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天津市实验中学数学特级教师王连笑平面向量综合题


平面向量 综合题

平面向量作为一种带有方向的线段,反映了几何特征,它的 坐标形式又具有代数特征,平面向量的各种运算既有几何意义, 又有代数意义,因此,以平面向量为工具,可以沟通代数,几何 的许多分支,建立起平面向量与代数,几何的多元联系. 是数形 结合的典范,例如,同样是数形结合的解析几何,用形表示数的 函数图象,三角函数,不等式等都可以与平面向量联系在一

起, 由于向量具有一套优良的运算体系,运用向量可以将几何问题坐 标化,数量化,又可以将代数问题图形化,因此平面向量在解题 中起着越来越大的作用,也成为高考数学综合题命制的基本素材 和主要背景。对平面向量的复习,首先要深刻理解平面向量的基 本概念,基本运算和基本性质,在此基础上,加强平面向量与其 它知识的综合应用。

几何表示 表 示 字母表示 坐标表示 向量的加法 与减法 平面向量 运 算 实数与向量 的积 向量的数量 积 定比分点 应 用 平移 正余弦定理 三角形法则 平行四边形 法则 运算律 向量的基本 定理 向量的共线 模 垂直 夹角

向量的数量积与实数的积的相同点: 实数的乘积 运算的结果是一个实数 交换律 a ? b ? b ? a 分配律 (a ? b) ? c ? ac ? bc
(a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b)( a ? b) ? a 2 ? b 2

向量的数量积 运算的结果是一个实数 ? ? ? ? a ?b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ( a ? b ) ? a ? 2a ? b ? b
? ? ? ? ?2 ?2 (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? ?2 ?2 ? a ?b ? 0 ? a ? 0 且b ? 0 ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b

a2 ? b2 ? 0 ? a ? 0 且 b ? 0
a ? b ? a?b ? a ? b

向量的数量积与实数的积的不同点: 实数的乘积 结合律 (ab)c ? a(bc)
ab ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0
ab ? a b

向量的数量积 ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 或 a ? b ? ? ? ? a ?b ? a b
? ? 2 ?2 ?2 (a ? b ) ? a b

(ab) ? a b
2 2

2

? ? ②代数不等式:由 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,可得 ? ? ? ? 2 2 a ? b ? a ? b 即 ( x1 x2 ? y1 y 2 ) 2 ? ( x12 ? y12 )( x2 ? y 2 ) 。

一.平面向量自身的综合题 【例 1】给出关于平面向量的四个命题: ? ? ? ? ? ? ? ① a 是非零向量,且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c . ? ? ? ? ② a ?b ? a ? b . ? ? ? ? ? ? ? ? ③ a, b 是非零向量,且 a ? b ,则 a ? b ? a ? b . ? ? ④ a, b 是任意两个不共线的非零向量,存在实数 ?1 , ?2 ,使 ? ? ? 2 ?1a ? ?2b ? 0, 则 ?12 ? ?2 ? 0. 以上命题只有两个是正确的,它们是( ). ?B ? ① ② ?C ? ① ③ (A)③ ④

?D ? ②



【分析及解】
? 1 ? ? ①不正确,可举反例,如 a ? (1,0) , b ? (1,1) , c ? (1, ) ,此 2 ? ? ? ? ? ? 时有 a ? b ? a ? c ? 1,但 b ? c . ? ? ? ? ? ? ②不正确,应为 a ? b ? a b cos? ? a b . ? ?2 ? ? ? ? ? ?2 ③正确,由 a ? b 得 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? a ? b ? a 2 ? b 2 . ? ? ? 2 ④正确,由 ?1a ? ?2b ? 0 ,必有 ?1 ? ?2 ? 0 ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . 2 故选(A).

??? ? ??? ? ? ? 【例 2】在 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 ???? ??? ? AD ? ? AB ,则实数 ? 等于( ). ? ? ? ? ? ? a? b ?a a? a ?b (A) (B) ? ?2 ? ?2 a ?b a ?b ? ? ? ? ? ? a? b ?a a? a ?b (C) (D) ? ? ? ? a ?b a ?b

?

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?

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?

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??? ? ??? ? 【分析及解】因为 AD ? ? AB ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ,所以 OD ? OA ? ? OB ? OA , ??? ? ??? ? ??? ? ? ? OD ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB ? ?1 ? ? ? a ? ? b , ??? ??? ? ? 又因为 OD 是 AB 边上的高,则 OD ? AB ? 0, ??? ? ??? ??? ? ? OD ? OB ? OA ? 0, 即 ? ? ? ? 所以 ??1 ? ? ? a ? ? b ? ? b ? a ? 0, ? ? ? ? 2 ? ? ? 整理可得 ? b ?a ? a? a ?b , ? ? ? a? a ?b . 故选(B). 即? ? ? ?2 a ?b

?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

【例 3】在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4), ???? 若点 C 在∠AOB 的平分线上且 OC ? 2 ,则 OC =

【分析及解】由已知得 ??? ? ??? ? ? ? OA ??? ? ? 0,1? ? ?3, 4 ? ? ? ??? ? OB ? ? ? ? ? OC ? ? ? ? ??? ? ? ? OA ? 1 5 ? OB ? ? ?
? 3 4 ? ? 3 9 ? ? ? 0, ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , ? ? . ? 5 5 ? ? 5 5 ?
??? 2 ? 9 2 81 2 90 2 10 4 ? OC ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 25 25 25 3 10
??? ? ? 10 3 10 ? , 所以 OC ? ? ? ? ? 5 5 ? ? ?

10 3

【例 4】设 O 为 ?ABC 所在平面上任一点,且满足 ??? ???? ??? ???? ? ? ??? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0,

?

??

?

则 ?ABC 的形状为( (A)等腰三角形 (C) 直角三角形

). (B) 正三角形 (D) 以上都不对

【分析及解】设 ?ABC 中 BC 边上的中线为 AD ,则已知等式 化为 ??? ??? ???? ??? ???? ? ? ? CB ? AB ? AC ? CB ? 2 AD ? 0,

?

?

所以, AD ? BC , 即 BC 边上的中线为 AD 也为 BC 边上的高线,因此, ?ABC 为 等腰三角形.故选(A)

? ? ? ? ? 【例 5】已知向量 a ? ?1,3? , b ? ?1,1? , c ? a ? ?b , 是 ? ? 否存在实数 ? ,使 a 与 c 的夹角是锐角,若存在,求出 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由.

