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数学专题(4)


第四讲
?

向量及其应用

陕西特级教师????????安振平 ? 高考风向标 向量的概念: 向量的基本要素,向量的表示,向量的长度,相等的向量,平行向量. 向量的运算: 向量的加减法, 数与向量的乘积, 向量的内积及各运算的坐标表示和性质. 重要定理与公式:平面向量基本定理,两个向量平行的充要条件,两个向量垂直的充要 条件,线

段的定比分点公式(特别是中点公式) ,平移公式,正弦定理,余弦定理. ? 典型题选讲 例1 已知向量 m=(1,1) ,向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m·n=-1.

3 4

(1)求向量 n; (2)若向量 n 与向量 q=(1,0)的夹角为

? 2 C ,向量 p= (cos A,2 cos ) ,其中 A、C 2 2

为△ABC 的内角,且 A、B、C 依次成等差数列. 求|n+p|的取值范围; 讲解 用向量的有关公式进行逐步翻译. (1)设 n ? ( x, y ),由m ? n ? ?1, 可得x ? y ? 1. ①

?

?? ?

m 与 n 夹角为 3 ? ,有 m · n =| m |·| n |· cos 3 ? ,
4

4

所以

? | n |? 1, 则x 2 ? y 2 ? 1.



由①②解得

? x ? ?1, ? x ? 0, 或? ?即n ? (?1,0)或n ? (0,?1). ? ?y ? 0 ? y ? ?1.

(2)由 n与q 垂直知 n ? (0,?1) , 由 2B=A+C 知 B=

? ,A+C= 2? ,0 ? A ? 2? . 3 3 3

C ? 1) ? (cos A, cosC ), 2 ? ? ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ?| n ? p |2 ? cos 2 A ? cos 2 C ? ? 2 2 1 4 1 ? ? 1 ? [cos 2 A ? cos( ? ? 2 A)] ? 1 ? cos(2 A ? ). 2 3 2 3
若 n ? (0,?1), 则n ? p ? (cos A,2 cos2

2 ? ? 5? ? 1 ?0 ? A ? ? , ? 2A ? ? ,? ?1 ? cos(2 A ? ) ? , 3 3 3 3 3 2 ? ? 2 1 5 ? 1 1 ? 5 ? 1 ? cos(2 A ? ) ? , 即 | n ? p | ? [ , ), 2 2 3 4 2 4 ? ? ? 2 5 ?| n ? p |? [ , ). 2 2 点评 在第(2)小题中,应用的三角公式较多,这似乎应当寻找联系,产生一定的条

1

件反射.如:遇到高次想将次,即公式 cos 2 ? ?

1 ? cos 2? . 2
3 sin2x),x∈R.

例 2 设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, (1)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

? ? , ],求 x; 3 3

(2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(|m|< 求实数 m、n 的值. 讲解(1)同上题,遇到高次想将次,依题设可得

? )平移后得到函数 y=f(x)的图象, 2

f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

2

? ). 6

由 1+2sin(2x+

? )=1- 3 ,得 6

sin(2x+

3 ? )=. 2 6

∵即

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? x=- . 4

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象, 即函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 ∵|m|< f(x)=2sin2(x+

? ? ,∴m=,n=1. 2 12

? )+1. 12

点评 本题是 2004 年高考试题福建卷数学试题 (理科) 17 题. 主要考查平面向量的 第 概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考查运算能力. 例 3 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问

PQ与BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.
讲解 解题思维的入手点是在“Rt△ABC 中” ,据此进行翻译 和转化.
C Q a

??? ???? ??? ???? ? ? ? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.
? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC )
P A

B

? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC

? ?a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP
? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC )

2

? ?a 2 ?

1 PQ ? BC 2

? ?a2 ? a2 cos? .
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 故当cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大,其最大值为0 .
点评 本题是 2004 年湖北高考卷第 19 题, 向量作为一种高中数学的新的知识, 是高考 的必考内容,它可能与三角函数、解析几何等知识综合,有时出现在选择题、填空题中,更 多的时候有一道解答题. 例 4 椭圆的两焦点分别为 F1 (0,?1) 、 F2 (0,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 在椭圆上,且 | PF1 | ? | PF2 |? m ? 1 ,求 值. 讲解(1)解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程.

PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |

的最大值和最小

y 2 x2 依据题意,设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则由 a b
? c ?1 ? 2 ? a ? 2, c ? 1, b ? 3 , ?a ? ?4 ?c
椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 3

? ???? 4 ? m ???? ???? ? ?| PF1 |? 2 , ? | PF1 | ? | PF2 |? 4, ? ? ?? (2)因为 P 在椭圆上,故 ? ???? ???? ? ???? ? ?| PF1 | ? | PF2 |? m, ?| PF |? 4 ? m . ? 2 ? ? 2
???? ???? ???? ???? ? ? PF1 ? PF2 ?| PF1 | ? | PF2 | cos ?F1 PF2 ???? ???? ? ???? ? ???? ???? | PF |2 ? | PF |2 ? | F F |2 ? 1 2 1 2 ???? ???? ? ?| PF1 | ? | PF2 | ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ???? ???? ? m 2 ? 8 PF1 ? PF2 ???? ???? ? ? 4 | PF1 | ? | PF2 |

1 8 ? (m ? ). 4 m ???? ???? ? ???? ? 由平面几何知识得 || PF1 | ? | PF2 ||?| F1 F2 | ,即 m ? 2 ,所以 m? [1, 2] .

3

令 f ( x) ? x ?

8 ,设 x1 , x2 ? [1, 2] 且 x1 ? x2 ,则 x
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? 8 )?0, x1 x2

所以函数 f ( x) 在 [1, 2] 上是单调递减的,从而当 m ? 1时,原式取得最大值 原式取得最小值

9 ,当 m ? 2 时 4

3 . 2

点评 本题的综合性极强,涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识,当中,应用 平面几何知识,构造函数,进而判断函数的单调性,这是问题的解答水到渠成. ???? 例 5 在△ABC 中, sinA、 sinB、 sinC 构成公差为正的等差数列, 且其周长为 12. AC 以 为 x 轴,AC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系 xoy. (1)证明存在两个定点 E、F,使得|BE|+|BF|为定长;并求出点 E、F 的坐标及点 B 的 轨迹 Γ; (2)设 P 为轨迹 Γ 上的任一点,点 M、N 分别在射线 PA、PC 上,动点 Q 满足 ???? ? ???? ???? ? ???? ??? ? PM PN PM PN ? ? PQ ? ?( ???? ? ???? )(? ? 0) ,经过点 A 且以 ???? ? ???? 为方向向量的直线与动点 Q | PM | | PN | | PM | | PN |

??? ? 的轨迹交于点 R,试问:是否存在一个定点 D,使得 | DR | 为定值?若存在,求出点 D 的
坐标;若不存在,说明理由? 讲解 (1)由 sinA、sinB、sinC 构成公差为正的等差数列,得 a+c=2b,且 a>b>c. 因 a+b+c=12,故 a+c=8,即|BC|+|BA|=8 为定值. 注意到 8>|AC|=4,且|BC|>|BA|, 故 B 的轨迹是以 A、C 为焦点,8 为长轴长,在 y 轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分. 并且存在定点 E、F,它们分别为 A、C,从而它们的坐标分别为(-2,0)(2,0) , . ???? ???? ? (2)如图所示,不妨取 | PM |?| PN |? 1 ,则以 PMN 为顶点可作出一个菱形 PMTN,于是

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ??? ? PM PN PM PN ???? ? ???? ? NM , ???? ? ???? ? PT , 且 ? ? | PM | | PN | | PM | | PN |

y S R Q M A T O C x P

? ? ? ?? ? ? ?? ,从而 PQ 为∠APC 的外角∠SPA 的平分 N M ? P T
???? ? ???? PM PN ? 线.过 A 且以 ???? ? ???? 为方向向量的直线 AS⊥ | PM | | PN |
PQ.

N

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 从而 | SC |?| PS | ? | PC |? | PA | ? | PC |? 8,于是只 ??? ? ??? ? 须取 AC 的中点为 D(O) ,即有 | DR | =4 为定值.故存在定点 D,而 | DR | 为定值.

