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3-1-5 空间向量运算的坐标表示


能力拓展提升 一、选择题 11.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,-3,7),C(0,5,1), 则 BC 边上的中线长为( A.2 [答案] B → 1 → → [解析] 设 BC 边上的中点为 D,则AD=2(AB+AC)=(-1,- → 2,2),所以|AD|= 1+4+4=3. 12. 已知 a=(1,2, -y), b=(x,1,2), 且(a+2b

)∥(2a-b), 则( 1 A.x=3,y=1 1 C.x=2,y=-4 [答案] B [解析] a+2b=(2x+1,4,4-y), 2a-b=(2-x,3,-2y-2), ∵(a+2b)∥(2a-b), 2x+1=λ?2-x?, ? ? ∴?4=3λ, ? ?4-y=?-2y-2?λ. 1 B.x=2,y=-4 D.x=1,y=-1 ) B.3 ) C.4 D.5 ?x=1, ∴? 2 ?y=-4. 13.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的 形状是( ) B.等边三角形 D.等腰直角三角形 A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] C → → → [解析] AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1), → ∴|AB|= 32+42+82= 89, → |AC|= 52+12+72= 75, → |BC|= 22+32+1= 14, → → → 2 2 ∴|AC| +|BC| =75+14=89=|AB|2. ∴△ABC 为直角三角形. → → 14.已知向量OA=(2,-2,3),向量OB=(x,1-y,4z),且平行四 3 1 边形 OACB 对角线的中点坐标为(0,2,-2),则(x,y,z)=( A.(-2,-4,-1) C.(-2,4,-1) [答案] A [解析] 由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z) 3 1? ? =2?0,2,-2?, ? ? ) B.(-2,-4,1) D.(2,-4,-1) ∴(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1), x=-2, ? ? ∴?y=-4, ? ?z=-1. 二、填空题 15.已知 a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则 a· (b-c)= ________. [答案] 5 [解析] 5. b-c=(2,0,1),a· (b-c)=(2,-3,1)· (2,0,1)=4+0+1= 16.与 a=(2,-1,2)共线且满足 a· x=-18 的向量 x=________. [答案] (-4,2,-4) [解析] 设 x=(x,y,z), ?2x-y+2z=-18, 由题意得?x y z = = ?2 -1 2. 解得 x=-4,y=2,z=-4.∴x=(-4,2,-4). 三、解答题 17.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2). → → → → (1)若DB∥AC,DC∥AB,求点 D 的坐标; → → → (2)问是否存在实数 α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在, 求出 α,β 的值;若不存在,说明理由. → → [解析] (1)设 D(x, y, z), 则DB=(-x,1-y, -z), AC=(-1,0,2), → → DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0). → → → → 因为DB∥AC,DC∥AB, ? ??-x,1-y,-z?=m?-1,0,2?, 所以? ??-x,-y,2-z?=n?-1,1,0?, ? x=-1

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