? ? 【分析及解】假设存在实数 ? ,使 a 与 c 的夹角是锐角, ? ? ? ? 则 cos? ? 0 ,且 cos ? ? 1 ,即 a ? c ? 0, 且 a 与 c 不共线. ? ? ? c ? a ? ?b ? ?1 ? ? , 3 ? ? ? ,
? ? 5 a ? c ? ?1,3? ? ?1 ? ? ,3 ? ? ? ? 1 ? ? ? 9 ? 3? ? 10 ? 4? ? 0, ? ? ? . 2 ? ? ? ? ? ? 当 a 与 c 共线时,有 a ? c ? a ? c ,



10 ? 4? ? 10 ?

?1 ? ? ?

2

? ? 3 ? ? ? ,解得
2

? ? 0.

? 5 ? 所以, ? 的取值范围是 ? ? , 0 ? ? ? 0, ?? ? . ? 2 ?

【例 6】在平面四边形 ABCD 中, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d , 且 a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a. (Ⅰ) 判定四边形 ABCD 的形状; ? 1 ? ? ? (Ⅱ) 当 a ? b ? 2, b ? a 时,求四边形 ABCD 的面积. 3

? ? ? ? ? 【分析及解】 (Ⅰ) 在平面四边形 ABCD 中,有 a ? b ? c ? d ? 0, ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 则有 a ? b ? ? c ? d , a ?b ? c ?d , ?2 ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? a ? b ? 2a ? b ? c ? d ? 2c ? d , 所以 ? ? ? ? a ?b ? c ? d, 由已知 ?2 ?2 ?2 ?2 a ?b ? c ?d , 所以 ① ? ? 2 ? ? 2 又由 b ?c ? a ?d , ? ? ? ? b ? c ? d ? a. 由已知 ?2 ?2 ?2 ?2 b ?c ? a ?d , 所以 ② ?2 ?2 ? ? c 2 ? a2, b ? d , ① ? ②得 即 AB ? CD, BC ? DA 于是,四边形 ABCD 为平行四边形.

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ? 此时有 a ? ?c , ? ? ? ? ? ? ? ? 由已知有 a ? b ? 0, a ? b ? b ? c ? ?a ? b , 即 于是 AB ? BC, 由此得, 平行四边形 ABCD 是矩形. ? ? ? 1 ? (Ⅱ) 设 b ? x ,由 b ? a 得 a ? 3x , 3 ? ? 2 2 再由 a ? b ? 2 得, x 2 ? ? 3x ? ? 22 ? 4, x 2 ? , 5 6 ? ? 于是, S ABCD ? a ? b ? 3x 2 ? 。 5

【例 7】已知 O、A、B、C 是不共线的四点,若存在一组 正实数 ? 1, ? 2, ? 3,使 ? 1 OA + ? 2 OB + ? 3 OC = 0 ,则三 个角∠AOB,∠BOC,∠COA 中 ( ) (A)都是锐角 (B)至多有两个钝角 (C)恰有两个钝角 (D)至少有两个钝角
? ?? ? ?? ? ??

?

【分析及解】由( ?

? ??

1

OA + ?
? ??

? ??

2

OB + ?

3

??? 2 ? OC )· = ? 1 OA + OA
? ?? ? ??

?

? ??

??? 2 ? ∵ ? 1 , ? 2 , ? 3 都为正实数, OA >0,
OA OA OA ∴ OB · 和 OC · 至少有一个为负值, 不妨设 OB · <
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2

OB · + ? OA

? ??

? ??

3

OC · = 0, OA

OA 0, OC · >0, OC OC 则由( ? 1 OA + ? 2 OB + ? 3 OC )· = 0,得 ? 1 OA · + ? ?? ? ?? ???? 2 ??? ??? ? ? OC OC ? 2 OB · + ? 3 OC = 0,显然, OB · <0, ∴∠AOB,∠BOC,∠COA 中至少有两个钝角,故应选 D.
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

【例 8】是否存在 4 个平面向量,它们两两不共线,其中 任何两个向量之和与其余两个向量之和垂直.

【分析及解】存在. 例如,在正 ?ABC 中, O 为其内心, P 为其内切圆上任一点,且 P 不 为 OA, OB, OC 与 内 切 圆 的 交 点 也 不 为 切 点 , 则 向 量 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? PA, PB, PC , PO ,它们两两不共线,且满足 A 题目的要求. 证明如下: ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA ? PB ? PC ? PO O ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? P ? PO ? OA ? PO ? OB ? PO ? OC ? POB C ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 PO ? OA ? OB ? 2 PO ? OC ??? 2 ??? 2 ? ? ? 4 PO ? OC , ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ? ? 1 ??? 由 PO ? r ? OC 得 4 PO ? OC ? 0, 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA ? PB ? PC ? PO 于是, PA ? PB ? PC ? PO ? 0, 即

?

? ?

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?

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?

二.平面向量与不等式的综合题 【例 1】 (2006 年辽宁卷) 设 O(0,0) , A(1,0) , B(0,1) , 点 P 是 线 段 AB 上 的 一 个 动 ??? ? ??? ? ??? ??? ??????? ? ? ? 点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ? 的取值范围是 2 1 (A) ? ? ? 1 (B) 1 ? ? ? ?1 2 2 1 2 2 2 ? ? ? 1? (C) ? ? ? 1 ? (D) 1 ? 2 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【分析及解】 AP ? ? AB ? OP ? (1 ? ? )OA ? ? OB ? (1 ? ? , ? ), ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? PB ? AB ? AP ? (1 ? ? ) AB ? (? ? 1,1 ? ? ), ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? (?? , ? ) ??? ??? ??????? ? ? ? OP ? AB ? PA ?PB ? (1 ? ? , ? )(?1,1) ? (? , ?? )(? ? 1,1 ? ? )

? 2? 2 ? 4 ? ? 1 ? 0

2 2 ? ? ? 1? 解得: 1 ? , 2 2 因点 P 是线段 AB 上的一个动点,所以 0 ? ? ? 1 ,即满足条件

2 的实数 ? 的取值范围是 1 ? ? ? ? 1 ,故选择答案 B. 2

【例 2】( 2006 年湖南卷) 如图, OM // AB , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内 (不 含边界)运动, 且 OP ? xOA ? yOB , 则 x 的取值范围是 ; 1 当 x ? ? 时, y 的取值范围是 2
M

P

B

O

图2

A

【分析及解】 如图, OM // AB , 点 P 在 由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围 成的区域内 (不含边界)运动, 且
OP ? xOA ? yOB , 由向量加法的平行四边

