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几何画板培训教程



第一篇


画板入门

第一章 用工具框作图 ???????????????????(3) 第二章 用构造菜单作图 ?????????????????? (19) 第三章 用变换菜单作图 ?????????????????? (33) 第四章 动作按钮的制作 ?????????????????? (51) 第五章

智能化菜单详解 ?????????????????? (58) 第六章 认识奇妙的参数 ?????????????????? (64)

第二篇

范例赏析

范例 1 眩目的动画彩轮 ?????????????????? (69) 范例 2 漂亮的勾股树 范例 3 一个梦幻万花筒 范例 4 闪烁效果的制作 ?????????????????? (70) ?????????????????? (72) ?????????????????? (75)

第三篇
附录一 迭代帮助文件

精选附录

?????????????????? (79)

附录二 平面几何著名定理 ????????????????? (87) 附录三 圆锥曲线教材培训 ????????????????? (93)

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第一章:用工具框作图
通过本章,你应 1、 熟练使用绘图工具作“点” 、 “线” 、 “圆” 2、 学会在几何对象上画“点” 、 “线” 、 “圆” 3、 学会用绘图工具构造交点、等圆、直角等的构造技巧 4、 学会“点” 、 “线” 、 “圆”的标签的显示和隐藏 5、 理解用几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系

第一节

几何画板的启动和绘图工具的介绍

1、启动几何画板:单击 Windows 桌面左下角的“开始”按钮,依次:选择“程序”→选择“几 何画 4.06 中文完美增强版” ,单击即可启动几何画板。 菜单栏 进入几何画板系统后的屏幕画面如下图所示

工具框

绘图区

状态栏

几何画板的窗口是不是和其他 Windows 应用程序窗口十分类似?有控制菜单、最大/最小化以 及标题栏,画板窗口的左侧是画板工具栏,画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大 的图形。 画板的左侧是画板工具箱,把光标移动到工具的上面,一会儿就会显示工具的名称,看看它们 分别是什么?它们分别是【选择箭头工具】 、 【点工具】 、 【圆规工具】 、 【直尺 工具】 、 【文本工具】 、 【自定义画图工具】 。 和一般的绘图软件相比,你会不会感觉它的工具是不是少了点?几何画 板的主要用途之一是用来绘制几何图形。而几何图形的绘制,我们通常是用 直尺和圆规,它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形。因为任何欧氏 几何图形最后都可归结为“点” 、 “线” 、 “圆” 。这种公里化作图思想因为“三 大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学历史上影响重 大,源远流长。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一 种现代延伸。因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维 中公里化思想是一脉相承的。 回目录
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按住工具框的边缘,可随意拖动到画板窗口的任何位置,不同位置形状不同。试一试,能否拖 到某一个地方,工具框变成如下形状?

顾名思义,猜测一下它们都有何功能? :选择对象 这是它的主要功能,当然还有其他 :画点 可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。 “线”可以是线段、射线、

圆、轨迹、函数图像 :画圆 只能画正圆不能画椭圆,是不是有点遗憾?(几何画板也能画椭圆,请看第二章) :画线 直尺工具当然用于画线段,还不仅仅如此! :加标注(即说明性的文字)或给对象标标签 :自定义工具 具 选择某项绘图工具时,用鼠标单击一下该工具即可。 试一试 能否画出下列图形 如果你觉得上述工具不够(如:不能直接画正方形) ,你可以定义新的工

画点:单击【点工具】 ,然后将鼠标移动到画板窗口中单击一下,就会出现一个点 画线:单击【直尺工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下,再拖动鼠标到 另一位置松开鼠标,就会出现一条线段。 画圆:单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下(确定圆心) ,并 按住鼠标拖动到另一位置(起点和终点间的距离就是半径)松开鼠标,就回出现一个圆。 画交点:单击【选择箭头工具】 ,然后拖动鼠标将光标移 动到线段和圆相交处(光标由 变成横向 ,状态栏显

示的是“点击构造交点” )单击一下,就会出现交点。如下图 所示: 交点只能由线段(包括直线、射线)间、圆间、线段(包 括直线、射线)与圆之间点击构造。 绘图工具的使用是不是比操作直尺和圆规更容易?

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如果你细心的话,你会发现【选择箭头工具】 小三角,用鼠标按住它约一秒,看看会发生什么?

,和【直尺工具】

的右下角都有一个

【选择箭头工具】展开,有三个工具,分别是: “移动” , “旋转” , “缩放” ,其用途键下一节。 【直尺工具】展开,也有三个工具,分别是: “线段” “射线” “和直线” 。线段的画法,我们知 道了,如何用它来画射线直线呢? 画射线:移动光标到【直尺工具】上,按住鼠标不放,待【直尺工具】展开后,不要松开鼠标, 继续移动光标到射线工具上 ,松开鼠标,直尺工具变为 区单击鼠标并按住鼠标拖动,到适当位置松开,就画出一条射线,如下图 。然后在画板绘图

