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均匀随机数的产生


3.3.2 均匀随机数的产生

复习回顾
? 1.几何概型的定义及其特点? 1.几何概型的定义及其特点? 几何概型的定义及其特点
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度 面积或体积)成比例, 长度( 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. ? 2.古典概型与几何概型的区别与联系. 2.古典概型与几何概型的区别与联系. 古典概型与几何概型的区别与联系
相同:两者基本事件的发生都是等可能的 相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 等可能 不同:古典概型要求基本事件有有限个 有限个; 不同:古典概型要求基本事件有有限个; 几何概型要求基本事件有无限多个 无限多个. 几何概型要求基本事件有无限多个.

? 3.几何概型的概率公式. 3.几何概型的概率公式. 几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度(面积或体积) 的 P(A)= 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
·2·

用几何概型解简单试验问题的方法
? 1、适当选择观察角度,把问题转化为几何 适当选择观察角度, 概型求解; 概型求解; ? 2、把基本事件转化为与之对应的区域D; 把基本事件转化为与之对应的区域D ? 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d; 把随机事件A转化为与之对应的区域d ? 4、利用几何概型概率公式计算。 利用几何概型概率公式计算。 ? 注意:要注意基本事件是等可能的。 注意:要注意基本事件是等可能的。

·3·

我们可以利用计算器或计算机产生整数 值随机数, 值随机数,还可以通过随机模拟方法求 古典概型的概率近似值,对于几何概型, 古典概型的概率近似值,对于几何概型, 我们也可以进行上述工作. 我们也可以进行上述工作.

均匀随机数 对于区间[a,b],实验结果 是该区间内的任何一 实验结果X是该区间内的任何一 对于区间 实验结果 个实数,且是等可能出现。 个实数,且是等可能出现。则X为[a,b]上的均匀 为 上的均匀 随机数。 随机数。
1.计算器实现 计算器实现 2.电脑中实现 在Excel中产生[0,1]区间 电脑中实现:在 中产生[ ] 电脑中实现 中产生 上均匀随机数. 上均匀随机数. rand() 产生[ 若(1) 产生[0,100]区间上均匀随机数呢? ]区间上均匀随机数呢? (2) 产生[100,150]区间上均匀随机数呢? 产生[ ]区间上均匀随机数呢? (3) 产生[a,b]区间上均匀随机数呢? 产生[ ]区间上均匀随机数呢?

·5·

):均匀随机数的产生 知识探究(一):均匀随机数的产生

我们常用的是[0 1]上的均匀随 [0, 思考 我们常用的是[0,1]上的均匀随 机数,可以利用计算器产生( 机数,可以利用计算器产生(见教材 P137) 如何利用计算机产生0 P137).如何利用计算机产生0~1之间的 均匀随机数? 均匀随机数? 用Excel演示. Excel演示. 演示 选定Al Al格 键入“ RAND() ()” (1)选定Al格,键入“=RAND()”, Enter键 按Enter键,则在此格中的数是随机产生 [0,1]上的均匀随机数 上的均匀随机数; 的[0,1]上的均匀随机数;

计算机只能产生[0 1]上的均匀 [0, 思考 计算机只能产生[0,1]上的均匀 随机数,如果需要产生[a b]上的均匀 [a, 随机数,如果需要产生[a,b]上的均匀 随机数,对此,你有什么办法解决? 随机数,对此,你有什么办法解决? 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上 首先利用计算器或计算机产生[0,1]上 [0 的均匀随机数X=RAND, 的均匀随机数X=RAND, 然后利用伸缩 和平移变换: Y=X*(b—a)+ 计算Y 和平移变换: Y=X*(b—a)+a计算Y的 [a,b]上的均匀随机数 上的均匀随机数. 值,则Y为[a,b]上的均匀随机数.

假设你家订了一份报纸, 例1. 假设你家订了一份报纸,送 报人可能在早上6:30 7:30之间 6:30— 报人可能在早上6:30—7:30之间 把报纸送到你家, 把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上7:00 8:00之 7:00— 工作的时间在早上7:00—8:00之 间,问你父亲在离开家前能得到报 称为事件A)的概率是多少? A)的概率是多少 纸(称为事件A)的概率是多少?

·8·

解:以横坐标X表示报 以横坐标X 纸送到时间, 纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建 立平面直角坐标系, 立平面直角坐标系,假 设随机试验落在方形 区域内任何一点是等 可能的, 可能的,所以符合几何 概型的条件. 概型的条件. 根据题意, 根据题意,只要点落到 302 阴影部分, 阴影部分,就表示父亲 602 2 =87.5%. 在离开家前能得到报 P(A)= 602 纸,即时间A发生,所以 即时间A发生, ? 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型 建立模型, 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问 出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域, 题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解. 题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.