形法则,OP 为平行四边形的对角线,该四 边形应是以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻 边,∴ x 的取值范围是(-∞,0); 1 当 x ? ? 时,要使 P 点落在指定区域内,即 P 点应落在 DE 2 3 1 1 3 上,CD= OB,CE= OB,∴ y 的取值范围是( , ). 2 2 2 2

【例 3】 (2005 年,浙江卷,理 10) ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ≠ e , e |=1, | 对任意 t ? R ,恒有 | a -t e |≥| a - e |, 则( ). ? ? ? ? ? (A) a ⊥ e (B) a ⊥( a - e ) ? ? ? ? ? ? ? (C) e ⊥( a - e ) (D) ( a + e )⊥( a - e )

【分析及解】 由题设有 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 2 ?2 a ? 2te ? a ? t e ? a ? 2e ? a ? e , ? ? ? ? ?2 2 即 t ? 2e ? at ? 2e ? a ? e ? 0 , 因为该不等式对任意 t ? R 恒成立,则 ? ? 2 ? ? ? ? ? 4 ? e ? a ? ? 8e ? a ? 4e 2 ? 0, ? ? 2 因而 ? e ? a ? 1? ? 0. ? ? ?2 于是 e ?a ?e ? 0 ? ? ? ? ? ? e ? ? a ? e ? ? 0, e ? ? a ? e ? .故选(C). 所以

【例 4】已知向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?cos ? , sin ? ? ,并且满 足关系: k a ? b ? 3 a ? k b ?k ? 0? ,则 ? a, b ? 的最大值为 ( ) ? (A) 6

? (B) 3

5? (C) 6

2? (D) 3

【分析及解】 ∵ ∴ 故 ∵ ∴

k a ? b ? 3 a ? k b ?k ? 0?, a ? b ? 1
1? k 2 k a ? b ? 3 a ? kb ? a ? b ? ? 0?k ? 0? 4k 1? k 2 1 cos ? a, b ?? ? 4k 2 0 ?? a, b ? ? ? ? ? ? ? a, b ?max ? . 3
2 2

?

? ?

?

. 【例 5】 (2005 年,湖北卷) 已知向量 a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 .

【分析及解】 ? ? a ? b ? ? 3, 2 ? k ? ,由题意, ? ?2 2 2 2 a ? b ? 3 ? ? 2 ? k ? ? 13 ? 4k ? k ? 25,
k 2 ? 4k ? 12 ? 0, ?6 ? k ? 2. 则 k 的取值范围是 ? ?6, 2?

【例 6】(2005 年,江苏卷) 在 ΔABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2, ??? ??? ???? ? ? 则 OA ? (OB ? OC ) 的最小值为______.

【分析及解】因为 AM 是 ? ABC 的中线,O 为中线 AM 上的 ???? 1 ??? ???? ? ? 一个动点,则 OM ? OB ? OC , ???? ???? ? ??? ??? ????2 ??? ???? ? ? ? ? y ? OA ? (OB ? OC ) ? 2OA ? OM ? ?2AO ? OM 即 ??? ? ???? ? ??? ???? ? ? 由 OA 与 OM 共线可设 OA ? x 则 OM ? AM ? OA ? 2 ? x 。

?

?

y ? ?2 x ? 2 ? x ? ? 2 x ? 4 x ? 2 ? x ? 1? ? 2 , ??? ??? ???? ? ? 所以 OA ? (OB ? OC ) 的最小值为 ?2

于是

2

2

所有等差数列 ?an ? ,试求 S ? an?1 ? an? 2 ? an?3 ? ? ? a2n?1 的最大值. 【分析及解】由等差数列的求和公式得 ? an?1 ? a2 n?1 ? ? n ? 1? S? , 2 ? 3an?1 ? a1 ? ? n ? 1? 又因为 a1 ? a2 n?1 ? 2an?1 ,则有 S ? . 2 ? ? ? ? ? ? a ? ? 3, ?1? , b ? ? an ?1 , a1 ? . 由 a ? b ? a ? b 得 设

2 【例 7】 给定正整数 n 和正数 M ,对满足条件 a12 ? an ?1 ? M 的

n ?1 n ?1 2 n ?1 2 3an?1 ? a1 ? 3 ? 1 an?1 ? a12 ? 10M . 2 2 2 2 当 3an?1 ? a1 ? 0,3a1 ? ?an?1 ,且 a12 ? an ?1 ? M 时,上式的两个等 n ?1 10M . 号同时成立,此时, S 的最大值为 2

??? ? ??? ? ???? 【例 8】已知 O 为坐标原点, OA ? ? 2,1? , OB ? ?1, 7 ? , OC ? ? 5,1? , ???? ??? ? ??? ???? ? OD ? xOA, y ? DB ? DC , x, y ? R.

(Ⅰ)求 y ? f ? x ? 的解析式; (Ⅱ)若点 P ? x, y ? 在曲线 y ? f ? x ? 上运动,求
y 在 1 ? x ? 2 时的 x

最小值; ? y ? f ? x ? 的图象按向量 a ? ? ?2,8 ? 平移得到曲线 C1 ,, (Ⅲ)把 过坐标原点 O 作 OM , ON 交 C1 于 M , N 两点,直线 MN 交 y 轴于点
Q ? 0, y0 ? ,当 ?MON 为锐角时,求 y0 的取值范围.

??? ? ??? ? 【分析及解】(Ⅰ)由已知得 OD ? xOA ? ? 2 x, x ? , ??? ? ??? ??? ? ? DB ? OB ? OD ? ?1 ? 2 x, 7 ? x ? , ???? ??? ??? ? ? DC ? OC ? OD ? ? 5 ? 2 x,1 ? x ? , ??? ???? ? y ? DB ? DC ? ?1 ? 2 x ?? 5 ? 2 x ? ? ? 7 ? x ??1 ? x ? ? 5 x 2 ? 20 x ? 12,

? x ? R?

(Ⅱ) 因为 1 ? x ? 2 ,则 y 12 12 ? 5x ? ? 20 ? 2 5 x ? ? 20 ? 4 15 ? 20. x x x 当且仅当 5 x ?
12 ,x ? x 12 y ? ?1, 2? 时, 有最小值 4 15 ? 20. 5 x

? (Ⅲ)由 a ? ? ?2, 8 ? ,得
y ? 8 ? 5 ? x ? 2 ? ? 20 ? x ? 2 ? ? 12,
2

y ? 5x2 . 整理得 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ?