(在几何画板里是看不见射线上的箭头,它向一端是无限延伸的) 画直线:依样画葫芦,你能否画一条直线? (在几何画板里同样也是看不见直线上的箭头,它向两端是无限延伸的) 你还会发现,用几何画板画出的线段、直线、射线和画圆,分别多了两点。一方面构造它们只 要两点就够了,另一方面,它们可以被改变。如,单击【选择箭头工具】 ,移动光标到线段的端点 处(注意光标会变水平)拖动鼠标,线段的长短和方向就会改变;正因为多出了“点” ,才使它们 有被改变的可能。 移动光标到线段的端点之间任何地方(光标成水平状)拖动鼠标,就可以移动线段。分别拖动 一下直线、射线的点和线,尝试改变它们一下。 试一试 画一个圆,看能否改变圆的大小和位置。 (提示:圆是由两个点来决定的,鼠标按下去的点即为圆心,松开鼠标的点 即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。分别拖动圆心和圆 周上的点,可改变圆的大小,拖动圆周,可移动圆。 ) 所以说,你不觉得几何画板所画图形是动态的图形? 几何画板绘制的图形也非常容易加上标签。 (你不妨和 word 的绘图比较一下) 单击文本工具,光标由前头变为手形 击鼠标,对象就有了标签。是 试一试 看能否将上图 所有对象添上标签。去掉标签 也容易,只需对上图的每一个 对象,单击,标签就没有了。 在几何画板中的每个几何对 然后分别移动鼠标,当光标移到对象处,变为 不是很简单? 单

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象都对应一个“标签” 。当您在画板中构造几何对象时,系统会自动给您画的对象配 标签。文本工具就是一个标签的开关,可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏。

第二节

用绘图工具绘制简单的组合图形

下面我们用绘图工具来画一些组合图形,希望通过一下范例的学习,你能够熟悉绘图工具的使 用,和一些相关技巧。 例1、 三角形(一) 一、制作结果 如图所示,拖动三角形的顶点,可改变三角形的形状、大小 这个三角形是动态的三角形,它可以被拖成下列三角形之一

二、要点思路 熟悉“直尺工具”的使用,拖动图中的点改变其形状。 三、操作步骤 观察下图,你能明白三角形就是用【直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的图 形。

1、 打开几何画板,建立新绘图 2、 单击【直尺工具】按钮 ,将光标移到在绘图区,单击并按住鼠标拖动,画一条线段,松开

鼠标。 3、 在原处单击鼠标并按住拖动,画出另一条线段,松开鼠标。 (注意光标移动的方向) 4、 在原处单击鼠标并按住拖动,画出第三条线段,光标移到起点处松开鼠标。 (注意起点会变色) 5、将该文件保存为“三角形.gsp” 拓展:你也可以将光标移到在绘图区,单击并松开鼠标拖动,画一条线段,单击鼠标。在原处 再单击鼠标并松开拖动,画出另一条线段,单击鼠标。在原处单击鼠标并松开拖动,画出第三条线 段,光标移到起点处单击鼠标。 例 2 三角形(二) 一、制作结果 三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段,拖动三角形的顶点可以改变三角形 的大小和形状。在讲解三角形的外角时,就可构造此图形。

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二、知识要点 学会使用【线段工具】 、 【直线工具】 、 【射线工具】以及它们相互之间的切换 三、操作步骤 1、 打开几何画板,建立新绘图 2、 选择画直线工具 将光标移动到【直尺工具】上按住鼠标键不放,移动光标到【直线工

具】上,松开鼠标。如下图

3、 画直线 将鼠标移动到画板中,按下鼠标键,向右拖曳鼠标后松鼠标键。 4、 选择画射线工具 用鼠标对准 【直线工具】 , 按下鼠标键并拖曳到 【射线工具】 处松鼠标。

5、 画射线 将鼠标对准定义直线的左边一点(在按下鼠标左键之前请注意 窗口左下角的提示) ,按下鼠标键,向右上拖曳鼠标后松鼠标键。 6、 选择画线段工具 用鼠标对准画线工具,按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标。

7、 画线段 将鼠标对准定义射线的右上一点 C(注意窗口左下角的提 示信息) ,按下鼠标键,向定义直线的右边一点 B 拖动(注意提 示) ,匹配上这一点后松鼠标。 8、 将该文件保存为“三线三角形.gsp” 例 3、圆内接三角形 一、制作结果 如图所示,拖动三角形的任一个顶点,三角形的形状会发生改变,但始终与圆内接

二、要点思路 学会使用画线工具在几何对象上画线段 三、操作步骤

1、 打开几何画板,建立新绘图 2、 画圆 单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标 到另一位置,松开鼠标,就会出现一个圆。 3、 画三角形 单击【直尺工具】 ,移动光标到圆周上(圆会变淡蓝色)单击并按住 回目录
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鼠标向右移到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆周上松开鼠标;在原处单 击并按住鼠标向左下方移动到圆周上线段起点处松开鼠标。 4、 将该文件保存为“圆内接三角形.gsp” 注意:画线段时,起点不要与圆周上的点重合;光标移动到圆上时,圆会变淡蓝色,注意状态栏 的提示 试一试:画一个过同一点的三个圆,并保存文件为“共点的三圆.gsp” (希望你能试一试,后面要用 到) 例 4、等腰三角形(画法一) 一、制作结果 拖动三角形的顶点,三角形形状和大小会发生改变,但始终是 等腰三角形,这就是几何的不变规律。 二、要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰。