4

点评 二次曲线的定义是历年高考常考常新的热门话题. 联系定义, 有时可以使问题的 解答非常简洁,请读者认真反思本题的思维路线,看看会有什么启发. 例 6 已知动点 P 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且 2 3

1 cos ?F1 PF2 的最小值为 ? . 9 (1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值 范围.
2 讲解 (1)由题意 c ? 5 ,设 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ( a ? 5 ) ,由余弦定理, 得

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 2a 2 ? 10 cos ?F1 PF2 ? ? ? 1. 2 | PF1 | ? | PF2 | | PF1 | ? | PF2 |

又 | PF1 | · | PF2 |? (

| PF1 | ? | PF2 | 2 ) ? a2 , 2

当且仅当 | PF1 |?| PF2 | 时, | PF1 | · | PF2 | 取最大值, 此时 cos ?F1 PF2 取最小值
2 解得 a ? 9 ,? c ?

2a 2 ? 10 2a 2 ? 10 1 ?1 ? ? , ? 1 ,令 2 2 9 a a

5 ,∴ b 2 ? 4 ,

故所求 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

(2)设 N (s, t ) , M ( x, y ) ,则由 DM ? ? DN ,可得 ( x, y ? 3) ? ? ( s, t ? 3) , 故 x ? ?s, y ? 3 ? ? (t ? 3) . ∵ M 、 N 在动点 P 的轨迹上,故

s2 t2 (?s) 2 (?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ? 1, ? ? 1且 9 4 9 4

消去 s 可得

(?t ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 t 2 13? ? 5 ? 1 ? ?2 ,解得 t ? , 4 6?

又 | t |? 2 ,∴ |

13? ? 5 1 |? 2 ,解得 ? ? ? 5 , 6? 5 1 故实数 ? 的取值范围是 [ ,5] . 5

点评 椭圆的焦点三角形是高考的又一个热点,应用余弦定理是解答三角形的必用工 具.在数学的复习过程中,逐渐形成一些有用的解题模式,对提高解题的技能是必须的,也 是很有用的.

5

例7

抛物线 y ? ?

1 2 x 的准线与 y 轴交于 A 点,过 A 作直线与抛物线交于 M、N 两 8
MN ) ? MN ? 0. 2

点,点 B 在抛物线的对称轴上,且 ( BM ?

(1)求| OB |的取值范围; (2)是否存在这样的点 B,使得△BMN 为等腰直角三角形,且∠B=90°.若存在,求出 点 B;若不存在,说明理由. 讲解 画出图形,肯定会帮助你快速找到解题的思维路线. (1)抛物线为 x2=-8y,准线为 y=2, ∴A(0,2). 设 MN 的中点为 P,? ( BM ?

MN ) ? MN ? 0, 2

∴PB 垂直平分线段 MN. 设 MN 为:y=kx+2,与 x2=-8y 联立,得 x2+8kx+16=0????????????(*) 由 ? ? 0 ? 64k ? 4 ? 16 ? 0 ? k ? 1.
2 2

又点 P 坐标为, x p ?

xM ? x N ? ?4k , y p ? ?4k 2 ? 2, 2
2

∴直线 PB 方程为: y ? 4k ? 2 ? ?

1 ( x ? 4k ) . k

令 x=0,得 y=-2-4k2<-6, ∴ | OB | 的取值范围是 (6,??) . (2)设存在满足条件的点 B(0,-2-4k2),M、N 坐标为 M(x1, kx1+2),N(x2, kx2+2) 由 KBM·KBN=-1,得

k x1 ? 2 ? 2 ? 4k 2 k x2 ? 2 ? 2 ? 4k 2 ? ? ?1, x1 x2
即 x1x2+k2x1x2+4k(1+k2)(x1+x2)+16(1+k2)2=0, 由(1)中(*)式,韦达定理,代入上式得 16(1+k2)+16(1+k2)2+4k(-8k)(1+k2)=0 解得, k ? 2,? k ? ? 2 .
2

故知点 B(0,-10)为所求. 点评 对于抛物线的试题,考试中出现的较多的是 y ? 2 px( p ? 0) 型.
2

例 8 如图,已知三角形 PAQ 顶点 P(-3,0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,

PA ? AQ ? 0, QM ? 2 AQ.
(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程;

6

(2)设直线 l : y ? k ( x ? 1) 与轨迹 E 交于 B、C 两点,点 D(1,0) ,若∠BDC 为钝 角,求 k 的取值范围.