如果 M , Q, N 共线,则有 k MQ ? k MN , 即
y1 ? y0 y ? y1 ? 2 , x1 ? 0 x2 ? x1
2 2 2 5 x1 ? y0 5 x2 ? 5 x1 ? , x1 x2 ? x1 2 5 x1 ? y0 ? 5 ? x2 ? x1 ? , x1 y0 ? ?5 x1 x2 . 解得 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 因为 OM , ON 不共线,且 ?MON 为锐角,则 OM ? ON ? 0, y 2 2 2 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ? x1 x2 ? 25 x1 x2 ? 0, ? ? 0 ? y0 ? 0, 5

解得 y0 ? 0 ,或 y0 ?

1 ?1 ? , 于是, y0 的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? , ?? ? 5 ?5 ?

? 【例 9】在平面直角坐标系中,向量 a ? ? 0,1? , ?OFP 的面积

???? ??? ? ???? ? ? 3 ??? ? OP ? a. 为 2 3, 且 OF ? FP ? t , OM ? 3 ??? ? ??? ? (Ⅰ) 设 4 ? t ? 4 3, 求向量 OF 和 FP 的夹角 ? 的取值范围; (Ⅱ) 设以原点 O 为中心,对称轴为坐标轴,以点 F 为右焦点 ???? ??? ? 2 的椭圆过点 M , 且 OF ? c, t ? 3 ? 1 c , 当 OP 取最小值时,求椭

?

?

圆的方程.

【分析及解】
? ? 1 ??? ??? (Ⅰ)由 S?OFP ? 2 3 ? OF ? FP ? sin ? , 得 2 ??? ??? ? ? 4 3 OF ? FP ? , sin ? ??? ??? ? ? 4 3 OF ? FP t sin ? , 由 cos ? ? ??? ??? ? ,得 t ? ? ? tan ? 4 3 OF ? FP

因为

4 ? t ? 4 3, 所以 4 ?

?? ? ? 又 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? ? , ? . ?4 3?

4 3 ? 4 3,?1 ? tan ? ? 3, tan ?

(Ⅱ)设 P ? x0 , y0 ? ,不妨设 x0 ? 0, y0 ? 0, 由(Ⅰ)知,直线 PF 的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 又
S ?OFP ? 2 3?

4 3 ? t

?

4 3

3 ?1 c

?

2

,



1 4 3 cy0 ,? y0 ? , 2 c 4 3 ?0 y0 ? 0 4 3 c tan ? ? ? ? ,? x0 ? 2 x0 ? c x0 ? c 3 ?1 c

?

?

3c,

?4 3? 4 3 于是 3c ?? ? 24. ? ? 2 3c ? ? c ? c ? ? ??? ? ??? ? 4 3 , 即 c ? 2 时, OP 取得最小 即 OP ? 2 6. 当且仅当 3c ? c ??? ? 值 2 6. 此时, OP ? 2 3, 2 3 . ??? 2 ? 2 2 OP ? x0 ? y0 ?

?

?

2

2

?

???? ? 因此, OM ?

? 3 ??? ? OP ? a ? 3, 2 3 ? ? 0,1? ? ? 2, 3 ? . 3 x2 y2 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 左焦点为 F1 ,则有 a b

? 3 ?2 3
2

?

MF ? MF ? 2a ? 1
于是, a
2

? 2 ? 2?
2 2

? ? 3 ? 0?

2

?

? 2 ? 2?

2

? ?3 ? 0?

2

? 8,

? 16, b

2

? a ?c

x2 y2 ? 12, 故椭圆方程为 ? ? 1. 16 12

三.平面向量与函数的综合题 【例 1】 OA ? ( x, a ? x) ,OB ? (x,2) ,x ? [1,2) , OA ? OB , 设 且 1 关于函数 f (x) ? log a x ? 1 有下列结论: a ①在 [1,2) 上是增函数 ②在 [1,2) 上是减函数; ③有最大值 ? 1 ? log 2 (2 ? a) ; ④有最小值 ? 1 ? log 2 (1 ? a) . 其中正确结论的个数是( ) . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【分析及解】 (B) .由 OA ? OB 知, OA ? OB ? 0 , 即x
2

? 2 x ? 2a ? 0 .

? x 2 ? 2x a? , x ? [1,2) 2

? x 2 ? 2x 1 由于函数 在 [1,2) 上是减函数,则 a ? (0, ] . 2 2 1 1 1 1 由于 0< a ? 及 ? 2 可知 x ? [1,2) 时, x ? 1 >0 且 x ? 1 2 a a a 1 1 为增函数, 所以 f (x) ? log a x ? 1 ? log a ( x ? 1) 为 [1,2) 上的减函 a a 数,从而①不正确,②正确. 此时在 x ? 1时, f (x) 有最大值 1 f (1) ? log a ( ? 1) ? ?1 ? log a (1 ? a) . a 由于 x ? 2 时, f (x) 无定义,则 f (x) 没有最小值,从而③正 确,④不正确.

【例 2】设 G 为 ?ABC 的重心,过 G 的直线 l 分别 ??? ? ??? ???? ? ??? ? 交 AB,AC 于 P, Q ,已知: AP ? ? AB, AQ ? ? AC , ?ABC 和 ?APQ 的面积分别为 S, T , 1 1 (Ⅰ) 求证: ? ? 3 ;

?

?

(Ⅱ) 求

T 的取值范围. S

【分析及解】 (Ⅰ)连结 AG 并延长交 BC 于 M,则 M 是 BC 的 1 1 中点,设 AB ? b, AC ? c ,则 AM ? ( AB ? AC ) ? (b ? c) , 2 2 2 1 ① AG ? AM ? (b ? c) 3 3? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? 又 AP ? ? AB ? ? b, AQ ? ? ? AC ? ? ? c , ②
? PQ ? AQ ? AP ? u c ? ? b , 1 1 1 PG ? AG ? AP ? (b ? c) ? ? b ? ( ? ? )b ? c 3 3 3 ? P, G, Q 三点共线,故存在实数 t ,使 PG ? t PQ , ? 1? ? ? 1 ? ( ? ? )b ? c ? t ? c ? t ? b 3 3 ?1 ? 3 ? ? ? ?t ? ? 1 1 ? ?? ? ?3. ,消 t 得: 1 ? 3? ? ? ,即 ? ? ? ?1 ? t? ?3 ?

? ? ? 1 ??? ? 1 ??? 解法 2.由②式得 b ? AP, c ? AQ ,

?

?



???? ? ? 1 ??? 1 ??? 将③代入①得 AG ? AP ? AQ . 3? 3? 1 1 ? ? 1, ? P, G, Q 三点共线,故 3? 3? 1 1 即 ? ?3.

