( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无穷多个 在直角坐标系中,横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点. 由 x 轴、直线 x = 4 与 抛物线 y = x 2 围成的区域(包括边界在内)包括的整点的个数为 (





8.

(A)24 (B)25 (C)34 (D)30 在直角坐标系中,横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点. 则 满
(| x | ?1) 2 + (| y | ?1) 2 < 2 的整点个数为





等 (

式 )

(A)16

(B)17

(C)18

(D)25

9.

V ABC 中, A 、 B 两点的坐标分别为 A(0,0) , B(36,15) , C 的两坐标为整数,则 V ABC

化面积的最小值为 (A)
1 2

( (C)
3 2



(B)1

(D)

13 2

10. 两个球,一球球心在 (0, 0,

21 9 ) ,半径为 6;另一球球心在 (0, 0,1) ,半径为 。设两球 2 2 相交部分的坐标为 ( x, y, z ) ,其中的格点(坐标均为整数者)的个数为 ( )

(A)7

(B)9

(C)11

(D)13

练习 01 02 03 04 05 06

1 B C D B C B

2 B B C B D D

3 D B D D B D

4 D B B B B B

5 C D B D A D

6 C D B D C A

7 B D B C B B

8 C B C C D A

9 C D C B D C

10 D B B C D B


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