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一类恒成立问题的错解剖析


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数 学教学通讯 ( 教师版 )… … … … … … … … … …  一 试题 研究  试题探究  

一 一 一 涵   一  
严惠峰  浙江湖 州吴兴高级 中学 l 3 0 0 0   题 一     生 剐   把 割 .   傲  3

r />
10 .当且 仅 当  : .   时取 等 号.符 合题 意  原 题   V  【   1 , _ 1 3   1 , 使 不 等 式  > 糊  
3  

否 定 形式 入 手 , 将 其 转化 ( p八 q 型) , 往 往 
能 简化 解 题 过 程 . 降低 思 维量 , 从而收到  
意想 不到 的效 果.   视 角2 可行 域 

l a - l  ̄I + J n  
值 范 围.  

> 0 恒成立,求实数。 的取  

的解只需当 # ̄  n 1 , -l a - l 似I ≠0 即可, 即  


。 ≠I   .显 然 以 上 解 法 有误 ,那 究 竞 错 

错解   由。 I  

『 ’   + I n   3

x +2  

> 0 得Ⅱ >  
① 
) =  

不 妨 先 作 小 满 足 式 ① 及  [   1 , 了 1   1  
的可行域( 如图1 ) .南罔可知 , 满足“ 式① 

在那 里 呢 ?下 面从 不 同视 角 进行 剖 析.  
视 角 1 逻 辑 

l n x 一 1 n —j l 一 或  眦 + 1 n —j _
2 +3 x  

. 

2 +3 x  

原题 的 否 定 形式 为 : “ 若 了  ∈  
,  

设  ) - l 眦- I n  

3 x 2 2 x +


÷  使 不   一  n  ≤  
0 成立 , 求 实数 。 的取 值 范 嗣. ”  

0 


1  
—  

,  
— 一  

6  

, ,    ,   ,  

l n x + 1  

一 - J   一 旦

. 

/  
(   )  
l  

2 +3 x  

2 +3 x  

依 题 意 知a > h(  ) 或a < g (   ) 在  ∈  

因 为 I   眦 I   n 3   3 ≤  l n 景≤  
。 ≤l n一 3 x %2 x



3  

[ —   1 , — } 】 上 恒 成 立 .  
因 为  ‘   如  (   )  

. 

3  

又 因 为不 等 式 l  

≤1  
3  

在 

3 x + 2 

1  

_  
图1  
0   1  
— —  

鱼 > 0
. 

2  卜 3  

1 ]  ̄ N N  ̄ N   = ≥ ,  
) 都 在  ≥ ] 上 单  
所 以当且仅 当。   ,  时 , l  
3  

所  

≤  
3 x +2  

6  

,  

调递增. 要使不等式① 成立 ,  

。 ≤ l  

塾 恒成立
. 

l   - l  
3  
, ,   ,,   ,,   ,I  

/ /a   = g (  
y 

当 且 仅 当  (   1 ) 或  (   1 ) , 即  
l   _ l 或  
3   5  

所 以实 数韵 取值范 围是。 ≠l n 一 1  
3  

,  
f l  

② 

剖析

从 逻 辑 的视 角 看错 解 。错 解 

l   _ l  

, , ,    

反思

粗 看 求 解 过 程 似 乎 无 懈 可 

的 关键 是 对逻 辑 连 接 词 “ 或” 的 理 解 不 透 

击 鹏实 上  e  ≥  n  

彻, 从 而导 致 不等 价 变 形.  
对 pVq 型 的恒 成 立 问题 ,若 能从 其 

5   - — - _ , 』 f   奠  

试题 研究 , 试 题探究  

数学教学通讯 ( 教师版 )  
错 解 的 关键 是将 a = l n x 成 立的 条件 当作 两 

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0 


l  
— —  

l  
—  

6  

3  

) /   ,   ,    ̄ - - g ( x )  

个点 来处 理. 其 实 当a = l n x 时. 原题 恒成 立 
的a 的条 件是 一 个 区间段 .   视 角4 函数 

错 解易  : 4 _ l _ (  ]  
由  ! < 2
.  

l   _ l   _
3  

I  
萎 

s  
k + l}  
l —C  

构造 函数h (  ) =I r 卜 1  l , g (  ) =  
I n   3 x + 2


可 得 

. 

1 I   3   由 题 意 得只 需 求 


) > g  ) 在 

l   5   I  ,  
t  

图3  

在   e [ { ,   1 上 恒 成 立 ” 的 值 n ≠   n   .  
剖析 从 可行 域 的视 角看错 解 ( 如  {  


[   , ≥ ] 上 恒 成 立 时 。 的 取 值 范 围 .   由 图 4 知 , 当 且 仅 当 e   ≠ ÷ , 即 n ≠ l n  
时 符 合 题 意. 因此 .实 数 。 的 取 值 范 围 
亢兰a  ≠

化 简 得 c  (   )   或 c " 4 - 4 ( 2 '   t   对  
k∈N十 . L c - 成立.  

令 厂 c   : 4 — 6 ( ≥   g   c   = 4 _ 4 ( { )  
(  ∈N  ) .  

