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共轭复数的多项式性质


共轭复数的多项式性质
时贞军 张祖华

平阴县职业教育中心

山东平阴 250400

曲阜师范大学运筹与管理学院

山东日照 276826

摘要:本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词:复数 共轭复数 多项式。

据百度百科介绍,共轭复数,两个实

部相等,虚部互为相反 数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零 时,共轭复数就是实部相等,虚部相反,如果虚部为零,其共轭复数 就是自身。 (当虚部不等于 0 时也叫共轭虚数)复数 z 的共轭复数记 作 zˊ。同时, 复数 zˊ称为复数 z 的复共轭(complex conjugate). 根据定义,若 z=a+bi(a,b∈R),则 zˊ=a-bi(a,b∈R)。 共轭复数所对应的点关于实轴对称(详见附图) 。两个复数:x+yi 与 x-yi 称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上. 表示两个共轭复数的点关于 X 轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来 源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就 叫做"轭".如果用 Z 表示 X+Yi,那么在 Z 字上面加个"一"就表示 X-Yi, 或相反.

共 轭 复 数 有 些 有 趣 的 性 质 : ︱ x+yi ︱ = ︱ x-yi ︱ (x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2= ︱ x+yi ︱ ^2= ︱ x-yi ︱ ^2 另外还有一些四 则运算性质. 2 代数特征 编辑 (1)|z|=|z′|; (2)z+z′=2a

(实数) ,z-z′=2bi; (3)z· z′=|z|^2=a^2+b^2(实数) ; 加法法则 复数的加法法则: 设 z1=a+bi,z2=c+di 是任意两 个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两 个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi) ±(c+di)=(a± c)+(b±d)i. 减法法则 两个复数的差为实数之差加上虚数之差(乘以 i) 即:z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则 复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多

项式相乘,结果中 i^2 = -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的 积仍然是一个复数。 即: z1z2= (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac -bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的

复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商运算方法:将分 子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算。 即: 开方 法则 若 z^n=r(cos θ +isin θ ) , 则 z=n √ r[cos(2k π + θ ) z=x+iy

/n+isin(2kπ +θ )/n](k=0,1,2,3……n-1) 共轭法则

的 共 轭 , 标 注 为 z* 就 是 共 轭 数 z*=x-iy 即 : zz*= (x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即, 当一个复数乘以他的共 轭数,结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对

3 运算特征 (1) (z1+z2)′=z1′+z2′ (2) (z1-z2)′=z1′ -z2′ (3) (z1· z2)′=z1′· z2′ (4) (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2 ≠0) 总结:和(差、积、商)的共轭等于共轭的和(差、积、商) 。 4 模的运算性质 编辑 ① | z1·z2| = |z1|·|z2| ② ③

┃| z1|-| z2|┃≤| z1+z2|≤| z1|+| z2| 由 3 运算特征的总结:和(差、积、商)的共轭等于共轭的 和(差、积、商)本文推断乘方的共轭等于共轭的乘方。 从而,有如下定理: 多项式(实系数或复系数)的共轭等于共轭的多项式。

【参考文献】 百度搜索。


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