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2007.6.17竞赛辅导-立体几何


竞赛辅导─ 竞赛辅导─立体几何
引言

思考一

思考二

思考三

课外思考

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通知
全国高中数学联合竞赛于 2007 年全国高中数学联合竞赛于 2007 年 10 月 星期日)举行. 14 日(星期日 )举行. 联赛: 8:00─ 联赛: 2007 年 10 月 14 日 8:00 ─9:40 联赛加试: 10:00─ 联赛加试: 2007 年 10 月 14 日 10:00─12:00 现在开始报名, 自愿形式. 现在开始报名, 自愿形式. 报名费: 报名费:只参加联赛的考生报名费 22 元;参加联 .(详情见贴的通知 详情见贴的通知) 赛和加试的考生报名费 34 元.(详情见贴的通知) 欢迎大家踊跃报名, 欢迎大家踊跃报名,挑战数学竞赛题对数学思维 的训练极有价值,对参加数学高考也很有帮助. 的训练极有价值 ,对参加数学高考也很有帮助. 特困生可向学校申请帮交费, 注: 特困生可向学校申请帮交费,优秀生学校会 给奖交费(免交). 给奖交费(免交 ). 阳江市第一中学 2007.6.15
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立体几何是中学数学中的基本的内容, 立体几何是中学数学中的基本的内容,通过对立体几 何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力. 何的学习,可以培养观察能力、空间想像能力. 数学竞赛中的立体几何问题, 主要涉及求角 线线角、 数学竞赛中的立体几何问题, 主要涉及求角 线线角、 ( 线面角、 二面角) 求距离(点点距、点线距、 点面距、 线面角、 二面角) 求距离 (点点距、点线距、 点面距 、 、 异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、 异面直线间的距离、平行的线线距、平行的线面距、平行 的面面距) 求面积(侧面、截面、表面) 与体积, 、求面积 的面面距) 求面积 (侧面 、截面、表面 ) 与体积,以及 、 位置关系的判定等,并多以选择题、填空题以及求解角、 位置关系的判定等,并多以选择题、填空题以及求解角、 积的形式出现. 距、积的形式出现. 另外, 空间向量的工具运用 运用, 另外, 空间向量的工具运用, 为求立体几何的空间角 和距离问题、 和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索 性试题提供了简便、 快速的解法, 性试题提供了简便、 快速的解法, 它的实用性是其它方法 无法比拟的, 无法比拟的,因此可加强运用向量方法解决几何问题的意 提高使用向量的熟练程度和自觉性. 识,提高使用向量的熟练程度和自觉性. 3

竞赛辅导─ 竞赛辅导─立体几何

竞赛辅导─ 竞赛辅导─立体几何
关于求角 、求距离、求面积与体积 以及位 与体积, 关于求角、求距离、求面积与体积, 以及位 求角 置关系的判定等问题,需要用 知识点 置关系的判定 等问题 ,需要 用 到的 知识点 见 教程 介绍. 介绍. 通过一 处理这 今 天我们 主要是 通过一 些例题 来体会 处理这 问题的基本思想方法: 思想方法 些问题的基本思想方法: 一 、学会转化; 二、掌握基本 功法.(如坐标 学会 转 掌握基本功 .( 如 基本 作出图 法、作出图形求 解法)

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思考一 如图, 思考一. 如图, 设正三棱锥 S— ABC 的底面边长 — 为 a,侧棱长为 2 a,过 A 作与侧棱 SB、SC 都相 , , 、 交的截面 AEF,求这个截面周长的最小值. ,求这个截面周长的最小值. 分析: 分析 : 沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面 展开如图, 展开如图,求 AEF 周长最小值 A'两点间 问题就转化成了求 A 、A'两点间 的最短距离. 的最短距离.

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1答案 答案

分析: 将三棱锥的侧面展开如图, 分析 :沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图,求 A'两 AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离. 点间的最短距离 . 7 设 ∠ASB = θ ,则由余弦定理得 cos θ = 8 7 3 所以 cos 3θ = 4 cos θ cos θ = 128 11 可求得 AA' = a 4 11 即所求截面周长的最小值为 a 4 说明:这类问题通常都是将几何体的侧面展开, 说明:这类问题通常都是将几何体的侧面展开, 空间问题转化成平面问题来解决。 空间问题转化成平面问题来解决。
思考2 思考

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例 2.(位置关系的转化) .(位置关系的转化) 位置关系的转化 已知三棱锥 S- ABC 中,∠ ABC=90°,侧棱 - =90 ° SA⊥底面 ABC,点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 ⊥ , 求证: ⊥ . 点 E、F,求证 :EF⊥ SC.
分析: 分析:∵ A、 E、 F 三点不共线, AF⊥ SC, 、 、 三点不共线, ⊥ , ∴要证 EF⊥ SC,只要证 SC⊥平面 AEF, ⊥ , ⊥ , 只要证 SC⊥ AE(如图 1) ⊥ ( ) 。 又∵ BC⊥ AB,BC⊥ SA,∴BC⊥平面 SAB, ⊥ , ⊥ , ⊥ , 上的射影。 ∴ SB 是 SC 在平面 SAB 上的射影。 ,∴ ⊥ 。 ∴只要证 AE⊥ SB(已知) ∴ EF⊥ SC。 ⊥ (已知) ,

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思考二 教程 思考二 (教程 P392 第 4 题 ):体积的转化 体积的转化 在四面体 ABCD 中 ,设 AB = 1, CD = 3 ,直线 设 直线
AB 与 CD 的 距 离 为 2, 夹 角 为

π

3 ABCD 的体积等于 的体积等于_______.(2003 年全国高中 数 联赛题 学联赛题 ) 1

,则四面体

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思考三 掌握基本方法) 思考三:(掌握基本方法) (1998 年全国高中数学联赛题 年全国高中数学联赛题) 设 E、F、G 分 别 是 正 四 面 体 ABCD 的 棱 AB、BC、CD 的中点 , 则二 面角 C ─FG ─E 的大 的中点, 小是( 小是( ) 6 π 3 (A) arc sin (B) + arc cos 3 2 3 π 2 (C) arctan 2 (D) π arc cot 2 2

D

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练习

1.(2001 年全国高中数学联赛题 年全国高中数学联赛题) 练习 1. 正方体 ABCD ─ A1 B1C 1 D1 的棱长为 1, 的距离是____. 则直线 A1C 1 与 BD1 的距离是____. 6

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年全国高中数学联赛山东 山东题 练习 2. (2003 年全国高中数学联赛山东题 ) 正方体 ABCD─A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 的中点, 是棱 CD 的中点,求 直线 A1C1 与 B1 E 的距 离.

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继续思考: 教程中的问题) 继续思考:(教程中的问题) 思考 1.教程 1.教程 P393 第 9 题 2.教程 2.教程 P363 第 13 题 等

答案

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