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三角函数定义及同角三角函数基本关系知识点及例题[附练习与答案]超强推荐


三角函数的定义专题 关键词: 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标: 理解角的概念,掌握同角三角函数基本关系 ☆ 对角的概念的理解:

? ? R 或 (??,??) (1)无界性 (2)周期性 (3)终边相同的角的表示:

(1)? 终边与 ? 终边相同( ? 的终边在 ? 终边所在射线上) ? ? ? ?

? 2k? (k ? Z) ,注意:相等的角的终边一
?

定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 ? 1825 的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧 度。

(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) .

5 ? (答: ?25 ; 36 ) ?

(6)? 终边在 x 轴上的角可表示为:? ? k? , k ? Z ;? 终边在 y 轴上的角可表示为:

? ? k? ?

?
2

,k ?Z

;?

??
终边在坐标轴上的角可表示为: ____________。

k? ? ,k ?Z y ? x 对称,则 ? = 2 .如 ? 的终边与 6 的终边关于直线
2k? ?
(答:

?
3

, k ?Z


☆ 角与角的位置关系的判断 (1) 终边相同的角 (2) 对称关系的角 (3) 满足一些常见关系式的两角

? 例如:若 ? 是第二象限角,则 2 是第_____象限角 :一、三) S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 l ? | ? | R 2 2 ☆ 弧长公式: ,扇形面积公式: ,1 弧度(1rad) ? 57.3 .
例如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。 (答:2 cm ) ☆ 三角函数的定义: 高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。 但既有联系,又有区别。 定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) ,它与原点的距离是
2

r ? x2 ? y 2 ? 0



sin ? ?

那么 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 P 的位置无关。

x r y x y r csc ? ? ? y ? 0 ? , cos ? ? tan ? ? , ? x ? 0 ? cot ? ? sec ? ? x ? 0 ? ? y y ( y ? 0) , r r , x x , , 。

1

例如: (1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。★☆◎●■??? ? ? ?

7 (答: 13 ) ; ?
(2)设 ? 是第三、四象限角,

sin ? ?

2m ? 3 4 ? m ,则 m 的取值范围是_______
3 ) (答: (-1, 2 ) ;

| sin ? | cos? ? ?0 ? ) 的符号 | cos? | (3)若 sin ? ,试判断 cot(sin? ) ? tan(cos
(答:负) 7. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° 0° 0 90° 1 180° 0 270° -1

sin ?

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

cos?

3 2 3 3

1

0

-1

0

tan ? cot ?

3
3 3

0

0

3

1

0

0

记忆的时候注意利用规律 8. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1,1 ? tan (2)倒数关系:tan ? cot ? =1,
2 2 2

? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ?

tan ? ?
(3)商数关系:

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的基本作用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。 例如: (1) 若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____
2

[0,
(答:

?
4

]

3 [ ?,?] 4 ) ;

sin ? ?
(2)已知

m?3 4 ? 2m ? cos ? ? ( ?? ??) m?5 , m?5 2 ,则 tan ? =____
5 (答: 12 ) ; ?

tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 2 (3)已知 tan ? ? 1 ,则 sin ? ? cos ? =___; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =____
2

5 13 (答: 3 ; 5 ) ; ?
(4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于
?
?

?
A、

a 1? a2

a
B、 1 ? a
2

?
C、

1? a2 a

1? a2 a D、
(答:B) ;

课堂练习:

1. 设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第___、___、___象限.

2.

已知

sin x ? cos x ? m, ( m ? 2 , 且 m ? 1)
sin ?

, 求 sin x ? cos x
? 1 ? cos2 ? cos?

2 3.若角α的终边在直线 y=-x 上,则 1 ? sin ?



.

1 sin 4.使 tanx- x 有意义的 x 的集合为

.

α 4 α 5.已知α是第二象限的角,且 cos 2 =-5 ,则 2 是第

象限的角.

课后练习: 一、选择题 设 ? 角属于第二象限,且 A. 第一象限

cos

?
2

? ? cos

?

1.

? 2 ,则 2 角属于(



B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

sin
2. 给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④ 有( )
0 0

7? cos? 10 17? tan 9 . 其中符号为负的

A.



B. ②

C. ③

D. ④
3

3.

sin 2 1200 等于(
?
A.



3 2

B.

3 2

?
C.

3 2

D.