三、操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图 2、画圆 3、画三角形 单击【直尺工具】 ,移动光标到圆周上的点处(即画圆时的终点,此时点会变淡 蓝色) ,单击并按住鼠标向右移动到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左上方移动到 圆圆心处松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠标。 4、隐藏圆 按“Esc”键(取消画线段状态)单击圆周后,按“Ctrl+H” 5、将该文件保存为“等腰三角形 1.gsp” 例5 线段的垂直平分线 一、制作结果 如图所示,无论你怎样拖动线段,竖直的线为水平线段的垂直平分线

二、要点思路 学会使用【直尺工具】画线段和直线,学会等圆的构造技巧。

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三、 操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图,画线段 。 2、画等圆 单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板线段的左端点单击一下按住

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并拖动鼠标到线段的右端点,松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点(即开始构造 圆的起点)松开鼠标。 3、画直线 选择【直线工具】 ,移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交 处单击后松开鼠标。 (光标到两圆相交处,两圆会同时变为淡蓝色) 4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键,取消画线段状态,单击圆周和交点后,按“Ctrl+H” 5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp” 你能否由上述作法联想到等边三角形的作法? 拓展:等边三角形的画法(一)

一、要点思路 学会等圆的构造方法,使用“同圆半径相等”构造等边 二、操作步骤 1、打开几何画板,建立新绘图 2、画等圆 单击【圆规工具】 ,然后拖动鼠标,将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动 鼠标到另一位置,松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点(即开始构造圆的起点) 松开鼠标。 3、画三角形 在画线段时,光标移到两圆相交处,两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标 4、隐藏两圆 按“Esc”键,取消画线段状态,单击圆周后,按“Ctrl+H” 5、 将该文件保存为“等边三角形 1.gsp” 例 6、直角三角形(画法一) 一、制作结果 拖动左边和上边的点可改变三角形的大小和形状,但始终是直角三角形。拖动 右边的点和三边可改变直角三角形的位置

二、要点思路 学会使用【画射线工具】 ;使用【选择工具】画交点;在圆上画线段;搞清楚 画直角的原理是:直径所对的圆周角是直角 三、操作步骤 回目录 1、打开几何画板,建立新绘图 2、画射线:移动光标到【直尺工具】上,按住鼠标不放,待【直尺工具】展开后,不要松开 鼠标,继续移动光标到射线工具上,松开鼠标,直尺工具变为 并按住鼠标拖动,到适当位置松开,就画出一条射线,如下图 。然后在画板绘图区单击鼠标

3、画圆及射线的交点:移动光标到射线和圆的交点处,单击。 注意:光标到射线和圆的交点处,射线和圆都会变为淡蓝色,状态提示栏的提示是: “单击构 造交点”

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4、画直角边 单击【直尺工具】 ,移动光标到射线的端点处(端点会变淡蓝色)单击并按住鼠 标向右上移动到圆周上松开鼠标;在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠 标。

5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射线后按快捷键“Ctrl+H”

6、画斜边 单击【直尺工具】 ,移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开 鼠标。 可能你会说,怎么这么繁,为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形,但这样画出的直 角三角形,由于没有定义几何关系,拖动任一顶点和边,不能保证它始终是直角三角形。 7、将该文件保存为“直角三角形.gsp” 从以上几个实例不知你是否意识到: 1)用几何画板绘制几何图形,首先得考虑对象间的几何关系,不是基本元素(点、线、圆) 的简单堆积。 2)点不仅可作在画板的空白处,也可以作在几何对象(除“内部”外)上。线段和圆的起点 和终点也如此,即不仅可作在画板的空白处,也可以作在几何对象上,即构造“点”与“线”的几 何关系。 3) 【选择箭头工具】不仅用于选择,还可用来构造交点。 4)在画点(或画圆、 、直线、线段、射线)时,光标移到几何对象(点和线)处,几何对象会 变为淡蓝色,此时单击鼠标才能保证“点” 、 “点”重合, “点”在“线”上。 5)对于绘制图形的辅助线,一般情况下不能删除,要不然相关对象都被删除了。只能选定按 快捷键“Ctrl+H”隐藏。

第三节:对象的选取、删除、拖动

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前面的叙述已涉及到对象的选取、拖动。几何画板虽然是 windows 软件,但它的有些选择对象 的选择方式,又与一般的 windows 绘图软件又不同,希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。 也希望通过本节的讲解,你对此有比较系统全面的了解 一、选择 在进行所有选择(或不选择)之前,需要先单击画板工具箱中的【选择箭头工具】,使鼠标处于 选择箭头状态。

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1、选择一个:用鼠标对准画板中的一个点、一条线、一个圆或其它图形对象,单击鼠标就可 以选中这个对象。图形对象被选中时,会加重表示出来。如下图所示: 选 择对 象 一 个点 过 程 描 述 选前状态 选后状态