?

?

(Ⅱ) ?PAQ ? ?BAC ,?

T | AP | ? | AQ | ? ? ?u , S | AB | ? | AC |

其中 0 ? ? ? 1,0 ? u ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3 ? , ? 1 ,? 0 ? ? 2 即 ? ? ,? ? ? ? 1 ? u u 2 ? 2 1 即 1? ? 2,

?

T ?2 1 1 ? ? ? 1 3 9 S 3? ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ?( ? ) 2 ? ? ? 2 4 ?2 1 3 1 3 9 1 1 3 其中 ? 时,? 2 ? 有最大值 , ? 1或2 时,? 2 ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? T ?4 1? 有最小值 2,于是, 的取值范围是 ? , ? . S ?9 2?

? ? ? ? ? a ? x, b ? 1, 向量 a 与向量 b 的夹角为 ,且 【例 3】设 3 ? ? ? ?2 g ? x ? ? 2a ? b ? ? a ? b ,若 ? ? ? ?1, 0? ,是否存在实数 x ,

使不等式 g ? x ? ? 0 成立。

? ? ? 【分析及解】由题设, 2a ? b ? 2 x ?1? cos ? x, 3 ? ? 2 ?2 ?2 ? ? a ? b ? a ? b ? 2a ? b ? x 2 ? x ? 1,
g ? x ? ? ?? x ? x ? 1
2

?

?

2

? x.

设 ? ? ? ? ? g ? x ? ,则 ? ? ? ? 是关于 ? 的一次函数,又由 ? ? ? ?1, 0? , 则 ?? ? 0 ,于是 ? ? ? ? 是区间 ? ?1, 0? 上的增函数. 存在实数 x ,使不等式 g ? x ? ? 0 成立, 等价于存在 ? ? ? ?1, 0? , 使 ? ? ? ? ? 0 成立,即等价于 ? max ? ? ? ? 0, ? ? ? ?1, 0? 成立. 由 ? ? ? ? 是区间 ? ?1, 0? 上的增函数,则 ?max ? ? ? ? ? ? 0 ? ? x ? 0. 于是对 ? ? ? ?1, 0? ,存在实数 x ? 0 ,使不等式 g ? x ? ? 0 成立。

【例 4】 (2005 年,上海卷) 在 直 角 坐 标 平 面 中 , 已 知 点 P ?1,2?, P2 ?2,2 2 ?, P3 ?3,2 3 ?, ?, Pn ?n,2 n ? ,其中 n 是正整数,对平面上 1 任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对 称点,., An 为 An ?1 关于点 Pn 的对称点. .. (Ⅰ)求向量 A0 A2 的坐标; ( Ⅱ ) 当 点 A0 在 曲 线 C 上 移 动 时 , 点 A2 的 轨 迹 是 函 数
y ? f (x) 的图象,其中 f (x) 是以 3 为周期的周期函数,且当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 ?1,4 ? 上的解 析式;

(Ⅲ)对任意偶数 n ,用 n 表示向量 A0 An 的坐标.

【分析及解】 (Ⅰ)设点 A0 ( x, y ) ,A0 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1 (2 ? x,4 ? y), A1 关于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2 (2 ? x,4 ? y) , ????? ? 所以, A0 A2 ? ? 2, 4 ? . ????? ? ? (Ⅱ) A0 A2 ? ? 2, 4 ? ,? f ( x) 的图象由曲线 C 向右平移 2 个单 位,再向上平移 4 个单位得到. 因此,曲线 C 是函数 y ? g (x) 的图象,其中 g (x) 是以 3 为周 期的周期函数, 且当 x ? (?2,1] 时 g ( x) ? lg( x ? 2) ? 4, 于是,当 x ? (1, 4] 时, g ( x) ? lg( x ? 1) ? 4.

(Ⅲ) A0 An ? A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An ?2 An ????????? ? ???????? ? 由于 A2 k ?2 A2 k ? 2 P2 k ?1P2 k , , ????? ? ???? ???? ? ? ?????? ? A0 An ? 2( P P2 ? P3 P4 ? ? ? Pn?1Pn ) 1
? 2 ??1, 2 ? ? 1, 23 ? ? ? 1, 2 n ?1 ? ? ? ? n 2(2 n ? 1) ? ? 2? , ? 2 3 ? ? ? 4(2 n ? 1) ? ? ? n, ?. 3 ? ?
A2k-2

A2k-1

?

?

?

?

P 2k-1

P 2k

A2k

【例 5】 (2005 年,上海卷) 已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A、B,
AB ? 2i ? 2 j ( i, j 分别是与 x, y 轴正半轴同方向的单位向

量) ,函数 g ( x) ? x 2 ? x ? 6 . (Ⅰ)求 k, b 的值;
g ( x) ? 1 (Ⅱ)当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数 的最小值. f ( x)

b b 【分析及解】 (Ⅰ)由已知得 A(? ,0), B(0, b), 则 AB ? { , b} k k ?b ?k ? 1 ? ?2 , ?? . 于是 ? k ?b ? 2 ?b ? 2 ?

(Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x), 得x ? 2 ? x 2 ? x ? 6, 即 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0, 得 ? 2 ? x ? 4,
g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 1 ? ? x?2? ? 5, f ( x) x?2 x?2 由于 x ? 2 ? 0 , 1 1 ? 5 ? 2 ? x ? 2? ? ? 5 ? 2 ? 5 ? ?3 则 x?2? x?2 x?2 g ( x) ? 1 ? ?3 .其中等号当且仅当 x ? 2 ? 1即 x ? ?1 时成立, 即 f ( x) g ( x) ? 1 ∴ 时的最小值是 ?3 . f ( x)

四.平面向量与三角的综合题

【例 1】 (2006 年辽宁卷,理) ?ABC 的 三 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c 设 向 量 ? ? ? ? ? ? p ? (a ? c, b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为 2? ? ? ? (A) (B) (C) (D) 3 6 3 2 【分析及解】 ? ? ? p // q ? (a ? c)(c ? a) ? b(b ? a) ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,利用余弦 1 ? 定理可得 2cos C ? 1 ,即 cos C ? ? C ? ,故选择答案 B。 2 3

【例 2】 (2006 年湖北卷,文) ? ? 设 向 量 a ? ? sin x,cos x ? , b ? ? cos x, cos x ? , x ?R , 函 数
? ? ? f ? x? ? a ? a ? b .

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ? x ? ?
3 成立的 x 的取值集。 2

【分析及解】 (Ⅰ) ? ? ? ? ? ? ? f ? x? ? a ? a ? b ? a ? a ? a ?b

?

