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对数与对数运算课件(第一课时)


对数的概念
对数与对数的运算(第一课时)
中山坦洲理工学校数学备课 组

对数
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔 (Napier,1550年~1617年)。他发明了供天 文计算作参考的对数,并于1614年在爱丁堡 出版了《奇妙的对数定律说明书》,公布了 他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何 的创始,微积分的建立并称为17世纪数学的 三大成就。

一、问题引入
例:截止到1999年底,我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%,按这样计算,那么经过11 年的今天,我国人口数约为多少?到哪一年我国的人口数 将达到18亿?

(1) y=13× (1+1%)11 = 约14.5

;

(2)13× (1+1%)x=18,即 (1.01)x= 13 求 x = ?
上面的式子, (2)是已知底数和 指数 的值,求

18



值。

二、对数的概念

1、合作探究: (1)在x 4 = 16中,x是多少?其中,已知指 数和 幂 的值,求 底 ,这是开方问题。 (2)在x = 2 4 中,x是多少?其中, 已知 指数 和 底 的值,求 幂 ,是求幂问题。 x= 1 8 ,x是多少?其中, (3)若1.01 1 3 已知 幂 和 底 的值,求 指数 ,这是什么问题 呢? 18 这时,我们把x称作是以1.01为底的 13 的对数,这就是求对数的问题。

2、对数的概念
(1)一般地,什么叫做对数?对数是如何表 示的?什么叫做真数?
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫 做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数 的底数,N叫做真数.

(2)对数的特殊情况:什么叫做常用对数? 什么叫做自然对数 ?
lo 以10为底的对数称为常用对数, g 1 0 N 常记为 lg N 。 log 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数, e N 常记为 ln N 。

三、对数式与指数式的互化
? 在对数的概念中,要注意: ? (1)底数的限制a>0,且a≠1 x ? (2) a ? N ? lo g a N ? x
? ? ? ? 其中,指数式 ? 对数式 幂底数←→ 对数底数 指 数 ←→ 对数 幂 ←N→ 真数

指数

对数(一)

对数



真数

a ?N
b

log a N ? b
底数

四、对数的性质
1、问题:(1)负数和零有没有对数? (2)a0=1 如何转化为对数式?

(3)a1= a如何转化为对数式? (4)根据对数的定义, lo g a N =? a 2、对数的性质 (1)负数和零没有对数.

(2) log a 1 ? 0 ( a ? 0 , a ? 1).

(3) log a a ? 1 ( a ? 0 , a ? 1).
(4)

a

log a N

? N

( a ? 0 , a ? 1) .

五、应用举例
? 例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: ? (1)54=625; 解:(1) log5625=4; ? (2)2-6=
1 3
1 2

1 64



(2)log2

1 64
3

=-6;

? (3)(

)m=5.73;

(3)log 1 5.73=m; (4)( 2 ) -4 =16; (5)10-2 =0.01; (6)e2.303=10.
1

? (4)log

16=-4;

? (5)lg0.01=-2; ? (6)ln10=2.303.

例2 求下列各式中x的值 (1) lo g 6 4 x ? ?
2 3
X=

1 64

(2) lo g x 8 ? 6

X=

2

(3) lg 1 0 0 ? x (4) ? ln e ? x
2

X=2 X=-2

练习:课本P68练习第1,2,3,4题.

五、小结
? 1.对数的定义及其记法;

? 2.对数式和指数式的关系; ? 3.自然对数和常用对数的概念.

六、作业
? 作业:P74 A 1 2


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