用鼠标对准要选中的点,待光标 鼠标左键。

变成横向时

,单击

用鼠标对准线段的端点之间部分(而不是线段的端点) ,待鼠 一 条线 标变成横向的黑箭头 时,单击鼠标左键。 用鼠标对准圆周(而不是圆心或圆上的点) ,待鼠标变成横向 一 个圆 的黑箭头 时,单击鼠标左键。

2、再选另一个:当一个对象被选中后,再用鼠标单击另一个对象,新的对象被选中而原来被 选中的对象仍被选中(选择另一对象的同时,并不需按住“Shift”键,与一般的 windows 软件的选 择习惯不同) 。 3、选择多个:连续单击所要选择的对象(注意:在单击过程中,不得在画板的空白处单击(或 按“Esc”键) ) 4、取消某一个:当选中多个对象后,想要取消某一个,只需单击这个对象,就取消了对这个 对象的选择。 5、 都不选中:如果在画板的空白处单击一下(或按“Esc”键),那么所有选中的标记就都没 有了,没有对象被选中了。 6、 选择所有:如果你选择了画板工具箱中的选择工具,这时在编辑菜单中就会有一个“选择 所有”的项;如果当前工具是画点工具,这一项就变成选择“所有点”;如果是画线工具 或画图工具,这一项就变成“选择所有线段(射线、直线)或“选择所有圆”。它的快捷 键是“Ctrl+A”(请注意和反复练习这种选择同类对象的方式) 7、 选择对象的父母和子女: 选中一些对象后, 选择 “ 【编辑】 ” 菜单中的【选择父对象】,就可以把已选中对象的父母选中。类 似地,也可以选择子对象。如果一个对象没有父母,那么几何画 回目录 板认为它自己是自己的父母;同样,如果一个对象没有子女,那 么它自己是自己的子女。 所谓“父母”和“子女”, 是指对象之 间的派生关系。 如: 线段是由两点派生出来的, 因此这两点的“子 女”就是线段,而线段的“父母”就是两个点。 注意:画板最后构造对象,是处于选择状态。在选择对象之前最 好在在画板的空白处单击一下(或按“Esc”键)

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小技巧:选择多个对象还可以用拖框的方式,(和一般的 windows 软件相同)如下图:

你想要画图快捷,最好熟悉这种选择方式。 选择对象的目的是为了对这个对象进行操作。这是因为在 windows 中,所有的操作都只能作用 于选中的对象上,也就是说:必须先选择对象,然后才能进行有关的操作。在几何画板中,对选中 的对象可以进行的操作有:删除、拖动、构造、测量、变换等。 在这里,我们先介绍删除和拖动 操作。 二、删除 删除就是把对象(点、线或圆)从屏幕中清除出去。方法是:先选中要删除的对象,然后再选 择“编辑”菜单中的“清除”项,或按键盘上的“Delete”键。请注意,这时与该对象有关的所有对 象均会被删除,和一般的 windows 软件又不同,和数学思想倒很相近, “皮之不存,毛将附焉” 。 三、拖动 用鼠标可以选择一个或多个对象,当你用鼠标拖动已经选中的对象在画板中移动时,这些对象也 会跟着移动。由于几何面板中的几何对象都是通过几何定义构造出来的,而且几何画板的精髓就在 于“在运动中保持几何关系不变”,所以,一些相关的几何对象也会相应地移动。 当你拖动画板中的图形时,可以感受到几何画板的动态功能。请注意:在拖动之前,请按“Esc” 键,或点击【选择箭头工具】后,选定要移动的对象。 试一试 按下面的步骤进行拖动操作,注意观察图形变化的情况。 拖动前的图形 1 拖动操作 向下拖动 点B 拖动后的图形 解 释
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线段受点 B 控制,所以要 随着运动。 线段的方向不变,位置发 生改变,由于点 A、B 是 线段的父母,必须保持相应 关系, 所以两点也随之运动。

2

拖动线段 AB

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3

拖动点 B

点 B 是圆的父母,所以圆 的大小随着点 B 的移动而 变化。由于点 A 是自由的, 不受点 B 控制, 所以点 A 位 置保持不变。 点 A 是圆的父母,所以圆 的大小和圆心的位置随着 点 A 的移动而变化。由于点 B 是自由的, 不受点 A 控制, 所以圆总保持过点 B。 由于点 C 是圆的子女,受 圆的控制,所以,这个点只 能在圆上运动。

4

拖动点 A

5

圆由 AB 两 点定义, 点 C 为圆上 另一点, 拖动点 C。 画两条相 交线段, 用选 择工具画出 它们的交点 (请注意状 态条的提示 ) ,之后拖动 线段 CD。

6

当两线段不相交后,交点 就不显示了(此时交点无数 学意义) 。

在前面学习中,你是不是用画圆工具画了三个过同一点的圆,并把它保存为“共点的三 圆.gsp”的文件。现在请大家把这个文件调出来(选择【文件】菜单中的【打开】选项,选中文 件名后,按“确定”按钮)。 请大家任意选中一个圆随意拉动, 看这三个 圆是否还能“过同一点”? 拖动结果可能如下 图所示: 为什么图形会“散架”,可能作图过程是这 样的 (下面列出最典型的初学者 “画三个过一点 的圆”的方法,可能受传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响。)

