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高中物理竞赛中非完整简谐运动的周期求解


V o1 . 38   N o. 3  

Ma r . 2 0 0 9  

中   : } b  教学参考  

竞赛 辅导  

高中物 理竞 赛 中非完整 简谐 运动 的周期 求解 
何 家传 

黄时中  

( 安徽 师范 大学物 电学 院

  芜 湖 

安徽省 芜湖 市第 一 中学

2 4 1 O 0 0 )  

求 解 振 动 周 期 的 问 题 经 常在 高 中物 理 竞 赛 中 出 现 ,   而且 常 以非 完 整 简 谐 运 动周 期 的 求 解 形 式 呈 现 . 学 生 普  遍感到这类问题 比较难 , 要么 不知如 何下 手 , 要 么 把 简 
单 的问 题 搞 复 杂 了. 其实 , 非 完 整 简 谐 运 动 的 周 期 可 以 

丁 一 z   √   .  
由参考 圆( 如 图 3所示 ) 可知, 此 简谐 运 动 等 效 于半 径 

为 A、 角 速度 为 叫 一   的运 动质 点在  轴上 的投 影 的运动.   有 竖 直 弹性 板 时 , 小球做 非完 整简 谐运 动 , 故 此 时  的周 期 为 
一   一

用简谐运动参考 圆的方 法求解. 简单 地说 , 非 完 整 简 谐 
运 动 的 周期 就 等 于非 完 整 圆周 运 动 的 时 间 . 下 面 通 过 几 

个 例 题加 以说 明.  
例1   如 图 1所 示 , 光滑水平面上一轻弹簧( 劲 度 系  数为 愚 ) 左 端 固定 于墙 上 ,   右端 连 接 一 质 量 为 m 的 弹  性 小 球 .弹 簧 右 侧 紧 挨 着 


I   一 兰  X 0  
L   兀  J  

例 2 一根细线 下端 系一很小 的球 , 上 端 固 定 在 O 
o 

点, 摆线 开 始 与平 衡 位 置 夹 角 为 
a ( <5 。 ) , 摆 球 由静止开 始摆 下 ,   当摆 线 与竖 直 线 夹 角 为 (   a )   时 即位 置 P处 , 小 球 与斜 墙 发 生  完全 弹性 正碰 , 如 图 4所 示 , 试 

竖直 固定 弹性 板 , 此时,  

图 1  

弹簧 处 于 自然 状 态 .现 将  弹簧 向左压 缩 距 离 A 后 放 开 , 让 小 球 自 由运 动 , 则 弹 簧  运 动 的 周 期 是 多少 ?  

解析

若没 有 竖 直 弹性板 , 小 球 做 完 整 的 简 谐 运 

求这种摆的振动周期 T   与 没 有 
斜 墙 时 单 摆 的 振 动 周 期 T 之 
比  .  
图 4  

动 , 周 期 为  

丁 一 2   √   .  

有竖 直 弹性 板 时 , 小 球 的 振 动 刚 好 是 完 整 简 谐 运 动 

的 一 半 , 故 此 时 的 周 期 为  一   T 一   √   .  
思考 在上题中 , 如 竖 直 弹性 板 固定 在 距 小 球 平 衡  位 置 O 点 。 ( z 。 <A) 处( 如 图 2所 示 ) , 则 小 球 运 动 的周 
期又是多少?  

解析

小球 与墙 壁发 生 弹性 正 碰后 将 原 速 反 弹 , 因而 

本题 的关 键是 求 出没 有 斜 墙 时 小 球 从 位 置 P沿 逆 时针 运 
动到位 置 Q然后 返 回位 置 P所 用 的时 间. 若 没 有墙 , 单 摆  做 小角 度振 动 时 , 有 


Ac o s  

因摆 角很 小 , 所 以有  一1 6 , A—l a , 则 一口 c o s   f . 作 
o 

出  图线 如 图 5所 示 , 知7 " 1 一丁 一  .  

.  

. /   、 、   、  、   .
r 

D  
。 c  

、 
  ●

O 

O 


\ 、   r   A t / 1   h—   !   一  

/ 


  ’

图 2  

图 3  



8  

\ \ 【 V 一 J   / /  
图 5  

\   /   /  
\ .  

解析

若没 有 竖 直 弹性 板 , 小 球 做 完 整 的 简 谐 运 

图6  

动, 周 期 为 

由参 考 圆 可 知 , 此 单 摆 等 效 于质 点做 半 径 为  、 角 速 

句  
E - ma i l : p h y @c f e 2 1  G O e  r

竞 赛 辅 导 
度为?  一  的匀 速 圆 周 运 动.  

