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3-2-1 直线的方向向量和平面的法向量


能力拓展提升 一、选择题 10.对于任意空间向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),给出 下列三个命题: a1 a2 a3 ①a∥b?b =b =b ; 1 2 3 ②若 a1=a2=a3=1,则 a 为单位向量; ③a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0. 其中真命题的个数为( A.0 [答案] B a1 a2 a3 [解析] 由b =b =b ?a∥b,

反之不一定成立,故①不正确;② 1 2 3 显然错误;③是正确的,故选 B. 11.已知空间四边形 ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P、 Q、R、S,如下图,所得图形是( ) B.1 ) C.2 D.3 A.长方形 C.梯形 B.正方形 D.菱形 [答案] D → → → 1→ 1→ 1→ [解析] ∵PQ=BQ-BP=2BC-2BA=2AC. → 1→ → → 同理SR=2AC,∴PQ=SR, ∴四边形 PQRS 为平行四边形, → → → 1 → 1→ 1 → 又∵PS=AS-AP=2AD-2AB=2BD, → 1→ 1 ∴|PS|=2|BD|,即 PS=2BD, → 1→ 1 又|PQ|=2|AC|,∴PQ=2AC, ∵AC=BD,∴PS=PQ,∴四边形 ABCD 为菱形. 二、填空题 12.直线 l1 与 l2 不重合,直线 l1 的方向向量 v1=(-1,1,2),直线 l2 的方向向量为 v2=(2,0,1),则直线 l1 与 l2 的位置关系是________. [答案] 垂直 [解析] ∵v1· v2=-2+0+2=0, ∴v1⊥v2. ∴l1⊥l2, 13.已知空间直角坐标系 O-xyz 中的点 A(1,1,1),平面 α 过点 A 并且与直线 OA 垂直,动点 P(x,y,z)是平面 α 内的任一点,则点 P 的坐标满足的条件为________. [答案] x+y+z=3 → [解析] 由题意知,OA⊥α,直线 OA 的方向向量OA=(1,1,1), → → 因为 P∈α,∴OA⊥AP, ∴(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0, ∴x+y+z=3. 三、解答题 14.设 a,b 分别是不重合的直线 l1、l2 的方向向量,根据下列条 件判断 l1,l2 的位置关系; (1)a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); (2)a=(5,0,2),b=(0,1,0); (3)a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8). [解析] (1)∵a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), ∴a=-2b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,1,0), ∴a· b=0,a⊥b,∴l1⊥l2. (3)∵a=(-2,-1,-1),b=(4,-2,-8), ∴a 与 b 不共线也不垂直. ∴l1 与 l2 相交或异面. 15. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别是 D1D, 1 BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=4CD,H 是 C1G 的中点,应用空 间向量解决下列问题: (1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求 FH 的长. [解析] (1)证明: 如图,建立空间直角坐标系 O-xyz,D 为坐标原点 O,依已知 1 1 1 条件有:E(0,0,2),F(2,2,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G(0, 3 4,0). → → 1 1 1 1 1 1 EF = (2 ,2,

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