?

? sin 2 x ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x 1 1 ? 1 ? sin 2 x ? (cos 2 x ? 1 ) 2 2 3 2 ?? ? = ? sin ? 2 x ? ? 2 2 4? ?
3 2 2? ∴ f ? x ? 的最大值为 ? ,最小正周期是 ?? 。 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
3 3 2 ? 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? sin(2 x ? ) ? 0 2 2 2 4 2 4 ? ? 3? ? 2 k ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ? ? k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z 4 8 8 f ? x? ?

3 即 f ? x ? ? 成立的 x 的取值集合是 2
3? ? ? ? x | k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? . ? 8 8 ? ?

【例 3】 0 ? ? ? 2? 时, 设 已知: 两个向量 OP1 ? (cos? , sin? ) ,
OP2 ? (2 ? sin? ,2 ? cos? ) ,则向量 P1 P2 的长度的最大值是(



(A) 2

(B) 3

(C) 3 2

(D) 2 3

【分析及解】? P1 P2 ? (2 ? sin? ? cos? ,2 ? cos? ? sin? ) , ???? ? ? P P2 ? (2 ? sin ? ? cos ? ) 2 ? (2 ? cos ? ? sin ? ) 2 1
? 10 ? 8cos ? ,

∴当 ? ? ? 时, | P1 P2 |最大 ? 3 2 .

【例 4】已知 x ? a ? b, y ? 2a ? b ,且 a ? b ? 1 , a ? b 设 x, y 的夹角为 ? ,求:
1 ? cos 2? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?

?2 ? ? ? ? ? 【分析及解】 x ? a ? b ? a ? b ? 2, x ? 2, . ? ? ? 2 ?? ? ?? ? ? ? ? y ? 2a ? b ? 2a ? b ? 5 , y ? 5, ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? x? y 3 10 x ? y ? a ? b ? 2a ? b ? 3, cos ? ? ? ? ? ? 10 x y

?

??

?

? ?

?? ??

?

?

1 ? cos 2? ? sin 2? 2 cos2 ? 2 sin? cos? 9 2 ? ? 2 cos ? ? sin? 1 ? tan? 5 1? cos?

3 【例 5】向量 m ? (1,1) ,向量 n 与向量 m 的夹角为 ? ,且 4 m ? n ? ?1 ,

(Ⅰ)求向量 n ;

? (Ⅱ)若向量 n 与向量 q ? (1,0) 的夹角为 ,向量 2 2 C p ? (cos A,2 cos ) ,其中 A,C 为 ?ABC 的内角,且 A、B、 2 C 依次成等差数列,试求 n ? p 的取值范围。

【分析及解】 (Ⅰ)设 n ? ( x, y ),由m ? n ? ?1 可得 x ? y ? ?1 ① 3 3 又 n与m 的夹角为 ? ,则 m ? n ? m ? n cos ? , 4 4 易得 n ? 1 , 即 x2 ? y2 ? 1
? x ? ?1 ? x ? 0 或? 由①、②解得 ? ?y ? 0 ? y ? ?1



即 n ? (?1,0)或n ? (0,?1)

(Ⅱ)由 n与q ? (1,0) 的夹角为

?
2

,即 n ? q 知 n ? (0,?1)

由 2B ? A ? C及A ? B ? C ? ? 知 B ?
2

?
3

,A?C ?

2 2 ? ,0 ? A ? ? , 3 3

c n ? p ? (cos A,2 cos ? 1) ? (cos A, cosC ) 2 2 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? n ? p ? cos2 A ? cos2 C ? ? 2 2 1? 4 1 ?? ? ? ? 1 ? ?cos 2 A ? cos( ? ? 2 A) ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? 2? 3 2 3? ? ? 2 ? ? 5 ?0 ? A ? ? , ? 2A ? ? ? 3 3 3 3 ?? 1 1 1 ?? 5 ? ? ? ?1 ? cos? 2 A ? ? ? ? ? 1 ? cos? 2 A ? ? ? 3? 2 2 2 3? 4 ? ? 1 5 即 n ? p ?[ , ) 2 4
2

2 5 ? n ? p ?[ , ) 2 2

【例 6】 (2004 年湖北卷,文(19),理(19) 如图,在 Rt?ABC 中,已知 BC ? a ,若长 为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取值时, BP? CQ 的值最大?并求出这 个最大值。
? ?

C

a

A

B

【分析及解】

解法 1.从向量本身来思考。
? ?
C Q

由已知的向量关系有, AB ? AC 则 AB? AC ? 0 . A 是 PQ 的中点,

? 则 AQ? AP ? 0 , PQ ? 2 AQ ? ?2 AP . PQ 的长为 2a , BC 的长为 a ,
则 AP ? AQ ? BC ? a .
P

A

B

要 求 建 立 BP ? CQ 与 PQ ? BC 的 联 系 , 显 然 要 以
AP , AQ , AB , AC 为中介.

?

BP ? CQ ? ( AP - AB ) AQ - AC ) (

?

AP ? AQ - AP ? AC - AB ? AQ + AB ? AC
2

? - AP - AP ? AC + AB ? AP ? ? a 2 + AP ? AB ? AC ? ? a 2 + AP ? CB 1 ? ? a 2 + PO ? BC ? ? a 2 + ? a 2 cos? . 2 显然当 cos? ? 1 时, BP ? CQ 最大, 最大值为 O, 此时 PQ 与 BC 共线。

?

?

解法 2.利用向量的坐标和解析几何的知识。 设 AB ? c , AC ? b , 则 A(0,0), B(c,0), C (0, b) ,PQ ? 2a ,BC ? a , 设 P( x, y) ,则 Q?? x,? y ?
BP ? ( x ? c, y ) , CQ ? (? x,? y ? b) ,①
BC ? (?c, b) , PQ ? (?2 x,?2 y),
PQ ? BC = 2 xc ? 2 yb ,
? ?
P y

?

?

C Q

A

B x

RQ ? 2a , BC ? b 2 ? c 2 ? a

?

cos? ?

PQ? BC
? ?

?

?

?

PQ BC

cx ? by ? cx ? by ? a 2 cos? ② a2

②代入①得: BP ? CQ = ? a 2 ? a 2 cos? . , ? 当 cos? ? 1 ,即 ? ? 0 ( PQ 与 BC 同面时) BP ? CQ 最大, 最大值为 O.