讲解 (1) 设OM ? ( x, y ), OA ? (0, a)( a ? 0), OQ ? (b,0)(b ? 0)

则PA ? (3, a), AQ ? (b,?a), 又PA ? AQ ? 0,? a 2 ? 3b
又 ? QM ? ( x ? b, y ), AQ ? (b,?a), QM ? 2 AQ
由①② ?

① ②

? x ? 3b ?? ? y ? ?2a

y 2 ? 4 x( x ? 0)

(2) 设OB ? ( x1 , y1 ), OC ? ( x2 , y2 ), DB ? ( x1 ? 1, y1 ), DC ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

??? ???? ??? ? ? ???? DB ? DC ?| DB | ? | DC | ? cos ?BDC .

??? ???? ? ??? ???? ? DB DC ? ??? ???? ? ?B D 为钝角, ? c o s B D C ? C ? ? ? 0 ,? D B D C0 ? , ? |D B ? |D C| ? |
? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y 2 ? 0

? y 2 ? 4x 由? 消去y得k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0(k ? 0) ,则 ? y ? k ( x ? 1)

4 ? 2k 2 , x1 x2 ? 1 . k2 y1y2=k(x1+1)·k(x2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1] x1 ? x2 ?
将④⑤代入③得 k 2 ?



1 2 2 ?? ?k? , 此时? ? 0 . 2 2 2
2 2 . , 0) ? (0, ) 2 2

因为k ? 0, 所以k的范围是(?

点评 解答范围问题的关键在于建立不等关系, 这常需要由等式导出不等式, 一般用到 判别式、2 元均值不等式、三角函数的有界性等等. ? 针对性演练 1. 条件甲: “四边形 ABCD 是平行四边形”是条件乙: AB ? DC ”成立的( ) “ A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
7

??? ?

????

2.

若向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4, (a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,则向量 a 的模为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
?

? ?

?

?

?

?

?

?



3.

已知平面上直线 l 的方向向量 e ? (? 和 A1,则 O1 A1 = ? e ,其中 ? =( A.

?

4 3 , ) ,点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O1 5 5
) C.2 D.-2

?

11 5

B.-

11 5

4.

下列条件中,不能确定三点 A、B、P 共线的是 ( ) ???? ???? ???? ???? ???? ???? A. MP ? sin 2 330 MA ? cos2 330 MB B. MP ? sec2 330 MA ? tan 2 330 MB

???? ???? ???? C. MP ? csc2 330 MA ? cot 2 330 MB
5.

???? ???? ???? D. MP ? sin 2 330 MA ? cos2 570 MB

在直角坐标系中, 是原点,OQ =(-2+cosθ ,-2+sinθ ) (θ ∈R), O 动点 P 在直线 x=3 上运动,若从动点 P 向 Q 点的轨迹引切线,则所引切线长的最小值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 2 6 D.

26

6.

向量 a =(cos23°, cos67°) b =(cos68°,cos22°) u = a +t b =(t∈R) , , (1)求 a · b 之值; (2)求| u |最小值.

7.

已知向量 a ? (cos

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ]. 2 2 2 2 2

(1)求 a ? b及 | a ? b | . (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值为 ? 8.

3 , 求? 的值. 2

1 已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2 (1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF ,求直 线 l 的斜率.

9. 椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c,0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴 相交于点 A, | OF |? 2 | FA | ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。 (1) 求椭圆的方程及离心率;

(2) 若 OP.OQ ? 0, 求直线 PQ 的方程. 10. 如图,在直角坐标系中,点 A(-1,0) ,B(1,0) ,P(x,y) (y≠0). 设 AP 、

8

OP 、 BP 与 x 轴正方向的夹角分别为 ? 、 ? 、 ? ,若 ? ? ? ? ? ? ? ,
(1)求点 P 的轨迹 G 的方程; (2)设过点 C(0,-1)的直线 l 与轨迹 G 交于不同两点 M、N. 问在 x 轴上是否存在 一点 E ( x 0 ,0) ,使△MNE 为正三方形. 若存在求出 x 0 值;若不存在说明理由.

参考答案 1.A. 2. C. 3. D. 4.D. 5. C. 6. (1) a ? b ?