中   j } b 圣  

参考  
管有 L 。 浸 入水 中时 受 力 平 衡 , 有 

第3 8 卷 第3 期  2 0 0 9  ̄3 月 

( 3 ) 当l D 一2 P 水 / 3 >1 0 D 时, 管 平 衡 位 置将 发 生 变 化 , 设 
9  

与斜 墙 发 生 碰 撞 后 , 单摆 的非完整简谐运 动等效 于  
质 点 的 非 完整 圆周 运 动 , 如 图 6所 示 . 则 
一  

号  L S g =p .S g L o ,  
9  

,  


一  ,  

L 。 一÷L .  

而 
所 以 

r —a r c c 。 s 卫

初始状态相 当于偏 离平 衡位 置 2 L / 3 , 即 管 的 振 幅 


T  一了 、 一 △ 

为2 L / 3 , 这 时管 的运 动 分 为 两 段 :  
一  

T I 一1
』  

a cc。s
7 c  


. 

① 从 刚 入 水 面 到 全部 没 入 水 的过 程 中 做简 谐 运 动 .  
I   F  1 一  g S x,  
j  

口 

例 3 广 而深 的静 水 池 中竖 立 一 固 定 细 杆 , 其 露 出  水 面部 分 套 着 一 个 长 为 L、 密 度 为  p 、 截面均匀 的匀质细管 , 细 管 可 沿 
所 以  一  一  .  
j   j   j  

这 一 运 动 相 当 于 从 最 大 位 移 处 振 动 到 反 方 向L / 3   处, 所 需 时 间相 当于 等 效 质 点 圆 周 运 动 一 定 角度 所 需 时 
间, 设 为  , 如 图 8所 示 , 即 

杆无 摩 擦 地 上 下 滑 动 , 现 用 手 持 
管, 使管 的下 端 刚刚 与水 面 接触 ,  

放 手 后 细管 竖 直 下 沉 , 设 水 的 密 度 
为p 水, 不 计 水 的 阻力 和 表 面 张 力 .  

( 1 ) 当 管 的密 度 p 等 于 某 一 值 
P 。时 , 管 能 下 沉 到 刚 好 全 部 没 入水  中, 如 图 7所 示 , 求  .  
多少 ?  
图 7  
/ /少  上 

( 2 ) 在p 一  的 情 况 下 , 管 下 沉 所 经 历 的 时 间 是 

( 3 ) 设管的密度为 l D 一2 P 水 / 3 , 求 管 下 沉 到 最 后 位 置 
所 需 的时 间 .  

解析

设想 I D ≥P 水, 则管 将 一 直 下 沉 到 池 底 , 故 题 中 
图 8  

所 给情 况 只能 发 生 在 I D <P 水 的情 况 下 , 此 时 管 的运 动 是  简谐 运 动 , 广 而 深 的 水池 意 味着 水 面 高 度 不 会 因 细 管 的 
浮沉 而变 化 .   所 以  由  得 

s i n “   r 产 一   

一1 一  / 2 , ’  

r =7 c / 6 ,  
 ̄ -r T I : : — n / 2


( 1 ) 已知 管 在 下 端 刚 刚与 水 面 接 触 到 刚 刚全 部 没 入  水 中 这段 时 间 内做 简 谐运 动 . 即放手后( 速度为零 ) 到 刚  好 全 部 没入 水 中( 速度为零) . 由 运 动 的 对 称 性 及 浮 力 与  没 入 深 度 的线 性 关 系 可 知 , 管做 简 谐 运 动 平 衡 位 置 的 位  移 为  , 即管一半浸在 水 中时所受合 力 为零 , 设 管 横 截 

. 

T,  

3   N  3

,  
"  



此 时 管 的 速 度  一   2   L c 。 s   r 一 √ 譬 .  
② 管 全部 没 入 水 中 后 , 所受 浮力 不再变 化 , 做 匀 减 
9   1  

面积为 s , 故 p o L S g =p .S g 等, 得p o — P 水 / 2 .  
( 2 ) 管下 沉 过 程 中 , 浮力为变力 , 设 管 重 心偏 离 水 面  ( 平衡位置)  距 离 时( 以 向下 为 正 方 向 ) , 有 

F A — P 水 g S L -寺P 水 g S L 一 专P 水 g S L ,  

F   一 一 [ . o   S g ( 专 +   ) 一   s g L ]   E   S g ( 导 +   ) 一   S g   L ]  
= -

由 动 量 定 理 知 F A ’ T 2 一 号  S L ‘  ,  
2   SL
? ? 



一-p ,S gx.  

所以 
DL 了 P水  g 



, t  

  |


√  。  

即 管 做 简谐 运 动 , 管 的 下 端 刚 刚 与 水 面 接 触 到 刚 好  全 部 没 入 水 中所 需 时 间恰 好 为 半 个周 期 , 有 

故从刚入水面到最低点所需时间为  

t — T / 2 =  蠢 一  
E - ma i l : p h y @ ̄ f e 2 1   C o r n  

: = =   压 

丁 一 T I + G 一   (  +   ) .  


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