图2 ) , 式②仅表示满足  t i n  “  ^   恒成  1  

1 n~   3  
L  

由函数 的单 调性 易  

)   l , g ( 后 ) <  

4, 从 而 c < 1 或 c≥4 又 由 已 知 0   ≤3 , 故 

@a < l n x + l n  

恒 成 立的 两部 分 . 事实  

2 + 3 x  

上 n   1 n { ~ , . n j 1 ‘ ] 的 任 意 值 在   [ 吉 , ÷ 1   上 也 满 足 “ 式 ① 在   [   ,   ] 上 恒 成 立 ”  
( 如 图3 ) .  
视 角3 分类讨 论  ( 1 ) 当n > l 眦> 1 n   时, 原 题 可化 为。 >  
3 l n   2 x + 3 x2  

V 、  
— 1 6   —   /   1 3  
图4  

0 < c <1 .  

正解

例l 的否 定形 式 为 : “ 已知数 列  

{  } 是 由正数 组 成 的等 比数 列 , S   是 其前n  
项 的和 , 若n l = 2 , q =   1


且 存在 正整 数  及 

正数c ( c ≤3 ) 使 
_c 

≥2 成立, 求c 的取 值 

剖 析   = I a - 1 .  ̄ I = {  

’  

范 围. ”   因 为 

是一 个 分段 函数 ,且  = e 嘎 它 的 零 点 .从  


S  ≥ ' . c   2   4   ( \   2 ) 7   ≤ c ≤ 4 一  

3  

∈ 

l   o   J 1   上 恒 成 立 . 所 以   i   函 数 的 视 角 看 错 解 , 式 ② 解 决 了 函 籼  ) =   4 (  
,  

a - l n x (   ≤e a ) 及  (  = - a + l n x (   > e   ) 分 别 符  合 题 目要 求 的0 的 取值 范 围. 错 解 的关键 

n > l n   .  

当k = l 时. 1 ≤c≤2.  
当k = 2 N.   ≤c ≤3 .  

是 忽视 心  , 儿 了当 J    — ■   ≤  c\— = -   时’ ,   函数 @) /   也 u  符  I   ( 2 ) 当  l m时, 原 题 可 化为l n —  > 0   6   3   3 x + 2   1 舍 题 目要 求 的情 况
. 

所以符 合例 1 的 解 为  < l &2 < c < 一 5
. 

在   E   l ÷, ÷l 上 恒 成 立 .  
(i ) 当   - - .  ̄ x < -  I t 1 , " , l r l -J  > 。 0 恒成 

. 

“ 构 造函 数, 画 出 含 参 数不 等 式中 涉  
及 的相 关 函数 的 图象 ( 或相 关方 程 的 曲  

例2 若不等式3   l X - t ' a I 一  + 6 > 0 对一 
切实 数  都 成立 , 试 求实 数a 的取 值 范 围.  
错解  原 不等 式等价 于  。 二   或n <  
6 - - 5 x
— —

线 )通过对图象( 或 曲线 ) 的分析, 得到参 


立, 即1 ”   1≤   n —  ;  
,  

数应 满 足的 不等 式 , 从而 得 到参数 的 取值    范 围” i 是 求解 恒 成立 问题 的 常用 思想
.  

综上可知 , 求解形 如“ m   (  ) 或 

x 令 (  ) :- — - x   - 6g (  ) : . 65






( i i ) 当   言 时 , I n   2 3 x + 。  , 即 Ⅱ ≠ 了 1 ’  
. 

) ( 目   v g ) ” 的 恒 成 立 问 题 时 , 用 分  
离 参 数 法 容易 产 生 错 解 , 可从逻辑 、 可 行 



3  

3  

_ 1 = 『-

. 

3  

因为   ) ∈R, g (   ) ∈R, 所 以 满足 条 
件 的Ⅱ 不存 在.  

(   ) 当a < l n x < l n  ̄ S J " , 原 题 可化 为。 ‘  
6  

函数 、 分 类 讨论 等多 个视 角 求解 , 从 而 

正解 构造函数厂 (   ) = I x + a l , g (   ) =  
2 x


? n 盏 
1  
。<l “一

了 1   魁所 以  
,  


数 组 成 的  
等比数列, S   是 其 前n 项 的和 ,若a 。 = 2 , q =   且对 任 意的 正整 数k 及 正 数c ( c ≤3 ) 都 

。 

2 .在 同一 坐标 系 内作 出 它们 的 图 象 

3  

6  

( 图略 ) ,借 助直观 图形 , 易知一 a < 3 , 即 


3 .故 所 求Ⅱ 的取 值 范 围是 ( 一 3。 + a 。 ) .  

综 i : 所述, Ⅱ ≠l “   1
. 

当然 .以 上两 例 也 可从 其 他 视 角 来 
求解 . 这 里不 再赘 述.  

剖析

有  < 2 成立 , 求c 的取 值 范 围.   从 分 类讨 论 的 视 角 看 错 解 ,   -   S   _ _ c  

62  


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