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在拖动过程中,几何画板能够保持所有给定的几何关系,因为它就是根据几何关系来设计的! 那么,你思考一下,上述方法在画圆时,到底给定了什么样的几何关系? 我们知道, 圆是由两个点来决定的, 鼠标按下去的点即为圆心, 松开鼠标的点即为圆上的一点。 改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。 而在我们刚才的操作中, 我们所给的几何关系是: 每个圆都是由两个完全自由的点来决定的 (请 大家观察一下,图中共一个圆,六个自由点)。根据这样的几何关系,每个圆都可以随意地改变。 这就表明:在几何画板中,不能再象在黑板上那样,随手画出图来,而每时每刻都得考虑几何关系。 那么怎么能保证它们过同一个点呢?你按下面的步骤做做看? 步 骤 1 2 过 程 描 述 选择画圆工具。 画第一个圆:圆心为 A,圆上一点为 B。 作图结果 (无)

画第二个圆;在任意一点处按下鼠标键即规定了圆 心 3 C,拖动鼠标,对准点 B(注意状态栏的提示) ,并 在 B 点松开鼠标,即圆上的点为 B。

画第三个圆:在任意一点处按下鼠标键即规定了圆 心 4 D,拖动鼠标,对准点 B(注意状态栏的提示) ,并 在 B 点松开鼠标,即圆上的点为 B。

现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。 很显然,在这种做法中,由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点 B,因此不管如 何拖动这三个圆,它们都会经过点 B。 这就是几何关系!这就是保持几何关系!这就是在动态中保持几何关系!

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第四节:对象的标签
在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时,系统会自 动给您画的对象配标签。一般情况下,点的标签为从 A 开始的大写字母;线的标签是从 j 开始的小 写字母;圆的标签是从 c1 开始的,小写字母 c 带数字。

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如何为对象显示标签呢?前面我们已介绍过用【文本工具】对象的标签,即用鼠标单击画板工 具箱中的文本工具后,用鼠标(空心小手形状 )对准某个对象变成黑色小手形状 后单击,如

果该对象没有显示标签就会把标签显示出来,如果该对象的标签已经显示就会把这个标签隐藏起 来。 还有其他方式显示标签吗?有,那就是用菜单命令。 用鼠标选中一些没有显示标签的对象,单击菜单:【显 示】→【显示标签(L)】,就可以显示这些对象的标签。 如果所选中一些对象的标签都已经显示, 那么单击这个菜单 项后,这些对象的标签就会隐藏起来。 (注意其快捷键 “Ctrl+K”这是一个使用频率较高的键) 标签的位置还可以适当移动:用鼠标选中【文本工具】 (或【选择工具】)后,当如果用鼠标对准某个对象的标签, 鼠标变成带字母 A 的小手形状后,按下鼠标键拖曳鼠标,可 以改变标签的位置。 标签可以根据我们的需要改变 ,如果用带字母 A 的小 手形状鼠标双击某一个标签, 就会出现了这个标签附着对象 的属性框。用这个属性框可以根据需要,随意改变标签的字 体,字号,粗体,斜体,下划线,颜色等。标签可以是英文、 汉字、数字等,还可以有下标。 例 1、逐个对象的标签。(以正方体为例)

G H E D A F C

H

G

E D

F C

B

A

B

1、 显示顶点标签 单击【文本工具】,单击正方体的的每一个顶点。标签显示如图 2、 调整标签位置 当如果用鼠标对准某个对象的标签,鼠标变成带字母 A 的小手形状后,按 下鼠标键拖曳鼠标,可以改变标签的位置。
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3、 改变标签文字和加下标 用带字母 A 的小手形状鼠标双击点 E 的标签,就出现了点 E 的属 性对话框。把“E”改为“A[1]”后按“确定”按钮。同样改变点 F、G、H 的标签。如下图

D1

C1 B1

A1 D

C

A

B

4、 改变标签的颜色 单击点 A 属性框的“样式(T)” 按钮,打开标签样式的对话框,单击 “颜色”下拉框,选中红色,后按“确定”按钮,再按属性对话框的“确定”按钮,A 点 的标签就变为红色。见下右图:

D1

C1 B1

A1 D

C

A

B

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例 2:批量改变对象的标签(与有关等边三角形的课件为例)

k o

l

p n

m j

1、快速隐藏线段的标签 (如上左图):

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1) 2)

选择所有线段 单击【直尺工具】,按快捷键“Ctrl+A”(这种选取同类对象的方式, 希望引起你的注意) 隐藏线段的标签 按快捷键“Ctrl+K”

2、快速显示点的标签

B' C'

B' C'
C

A

B

A

B

C

1) 选择所有点 单击【点工具】,按快捷键“Ctrl+A” 2) 显示点的标签 按快捷键“Ctrl+K”。 按住标签,把标签移动到适当的位置(注意:在文 本工具或选择工具被选的情况下) 3、改变标签的字号和颜色 选中所有的点,在文本栏里改变字号和颜色。如仅是改变标签的 大小,选中标签所附的对象后,按快捷键“Alt+>”或“Alt+<”。