【例 7】 (2005 年,江西卷) 已知向量 ? ? x ? x ? ?? ? ? ?x ?? ? x ? ?? a ? ? 2 cos , tan ? ? ? ? , b ? ? 2 sin ? ? ? , tan ? ? ? ? , 2 ? 2 4 ?? ?2 4? ? 2 4 ?? ? ? ? ? 令 f ( x) ? a ? b .是否存在实数 x ?[0, ? ], 使 f ? x ? ? f ? ? x ? ? 0 ,(其中
f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数)?若存在,则求出 x 的值;若不存在,则

证明之.

【分析及解】 ? ? x ?x ?? ?x ?? ?x ?? f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos sin ? ? ? ? tan ? ? ? tan ? ? ? 2 ?2 4? ?2 4? ?2 4? x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? x x 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan 2 2 x x x ? 2 sin cos ? 2 cos2 ? 1 2 2 2 ? sin x ? cos x. 令 f ( x) ? f ?( x) ? 0, 即 f ( x) ? f ?( x) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 2cos x ? 0. 可得 x ?

?
2

, 所以存在 x ?

?
2

? [0, ? ], 使 f ( x) ? f ?( x) ? 0.

【例 8】 (2005 年,山东卷) 已知向量 ? ?? m ? (cos ? ,sin ? ) 和 n ? 2 ? sin ? , cos ? ,? ? ?? , 2? ? ,

?

?

?? ? 8 2 , 且 m?n ? 5 ?? ? ? 求 cos ? ? ? 的值. ?2 8?

?? ? 【分析及解】解法 1. m ? n ? cos ? ? sin ? ?

?

2, cos ? ? sin ?

?

?? ? m?n ?

? cos? ? sin ? ? 2 ?

2

? (cos? ? sin ? ) 2

?? ? = 4 ? 2 2(cos ? ? sin ? ) = 4 ? 4 cos ? ? ? ? 4? ?
?? ? = 2 1 ? cos ? ? ? ? 4? ? ?? ? 8 2 ?? 7 ? , ,得 cos ? ? ? ? ? 由已知 m ? n ? 又 5 4 ? 25 ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2cos 2 ( ? ) ? 1 4? 2 8 ? ? ? 16 ,∴ ? ? ?? , 2? ? , ? cos 2 ( ? ) ? 2 8 25
4 5? ? ? 9? ?? ? ? ?? ? ? ∴ ,∴ cos ? ? ? ? 0 ,∴ cos ? ? ? ? ? ? ? ? 5 8 2 8 8 ?2 8? ?2 8?

? ? ?2 ? ? ? 解法 2. m ? n ? m ? n

?

?

2

?2 ? ? ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? m ? 2m ? n ? n ? m ? 2m ? n ? n
2 2

?

?

cos ? ? sin ? ? 2 ? cos ? ?

?

2

?

? ?? ?

? ?

2 ? sin ?

?

2

? ? cos 2 ? ? ?

2 ? sin ? ? sin ? cos ? ? ?

? 4 ? 2 2 ? cos ? ? sin ? ? ? ? ?? ? ? 4 ?1 ? cos ? ? ? ? ? 4 ?? ? ? ?? ? ? ? 8 cos 2 ? ? ? ?2 8?
?? ? 4 8 2 ?? ? ? 由已知 m ? n ? ,得 cos ? ? ? ? 。 5 5 ?2 8? 5? ? ? 9? ∵ ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? , 8 2 8 8 4 ?? ? ? ?? ? ? ? cos ? ? ? ? 0 , ? cos ? ? ? ? ? 5 ?2 8? ?2 8?

【例 9】(2005 年,全国卷Ⅲ) △ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a, 3 b,c 成等比数列, cos B ? . 4 (Ⅰ)求 cotA+cotC 的值; 3 (Ⅱ)设 BA ? BC ? , 求a ? c 的值. 2

【分析及解】 (Ⅰ)由 cos B ? 3 , 得 sin B ? 1 ? ( 3 ) 2 ?
4 4

7 , 4

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 于是 cot A ? cot C
?

sin 2 B ? sin A sin C.

??? ??? ? ? 3 3 (Ⅱ)由 BA ? BC ? , ca ? cos B ? , 得 2 2

1 1 cos A cos C ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? sin A sin C sin 2 B sin B 1 4 ? ? ? 7. 2 sin B sin B 7

3 , 可得ca ? 2, 即b 2 ? 2. 4 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B 3 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 5, 4 (a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9, ? a ? c ? 3. 由cos B ?

【例 10】已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos 2 x 的图象经过 ? ? A(0,1)、B( ,1)两点,且当 x ? [0, ] 时, f (x) 取到最大值 4 4 2 2 ? 1. (Ⅰ) 求 f (x) 的解析式; (Ⅱ) 求一个平移向量 m ,使得将 f (x) 的图象按向量 m 平移后 得到一个奇函数的图象.

【 分析及 解】 (Ⅰ)由题 意得 {
? f ( x) ? a ? 2 (1 ? a) sin(2 x ?

a ? c ? 1, a ? b ? 1.

则 b ? c ? 1? a ,

?
4

).

? x ? [0, ] , ? 2 x ? ? [ , ] , 4 4 4 4 当 1 ? a ? 0 时, a ? 2 (1 ? a) ? 2 2 ? 1 , 解得 a ? ?1;
2 ? 2 2 ? 1 , 无解; 当 1 ? a ? 0 时, a ? 2 (1 ? a) ? 2 当 1 ? a ? 0 时, a ? 2 2 ? 1 ,无解;

?

?

? 3?

则 f ( x) ? ?1 ? 2 2 sin(2 x ?

?

4

) .

(Ⅱ) ?将奇函数 g ( x) ? 2 2 sin 2 x 的图象向左平移 再向下平移 1 个单位就可得到 f ( x) ? ?1 ? 2 2 sin(2 x ?

?
8

个单位,

?

4 8 再向上平移 1 个单位就可得到奇函数 g ( x) ? 2 2 sin 2 x 的图象.

? 将 f ( x) ? ?1 ? 2 2 sin(2 x ?

?

4

) 的图象,

) 的图象向右平移

?

个单位,

则 m ? ( ,1) 是满足条件的一个平移向量. 8

?

五. 平面向量与数列的交汇

【例 1】 (2006 年,天津卷,理,16) 1 设 函 数 f ? x? ? , 点 A0 表 示 坐 标 原 点 , An ? n, f ? n ? ? , x ?1 ??????? ? ? ????? ????? ? ? ? n ? N ? ,若向量 an ? A0 A1 ? A1 A2 ? ? ? An?1 An , ? n 是 an 与 i 的夹角 ? (其中 i ? ?1, 0 ? ), 设 Sn ? tan ?1 ? tan ?2 ? ? ? tan ?n , 则 lim S n ?
n ??