1 2

sin ? ?
4. 已知

?
A.

4 3

4 5 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 3 3 4 ? 4 B. C. 4 D. 3



5π 3π 5.若θ∈( 4 , 2 ) ,则 1-2sinθcosθ 等于 A.cosθ-sinθ C.sinθ-cosθ 1 2 6.若 tanθ=3 ,则 cos θ+sinθcosθ的值是 6 A.-5 三、解答题 4 B.-5 4 C. 5 6 D. 5 B.sinθ+cosθ D.-cosθ-sinθ

1 7 tan ? , 3? ? ? ? ? 2 2 tan ? 2 ,求 cos ? ? sin? 的值. 1. 已知 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且

m-n 2. 设 cosθ=m+n (m>n>0),求θ的其他三角函数值.

1+2sinθcosθ 1+tanθ 2 2 3.证明(1) cos θ-sin θ =1-tanθ (2)tan θ-sin θ=tan θsin θ
4
2 2 2 2

◎ 课后练习详细解答 一、选择题

2 k? ?
1. C

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

? ? 当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 2 在第一象限;当 k ? 2n ? 1, (n ? Z ) 时, 2 在第三象限;
cos
而 2. C

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?

? 0 ?? 2 , 2 在第三象限;

sin(?10000 ) ? sin800 ? 0 ; cos(?22000 ) ? cos(?400 ) ? cos 400 ? 0
sin 7? 7? cos ? ? sin 10 10 ,sin 7? ? 0, tan 17? ? 0 ? 17? 17? 10 9 tan tan 9 9

tan(?10) ? tan(3? ?10) ? 0 ;

sin 2 1200 ? sin1200 ?
3. B

3 2

4 3 sin ? 4 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? 5 5 cos ? 3 4. A
5. A 二、填空题 1. 四、三、二 6.D 当 ? 是第二象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第三象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;当 ? 是第四象限角时, sin ? ? 0,cos ? ? 0 ;

sin
2. 3.0 三、解答题 ②

17? 17? ? MP ? 0, cos ? OM ? 0 18 18
k? 4.{x|x∈R 且 x≠ 2 ,k∈Z}

5.三

tan ? ?
1. 解:

1 1 7 ? k 2 ? 3 ? 1,? k ? ?2 tan ? ? ? k ? 2, 3? ? ? ? ? tan ? tan ? 2 ,则 ,而

5

得 tan ? ? 1 ,则

sin ? ? cos ? ? ?

2 2 ,?cos? ? sin? ? ? 2 .

2.

m-n 解:∵m>n>0,∴cosθ=m+n >0 ∴θ是第一象限角或第四象限角. 当θ是第一象限角时:

1 ? cos2 ? ? 1 ?
sinθ=

( m ? n) 2 ( m ? n) 2 ? ( m ? n ) 2 2 ? mn 2 2 m?n ( m ? n) = ( m ? n)

sin ? 2 ? mn tanθ= cos ? m ? n
当θ是第四象限角时:

1 ? cos 2 ? ? ?
sinθ=-

2 mn m?n

sin ? 2 ?? mn m?n tanθ= cos ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? ? sin ? ) 3. (1)证明:左= (cos? ? sin ? )(cos
cos? ? sin ? cos? (sin? ? cos? ) 2 cos ? ? sin ? cos? ? sin ? ? ? sin ? ) = cos ? ? sin ? = cos? = (cos? ? sin ? )(cos
(∵cos θ≠0,∴分子、分母可同除以 cosθ) 1+tanθ =1-tanθ =右,证毕. 还可用其他证法.

sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? 2 2 cos2 ? (2)证明:左= cos ? -sin θ= sin 2 ? (1 ? cos2 ? ) sin 2 ? sin 2 ? 2 2 cos2 ? cos2 ? = = =tan θsin θ=右,证毕.
解:由 sin x ? cos x ? m, 得 1 ? 2sin x cos x ? m , 即
2

sin x cos x ?

4.

m2 ? 1 , 2

sin 3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(1 ? sin x cos x) ? m(1 ?
(1)

m2 ? 1 3m ? m3 )? 2 2

6

sin 4 x ? cos 4 x ? 1 ? 2sin 2 x cos 2 x ? 1 ? 2(
(2)

m 2 ? 1 2 ? m 4 ? 2m 2 ? 1 ) ? 2 2

7


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