说明:标签不能直接被选取,只能选取他所附的对象,对象隐藏,标签也隐藏。显示或隐藏文本
栏的方法是:按快捷键“Shfit+Ctrl+T”。或单击菜单 本工具栏可以被拖动。 例 3:让系统自动为所画的点标上标签 步骤: 单击菜单【编辑(E)】→【参数选项(F)?】,就会出现“”参数选择”的对话框, 显示→显示(或隐藏)文本工具栏,文

单击 “文本”按钮,如下图,“所有新建的点”的前面打“√”然后按“确定”按钮
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不管你是是新手还是老手,在用几何画板进行绘画时,都会出现错误。在几何画板中,有几种 修改错误的方法。一般来说,用户都比较熟悉的方法就是“删除”。但在几何画板中删除必须十分 小心。因为,如果删除一个对象,那么这个对象对象的子女对象就同时被删除。 建议你使用“撤消”功能。你可以用【编辑】菜单中的【撤消】功能取消刚刚画的内容,复原到 前次工作状态:并可以一步一步复原到初始状态(空白画板, 或者本次打开画板的状态)。这个功能的快捷键是“Ctrl-Z”。 如果这时又不想“撤消”了,可以使用“重复”功能。快捷键 为“Ctrl-R” 如果按下拉菜单之前,按下 Shift 键,则“撤消”命令就变 成了“全部撤消”。快捷键是 Shift-Ctrl-Z。这是获得一个空 白画板文件的快速方法,俗称“擦黑板”。 如果有一个对象希望删除而又影响其他对象,那么就应当采 用隐藏的方法。隐藏的方法是:先选中要隐藏的对象,然后单 击菜单命令:【显示】→【 隐藏 对象(H)】”或按快捷键 “Ctrl+H”。(这是一个使用频率比较高一个快捷键)

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第二章:用构造菜单作图
通过第一章的学习,您是否明白用“工具框”作图,几乎可以作出所有欧几里德图形,实质上 和传统的尺规作图没什么两样(只不过电脑作出的图形是动态的,拖动点和线,能保持几何关系不 变,黑板上的图形是静态的,不能拖动) ,但仅靠“工具框”作图实在太慢了,例如,我们想要作 一条线段的中点,仅用工具作图,你想一想,通常要几步? 例:如图所示,用作图工具作一条线段 AB 的中点 C,通常需要以下几步。
D

A

C

B

E

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用作图工具作线段的中点,几乎和传统的尺规作图一样,至少要经过 3 步: 第一步 作两圆及交点: 分别以点 A 点 B 为圆心, AB 为半径画圆; 用“选择工具” 单击两圆相交处,作出两圆的交点 D、 E。 第二步 作线段 DE: 过两圆的交点作一条线段 DE 第三步 作中点 C: 用“选择工具”单击线段 AB 和 DE 相交处,得线段中点 C 有没有更简单的方法呢?有,只要你选中了线段,按快捷键“Ctrl+M” ,电脑就构造好了中点。 具体步骤如下: 作法: 1、选取线段: 用“选择工具”单击线段; 2、作中点: 由菜单“构造”→“中点” (或直接按快捷键“Ctrl+M” ) ,得到中点。 (图一) (图二)

(图三) (图四) 由上面的作法, 你是否想到,用 “作图工具”画出基本元素 (即 “点” 和“线” ) , 选取它们,用菜单命令或快捷键,就能让电脑自动快速作 出一些我们想要的基本图形,减少很多仅凭“作图工具” 作图的重复劳动。 您不妨先思考一下,中学数学教材里有关尺规作图的 基本问题都有哪些?是不是有“作一条线段的中点” ; “作 一个角的平分线” ; “过一点作已知直线的垂线(或平行 线) ” ,几何画板也考虑到了这些,其实还不仅仅这些。 用鼠标单击一下 “构造” 菜单, 让我们具体看一下 “构 造” 菜单里都有哪些基本构造。如右图所示:四条菜单 分隔线,把构造菜单分为五组:点型、直线型(线段、直 线、射线) 、圆型(圆、圆弧) 、内部、轨迹。它们是不是 包括了我们常见的基本作图?但它们全都是灰色的,也就
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是说,此时还不能对电脑下达命令(即菜单命令此时无效) ,因为你没有选取适当的点和线,具体 操作看下面的叙述。

第一节:点的作法

如右图所示: 几何画板的点作法分为三类: 对象上的点、 中点、交点。 1、对象上的点的作法:选定任何一个“对象”或多个 “对象” ,单击“构造”菜单→“对象上的点” ,电脑根据你 选取的对象,构造出相应的点,点可以在对象上自由拖动。这里的对象是可以是“线(线段、射线、 直线、圆、弧) ” 、 “内部” 、 “函数图像”等,但不能是“点” ,点上当然不能再构造点。这是一个动 态的菜单,选取的对象是“线段” ,这时菜单显示的是“线段上的点” ,选取的对象是“轨迹” ,这 时菜单显示的是“轨迹上的点”??。 小技巧:一般情况下,除“内部外” ,用“点工具”直接在对象上画出点(在画点状态下,用 鼠标对准对象单击) ,这样更快。 2、中点:选取一条线段,单击“构造”菜单→“线段的中点” ,电脑就构造出所选线段的中点 例 1 作三角形的中线