·9·

思考:(会面问题 思考:(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 :( 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去, 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的, 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的, 且二人互不影响。求二人能会面的概率。 且二人互不影响。求二人能会面的概率。 分别表示甲、 解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时 刻,于是 0≤X≤5,0≤Y≤5. ≤ ≤ ≤ ≤ y 即 点 M 落在图中的阴影 5 部分. 部分.所有的点构成一个正 4 无穷多个结果 方形,即有无穷多个结果. 方形,即有无穷多个结果. 3 由于每人在任一时刻到达 2 都是等可能的, 都是等可能的,所以落在正 1 方形内各点是等可能的 等可能的. 方形内各点是等可能的. 0

.M(X,Y)
1 2 3 4 5

x
·10·

二人会面的条件是: 二人会面的条件是:

|X-Y|≤1 ≤,
y=x+1 y=x -1

记“两人会面”为事件A 两人会面”为事件A

阴影部分的面积 y P(A)= 正方形的面积 5 1 2 4 25-2 × × 4 3 2 = 2 25 1 9 0 1 = 25.

2 3 4

5

x
·11·

取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 2a的正方形及其内切圆 例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随 机向正方形内丢一粒豆子, 机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概 如何用随机模拟的方法估计圆周率的值. 率.如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.
解 :记“ 豆 子 落 在 圆 内 ” 的 事 件 A, 记

圆的面积 πa2 π P(A)= = 2= 正方形的面积面 4a 4 π 答 豆子落入圆的概率为 . 4
我们在正方形中撒了n颗豆子,其中有m 我们在正方形中撒了n颗豆子,其中有m颗豆

4m 子落在圆中, 子落在圆中,则圆周率π 的值近似等于 n

·12·

变式练习:
1.在一个边长为a,b(a>b>0) 1.在一个边长为a,b(a>b>0)的矩形内 在一个边长为a,b(a>b>0 画一个梯形, 画一个梯形,梯形上下底分别 1 1 高为b, b,向 为 ,高为b,向 a与 a

3

2

该矩形内随投一点, 该矩形内随投一点,求所投得点落在梯 形内部的概率。 形内部的概率。

·13·

变式2.已知:在一个边长为2 变式2.已知:在一个边长为2的正方形中有一 2.已知 个椭圆(如图),随机向正方形内丢一粒豆子, 个椭圆(如图),随机向正方形内丢一粒豆子, ),随机向正方形内丢一粒豆子 若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积. 若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积. 0.3,求椭圆的面积

·14·

【用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】 用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的图 例3 利用随机模拟方法计算曲线 所围成的图 y 形的面积. 形的面积 解题步骤: 解题步骤: (1)利用计算机产生两组 利用计算机产生两组 [0,1]上的均匀随机数, ]上的均匀随机数, a1=RAND( ), b1=RAND( ) ; (2)进行伸缩变换:a=a1?2-1; 进行伸缩变换: 进行伸缩变换 ; (3)统计试验总数 和落在阴影内的样本点数 1,以直线 统计试验总数N和落在阴影内的样本点数 统计试验总数 和落在阴影内的样本点数N x=1,x=-1,y=0,y=1为边界作矩形,计算落在抛物区 , , , 为边界作矩形, 为边界作矩形 域内的均匀随机点的频率, 域内的均匀随机点的频率,用几何概型的概率公式计算 阴影部分的面积则所求区域的面积=频率 频率× 阴影部分的面积则所求区域的面积 频率×2. ·15·
-1 0 1 x 1

计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法. 计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法 此试验可从以下几方面考虑: 此试验可从以下几方面考虑: (1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 机数的组数, 长度、角度型只用一组即可 只用一组即可; 面积型需 机数的组数,如长度、角度型只用一组即可;而面积型需 要两组随机数, 体积型需要三组随机数 需要三组随机数; 要两组随机数 体积型需要三组随机数; (2)根据试验对应的区域确定产生随机数的范围; 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围; 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围 (3)根据事件 发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件 的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的 计算结果是近似的, 需要注意的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的, 是估计值. 是估计值

·16·

1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数 1.在区间[a,b]上的均匀随机数与整数 在区间[a 值随机数的共同点都是等可能取值, 值随机数的共同点都是等可能取值,不 同点是均匀随机数可以取区间内的任意 一个实数, 一个实数,整数值随机数只取区间内的 整数. 整数. 2.利用几何概型的概率公式, 2.利用几何概型的概率公式,结合随机 利用几何概型的概率公式 模拟试验,可以解决求概率、面积、 模拟试验,可以解决求概率、面积、参 数值等一系列问题, 数值等一系列问题,体现了数学知识的 应用价值. 应用价值.

3.用随机模拟试验不规则图形的面积的 3.用随机模拟试验不规则图形的面积的 基本思想是, 基本思想是,构造一个包含这个图形的 规则图形作为参照, 规则图形作为参照,通过计算机产生某 区间内的均匀随机数, 区间内的均匀随机数,再利用两个图形 的面积之比近似等于分别落在这两个图 形区域内的均匀随机点的个数之比来解 决. 4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)+ 利用计算机和线性变换Y=X*(b 4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)+a, 可以产生任意区间[a b]上的均匀随机 [a, 可以产生任意区间[a,b]上的均匀随机 数,其操作方法要通过上机实习才能掌 握.


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