.

【分析及解】由题设 ? 1 ? 1 1 1 ? ????? ? A0 ? 0, 0 ? , ak ? A0 Ak ? ? k , ? ? , ? , tan ? k ? k ? k ? 1? k k ? 1 ? k ?1? 1 ? 1 ? 1? ? 1 1? ?1 于是, Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? 1? ? n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ? lim Sn ? 1.
n ??

? ? ? ? ? 【例 2】已知 a, b 是互相垂直的单位向量, c ? a ? b ,若 ? ? 3 (1) OA2 ? 10OA1 ? 10b , OB1 ? OB2 ? 3c , 5 ? ? (2) 4OAn ? OA n ?1 ? 3OA n ?1 ? 0, OB n?1 ? 2OB n ? OB n?1 ? 2c ;

其中 n ? 2,3,4,? (Ⅱ)记 a n ? An A n ?1 ? Bn B n ?1 ?n ? N ? ? ,求数列 ?a n ? 中的最 大项。 (Ⅰ) A1 A 2 , A2 A 3 , A3 A4 , 求 并由此写出 An A n ?1 (不必证明) ;

【分析及解】 (Ⅰ)由 4OAn ? OA n ?1 ? 3OA n ?1 1 An ?1 A n ? 3 An A n ?1 ,即 An A n ?1 ? An ?1 A n . 3 ? ? ? A1 A 2 ? OA 2 ? OA1 ? 10b ? b ? 9b , ? ? 1 1 A2 A 3 ? A1 A 2 ? 3b , A3 A 4 ? A2 A3 ? b . 3 3 n ?1 n ?3 ? 1 ?1? ?1? An A n ?1 ? An ?1 A n ? ? ? A1 A 2 ? ? ? b . 3 ?3? ?3? ? (Ⅱ)由 OB n ?1 ? 2OB n ? OB n ?1 ? 2c 得 ? Bn B n ?1 ? B1 B 2 ? ?n ? 1? ? 2c , ? ? B1 B 2 ? OB 2 ? OB1 ? 2c .于是 Bn B n ?1 ? 2nc . 又 2n ? ? 2n ? ? ? 2n 所以 an ? n ? 3 b ? c ? n ? 3 b ? a ? b ? n ? 3 . 3 3 3 2?2n ? 1? an ?1 ? an ? ? ?0, n?2 3 因此, a n ? a n ?1 ? a n ?2 ? ? ? a1 , a1 为数列 ?a n ? 中的最大项,

? ? 0, 可得

?

?

a1 ? 2 ? 1 ? 31?3 ? 18 .

【例 3】已知点 Pn ?a n , bn ? 满足要求
a n ?1 ? a n bn ?1 ?n ? N ? ?, bn ?1

bn ?1 2? ? , P0 ? , ? 2 1 ? an ?3 3?

(Ⅰ)求过 P0 P1 的直线方程; (Ⅱ)证明存在实数 t ,使 OP2 ? t OP1 ? ?1 ? t ?OP0 成立,其中 O 为 P0 , P1 , P2 所确定平面上的任一点; (Ⅲ) 由此猜想 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式及 a n 与bn 的一个关系 式.(不要求证明). 【分析及解】 (Ⅰ)由 a0 ?
1 2 , b0 ? 及递推公式 3 3

?a1 ? a 0 b1 1 3 1 3 ? b0 ,可得 a1 ? , b1 ? , P ( , ) , ? 1 b1 ? 4 4 4 4 2 ? 1 ? a0 ? ?1 2? ?1 3? 于是过 P ? , ? , P ? , ? 的方程为 x ? y ? 1 . 0 1 ?3 3? ?4 4?

?a 2 ? a1b2 ?1 3? ? (Ⅱ)由 P ? , ? 及 ? b1 ,得 1 ? 4 4 ? ?b2 ? 1 ? a12 ? 1 4 ?1 4? , b2 ? ,即 P2 ? , ? , a2 ? 5 5 ?5 5? 于是 P2 也在直线上 x ? y ? 1 ,即 P0 , P1 , P2 共线,

所以存在实数 t ,使 OP2 ? t OP1 ? (1 ? t )OP0 成立. 1 1 1 1 (Ⅲ)由 a0 ? , a1 ? , a2 ? ,猜想 a n ? , 3 4 5 n?3 2 3 4 n?2 由 b0 ? , b1 ? , b2 ? ,猜想 bn ? , 3 4 5 n?3 且 a n , bn 满足 a n ? bn ? 1( n ?N? ) .

六.平面向量与几何的交汇

【例 1】已知 C 为线段 AB 上的一点,满足 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PA ? PC PB ? PC PA ? PB ? 2, PA ? PB ? 2 5 , ??? ? ? ??? , ? PA PB ? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? AP AC BI ? BA I 为 PC 上一点,且 BI ? BA ? ? ? ??? ? ??? ? ,则 ??? 的值为 ? ? ? ? AP AC ? BA ? ? ( ). (A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 5 ? 1

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PA ? PC PB ? PC 【分析及解】 由 ??? ? ? ??? 可知, ? PA PB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? cos ? PA, PC ?? cos ? PB, PC ? , 于是有 ?APC ? ?BPC ,即 PC 为 ?APB 的平 分线, ? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? AP AC 又 由 BI ? BA ? ? ? ??? ? ??? ? , 则 I 在 ? ? ? AP AC ? ? ? ?PAC 的平分线上,所以 I 是 ? ABC 的内心. ??? ??? ? ??? ??? ? BI ? BA 作 ID ? AB 于 D ,则 ??? 表示 BI 在 BA 上的射影 BD 的长. ? BA
设 ? PAB 的内切圆与三边分别切于 D, E , F ,则
AD ? BD ? AF ? BE ? ? PA ? PF ? ? ? PB ? PE ? ? PA ? PB ? 2 ??? ? ??? ??? ? ? BD ? 5 ? 1 . 又 AD ? BD ? BA ? PA ? PB ? 2 5 于是


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天津市各地区2010年高三数学高考最新联考试题分类大汇编 平面向量新人教A版
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★09高考复习
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王连笑高考数学讲座第4讲
AB,且与平面 M 成 30? 9 Sn x ?? S n ?1 高三数学第 4 讲 主持人:特级教师 王连笑 角,AB=a,AC=BD=b,求 CD 两点间的距离. 四.能力训练题点拨...
王连笑高考讲座第1讲
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