回目录 1) 画三角形 GHF:用“画线工具”画一个三角形,用“标签工具”把三角形的顶点标上字母。

2) 选定边 GH:用“选择工具”单击线段 GH。

作线段 GH 的中点:由菜单“构造”→“中点” (或按快捷键“Ctrl+M” ) 3) 连接 FI:用画线工具对准 F 点,拖动鼠标到 I 点后松开鼠标。 小技巧:为了方便快捷,允许你选取一条以上的线段,可同时画它们的中点,你不妨作下面的 练习。 练习:画三角形的中位线和中点三角形(连续单击线段后,按快捷键“Ctrl+M” )
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3、交点:选取两条(当且仅当选取两条)呈相交状态的线(线段、射线、直线、圆、弧)后, 点“构造”菜单→“交点” ,得两线的交点。 小技巧:一般情况,在选择状态下,用“选择工 击两线相交处,即得交点。你不妨练习一下: 画三角形的重心(1、画出一个三角形;2、画出三角形的中线;3、用鼠标直接点击中线相交处, 得重心,即右图所示,这样作是不是更快捷?) 具”单

第二节:直线型的构造

如图所示:直线型的构造包括:线段、射线、直线、平 行线、垂线、角平分线。 线段、直线、射线的构造: 想一想 线段、射线、直线的确定需要几点?你不会忘 记“两点确定一条线段(射线、直线) ”吧! 作法:选取两点,由菜单“构造”→“线段” (或“射线” “直线” )电脑就构造一条线段(或一条 射线或直线) 。 注意 1)如选取的点是画射线,第一个点为射线的端点 2)使用快捷键“Ctrl+L”能快速画线段,但也只能画线段。射线、直线没有快捷键。 3)如果是过两点画直线(或射线或线段)的话,在选取相应工具的状态下,用鼠标对准一 个点,按下鼠标移动到另一点,松开就得直线(或射线或线段) 。 4)选取两点以上也能画线段(射线、直线) 例、快速画中点四边形 作法: 1) 画出四点并选定:按住 Shift 键,用点工具画出四点(或,用点工具画出四点后,在选择状态下, 用鼠标拉出一个矩形框,框住这四点)
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2)顺次连接四点:按“Ctrl+L”

3)中点四边形:按“Ctrl+M” 后,作出四边中点,再按“Ctrl+L”连接中点,得中点四边形。

1、 平行线或垂线的作法:即过一点作已知直线(或线段或射线)的垂线或平行线,你想一想,作 垂线或平行线,需要选定什么?选定点和直线:1)选定一点 和一直线;或选定几点和一直线;或选定一点和几条直线, 菜单变成如下状态:单击菜单命令“平行线” “垂线”就能 画出过已知点且平行或垂直已知直线的平行线或垂线。 例1、 画平行四边形

作法: 1、用画线工具画出平行四边形的邻边,并用标签工具标上字母。 2、仅选取点 A 和线段 BC,单击菜单命令:构造→平行线(E) ,画出过 A 点且与线段 BC 平行的 直线;同样画出另一条过点 C 且与线段 AB 平行的直线;在两条直线的相交处单击一 下(注意:在选择状态下)得交点。 3、隐藏直线:选取两条直线,单击菜单命令:显示→隐藏 平行线 (注意:可以使用快捷键:Ctrl +H) 4、连接 AD 和 CD(可以用画线工具或菜单命令) 例2、 三角形的高
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作法: 1、画三角形 ABC 2、作垂线:仅选定点 A 和线段 BC,单击菜单命令: 【构造】→【垂线(D) 】就画出了过 A 点且垂
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直 BC 的直线;单击垂线和线段 BC 的交点处,得垂足点 D 3、隐藏垂线:选定垂线后,按快捷键 Ctrl+H 4、连接 AD 例3、 直角三角形的画法

作法: (先看图,看能否分析出作图思路?)

1、 画线段 AB 并在选择状态下,拖出一个框,选中点 A 和线段 AB 2、 单击菜单命令: 【构造】→【垂线(D) 】 ,

3、 作斜边:在画线段的状态下,对准 B 点单击,松开左键,移动光标到垂线单击。 4、 隐藏垂线:选中垂线,按快捷键“Ctrl+H”
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5、连接 AC 例 4、三角形的角平分线

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作法: 1、 画出三角形 ABC:用 画线工具画 出 △ ABC , 并用标签工 具标上字母 2、 画出∠BAC 的平分线与线段 BC 的交点 D:选定点 A、点 B、点 C(注意,角的顶点一定要第二 个选取),单击菜单命令: 【构造】→【角平分线】 ,在“选择状态”下用鼠标对准角平分线与线段 BC 的相交处单击 3、 隐藏角平分线: 在选择状态下, 先用鼠标在空白处单击一下后, 单击角平分线, 再按快捷键 “Ctrl +H” (等效菜单命令: “显示”→“隐藏” ) 4、 连接 A 点和 D 点:选定 A 点和 D 点后,按快捷键“Ctrl+L” (等效菜单命令: “构造”→“线 段” ) 练习:作出三角形的内心