? 2 2 2 ; (2) | u |? t ? 2t ? 1 ? . 2 2

7. (1) a ? b ? cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x sin ? cos 2 x . 2 2 2 2

? ? 3 x 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos 2 x , 2 2 2 2 ? ? ? ? x ? [0, ] ? cos ? 0 则 | a ? b |? 2 cos x. 2
(2) f ( x) ? cos 2 x ? 2? cos x ? 2(cos x ? ? ) 2 ? 1 ? 2? 2 ,由x ?[0, ],所以0 ? cos x ? 1.

?

2

当λ <0 时,当且仅当 cosx=0 时,f(x)取最小值-1,与已知矛盾. 当 0≤λ ≤1 时,当且仅当 cosx=λ 时,f(x)取最小值-1-2λ 2,由已知得:-1-2λ 2= -

3 1 ,解得:λ = . 2 2
当 λ >1 时 , 当 且 仅 当 cosx=1 时 , f(x) 取 得 最 小 值 1 - 4 λ , 由 已 知 得 :

3 5 1 ? 4? ? ? , ? ? , 与? ? 1 矛盾. 2 8 1 综上所述:λ = 为所求. 2
x2 y2 ? ? 1; 8. (1) (2) k ? ?2 6 或 0. 4m 2 3m 2
9. (1)依据题意可设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 2). a 2 b2
9

由已知得

? a 2 ? c 2 ? 2, ? ? a2 ?c ? 2( ? c). c ?
解得

a ? 6, c ? 2.

所以椭圆的方程为

x2 y2 6 . ? ? 1 ,离心率 e ? 3 6 2

(2) 由(1)可得 A(3, 0). 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 3). 由方程组

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 ?6 ? y ? k ( x ? 3) ?


(3k 2 ? 1) x 2 ? 18k 2 x ? 27k 2 ? 6 ? 0.
2

依题意 ? ? 12(2 ? 3k ) ? 0, 得 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 则

?

6 6 ?k? . 3 3

x1 ? x2 ?

18k 2 , 3k 2 ? 1



x1.x2 ?
由直线 PQ 的方程得

27 k 2 ? 6 . 3k 2 ? 1



y1 ? k ( x1 ? 3), y2 ? k ( x2 ? 3). 于是


y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9].

??? ???? ? ? OP.OQ ? 0,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.
由①②③④得



5k 2 ? 1, 从而

k ??

5 6 6 ? (? , ). 5 3 3

所以直线 PQ 的方程为

x ? 5 y ? 3 ? 0 或 x ? 5 y ? 3 ? 0.

时 ? 10. (1)由已知 x ? 0,当x ? 1 ,?? ? ? ? ? ? ? ,? tan( ? ? ) ? ? tan ?

? tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? .
10

?

y y y y y y ? ? ? ? ? x ?1 x x ?1 x ?1 x x ?1


? 3x 2 ? y 2 ? 1, ( y ? 0)
当 x=1 时, P(1,? 2 ) 也满足方程①.

故所求轨迹 G 方程为 3x ? y ? 1( y ? 0, x ? 0) .
2 2

(2)假设存在点 E ( x 0 ,0) ,使△MNE 为正△,设直线 l 方程: y ? kx ? 1 代入方程

3x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) ,得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 .
? ?? ? 4k 2 ? 8(3 ? k 2 ) ? 0, ? ? ?2k ? 0, ? 3?k? 6. ? 3? k2 ? ? ?2 ? 3 ? k 2 ? 0, ?
所以, MN中点F (

?k ?3 , ). 2 3? k 3? k2
4k 2 8 ? . 2 2 (3 ? k ) 3 ? k 2

| MN |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

l EF : y ?
?| EF |?

?3 1 ?k ? ? (x ? ). 2 k 3?k 3?k2
9k 2 9 ? . 2 2 (3 ? k ) (3 ? k 2 ) 2

E(

? 4k ,0) . 3? k2

在正 ?EMN中,

3 | MN |?| EF | . 2
4k 2 8 3 ? ? 2 1? k 2 . 2 2 2 (3 ? k ) 3?k k ?3

?

3 1? k 2 2

?[

4k 2 8 ? ]( k 2 ? 3) 2 ? 12 . 2 2 2 (3 ? k ) 3?k

? k 2 ? 3与 3 ? k ? 6 矛盾.
故不存在这样的点 E ( x 0 ,0) 使△MNE 为正三角形.

11


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