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第2节 函数的单调性与最值


济南市长清中学 高二数学(特长班)导学案
编号:FX-5 课型:新授课 编制人: 李震 审核人: 李震 年级主任: 班级: 姓名: 第 2 节 函数的单调性与最值 【考点-了然于胸】 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 考点自主回扣: 【要点梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 个性笔记

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自 变量的值 x1,x2
定义

当 x1<x2 时,都有

,那么就说

当 x1<x2 时,都有

,那么就说函

函数 f(x)在区间 D 上是增函数
图象 描述

数 f(x)在区间 D 上是减函数

自左向右看图象是



自左向右看图象是



质疑探究 1: 若函数 f(x)在区间 C 和区间 D 上都是增(减)函数, 则函数 f(x)在区间 C∪D 上是增(减) 函数吗? (2)单调区间的定义:如果函数 y=f(x)在区间 D 上是 区间具有(严格的)单调性, 或 ,那么就说函数 y=f(x)在这一

叫做函数 y=f(x)的单调区间.

质疑探究 2:当一个函数的增区间(减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间) 连接起来? 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最大值 (3)对于任意 x∈I, 都有 f(x)≥M; (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. M 为最小值

质疑探究 3:最值与函数的值域有何关系? 提示:函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素;任何一个函数,其值域 必定存在,但其最值不一定存在.
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[小题查验] 1.给出下列命题:

①函数 f(x)的图象如右图所示,则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪(0,+∞). ②若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(-1)<f(3),则函数 f(x)在 R 上为增函数; ③函数 y=|x|是 R 上的增函数; ④函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞); ⑤对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数. ⑥在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到.其中正确的是( A.①② B.③④ C.④⑤ D.⑤⑥ )

1 2.设定义在[-1,7]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则关于函数 y= 的单调区间表述正确的 f?x? 是( )A.在[-1,1]上单调递减 C.在[5,7]上单调递减 3.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是( 3? A.? ?0,2? 3? B.? ?-∞,2? B.在(0,1]上单调递减,在[1,3)上单调递增 D.在[3,5]上单调递增 ) 3 ? D.? ?2,+∞?

3 ? C.? ?2,3?

2x 4.函数 f(x)= 在[1,2]的最大值和最小值分别是______________. x+1

?1?? 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)________f(n);若 f? ??x??<f(1),则实数 x 的
取值范围是________. 考向互动探究 考点一 函数单调性的判断(基础型考点——自主练透) [方法链接] 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:

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提醒:可导函数也可以利用导数判断.但是,对于抽象函数单调性的证明,只能采用定义法进行 判断. [题组集训] 1. 下列函数 f(x)中, 满足“对任意的 x1, x2∈(0, +∞)时, 均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0”的是( 1 A.f(x)= B.f(x)=x2-4x+4 2 1 C.f(x)=2x D.f(x)=log x 2 )

ax 2.判断并证明函数 f(x)= 2 (其中 a>0)在 x∈(-1,1)上的单调性. x -1 考点二 确定函数的单调性(区间)(重点型考点——师生共研) 【例】 (1)函数 y=-x2+2|x|+1 的单调递增区间为________,单调递减区间为________. (2)函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )

1? A.? ?0,2?

B.[ a,1]

1 ? C.(-∞,0)∪? ?2,+∞?

D.[ a, a+1]

互动探究 1 若将典例(1)中的函数变为“y=|-x2+2x+1|”,则结论如何? 互动探究 2 若将本例题(2)中的“0<a<1”改为“a>1”,则函数 g(x)的单调递减区间如何? 跟踪训练 1,x>0, ? ? 1.设函数 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.(-∞,0] B.[0,1)

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是(

)

C.[1,+∞) )

D.[-1,0]

1 2.函数 y=log (2x2-3x+1)的递减区间为( 2 3? A.(1,+∞) B.? ?-∞,4? 1 ? C.? ?2,+∞?

3 ? D.? ?4,+∞?

考点三 函数单调性的应用(高频型考点——全面发掘) [考情聚焦] 高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现,有时也应用于解答题中的某一问中. 函数单调性的应用,归纳起来常见的命题角度有: (1)求函数的值域或最值;(2)比较两个函数值 或两个自变量的大小;(3)解函数不等式;(4)利用单调性求参数的取值范围或值. 角度一 求函数的值域或最值 x, x≤1, ? ? 1.已知函数 f(x)=? 6 则 f(f(-2))=________,f(x)的最小值是________. x+ -6, x>1, ? ? x 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小
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1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x )

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 角度三 解函数不等式 3.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x-8)≤2 时, x 的取值范围是( )A.(8,+∞) B.(8,9] C.[8,9] D.(0,8)

角度四 利用单调性求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 4.已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2,都有 <0 成立,则实 x1-x2 -1,x<2 ? 2 ? ? ? 数 a 的取值范围为( [题组集训] 1.如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数 a 的取值范围是( 1 A.a>- 4 1 B.a≥- 4 1 1 C.- ≤a<0 D.- ≤a≤0 4 4 ) ) 13? )A.(-∞,2) B.? ?-∞, 8 ? 13 ? C.(-∞,2] D.? ? 8 ,2?

??3a-1?x+4a,x<1, ? 2.已知 f(x)=? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是( ? ?logax,x≥1

A.(0,1)

1 0, ? B.? ? 3?

1 1? C.? ?7,3?

1 ? D.? ?7,1? )

x-5 3.函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3 B.a<3 C.a≤-3 D.a≥-3

??2-a?x+1,x<1, ? f?x1?-f?x2? 4.已知 f(x)=? x 满足对任意 x1≠x2,都有 >0 成立,那么 a 的取值 x1-x2 ? a , x ≥ 1 , ?

范围是________. 思想方法 2 转化与化归思想在求解函数不等式中的应用 典例、已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当 x>0 时,f(x)>-1. (1)求 f(0)的值,并证明 f(x)在 R 上是单调增函数.(2)若 f(1)=1,解关于 x 的不等式 f(x2+2x)+f(1 -x)>4. 即时突破、函数 f(x)对任意的 m,n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)> 1.(1)求证:f(x)在 R 上是增函数.(2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

【教学反思】

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