第三节:圆型线的构造(圆、圆弧)
一、圆的绘制 1、 选定两点(有顺序) :选定两点后,单击菜单命令“构造”→“以圆心和圆周上的点绘圆”就可 以构造一个圆,圆心为第一个选定的点,半径为选定两点的距离。和“画圆工具”等效。

2、 选定一点和一条线段(没有顺序) :选定点和线段后,单击菜单命令“构造”→“以圆心和半径 绘圆”就可以构造一个圆,圆心为选定点,半径为选定的线段的长度。
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3、 等圆的画法:选定多点和一条线段(没有顺序) :选定多点和线段后,单击菜单命令“构造”→ “以圆心和半径绘圆”就可以构造多个等圆,圆心分别为选定点,半径为选定的线段的长度。

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结果如下:

例、 正三角形的快速画法(试一试,能否仅看图就能知道作图思路?)

画一条线段 1) 选择线段和端点 按“Esc”键,取消画线状态。拖出一个框,是线段和端点全在框里

2) 3)

画等圆 单击菜单命令: 【构造】→【以圆心和半径绘圆】 画三角形的另两条边 在画线状态下,光标对准线段左端点单击,松开左键,移动光标到两圆 相交处单击(注意状态栏) ,松开左键,移动光标到线段右端点单击

4)

隐藏两圆 按“Esc”键,取消画线状态,选中两圆,按快捷键“Ctrl+H”

4、 同心圆的画法: 选定一点和多条线段(没有顺序) :选定一点和多条线段后,单击菜单命令“构造”→“以圆心 和半径绘圆”就可以构造多个同心圆,圆心为选定点,半径分别为选定的线段的长度。 回目录

结果如下:

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注意:上述选定作为半径的线段可以用“带有长度单位的数值”代替,即半径可以是线段,也可以 是带有长度单位的数值。

结果如下:

二、弧的绘制: 1、 选定一个圆和圆上的两点(点有顺序) :选定一个圆和圆上的两点后,单击菜单“构造”→“圆 上的弧” ,就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点和第二点之间的弧。

结果如下:

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2、 选定特殊的三点 (第一点为, 另两点为端点的线段的中垂线上的点) : 选定三点后, 单击菜单 “构 造”→“圆上的弧” ,就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧,第一个点为 弧所在圆的圆心。

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结果如下:

3、 选定不在同一直线上的三点:选定三点后,单击菜单“构造”→“过三点的弧” ,就可以绘出按 逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三点之间的弧。

结果如下:

第四节:图形内部的构造
1、 多边形内部的构造:选定三点或三点以上后,就可构造多边形内部了,如三角形内部的构造: 选定三点后,单击菜单“构造”→“三角形的内部” ,就可以绘出由这三点决定的三角形的内部。

2、 选定一个圆(或几个圆) :选定一个圆(或几个圆)后,单击菜单“构造”→“圆内部” ,就可 以绘出这个圆的内部。

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3、 扇形(弓形)内部的构造:选定一段弧(或几段弧) :选定一段弧(或几段弧)后,单击菜单“构 造”→“弧内部”→“扇形内部”或单击菜单“构造”→“弧内部”→“弓形内部” ,就可以绘 出这段弧所对扇形或弓形的内部。

说明:这是一个动态的菜单,如选定的是四点,则此菜单显示的是“四边形的内部” ;如选定的是 五点,则此菜单显示的是“五边形的内部” ;如果选定的是圆,则此菜单显示的是“圆内部” ;如果 选定的是弧,则此菜单显示的是“弧内部” 。 注意: “内部”的快捷键是“Ctrl+P” ,但“弓形内部”没有快捷键。

第五节 点的轨迹的构造
让我们先看一道常见的数学题:

如图:P 为圆上任意一点,则线段 OP 中点 M 的轨迹是什么? 选定 P 点,单击菜单命令: 【显示】→【生成点的动画(A) 】

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结果如下:可以观察到点 P 在圆上运动,M 也跟着运动

要知道 M 的轨迹,先单击“运动控制台”的停止按钮,让动画停下了后,然后选定 M 点后,按快 捷键“Ctrl+T” ,跟踪点 P。仅选定 P 点后,再按“运动控制台”的播放按钮,就可观察到点 M 的 轨迹是什么。

但这样的轨迹按“Esc”就能清除掉,还不能保存。如何才能真真构造出点 M 的轨迹呢? 作法:选定点 P 和点 M(没有先后) ,单击菜单命令: 【构造】→【轨迹(U) 】 (注意:在作轨迹以 前最好按“Esc”清除掉 M 的暂时轨迹)

结果如下:

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你再按“Esc”键试试,看能否清除点 M 的轨迹?M 还可以是 OP 上任意一点,你试试?看它的轨 迹是什么 构造轨迹的前提条件是:选定两点,一点是在一条路径上的自由点和能够跟随此点运动的点即被动 点。路径可以是任何线(线段、直线、射线)轨迹、函数图像。 例1、 椭圆的画法(一)

看着左图, 你能分析出作图步骤吗?能知道 E 点的轨迹是椭圆的原因吗?选定两条直线以及点 E 和 点 B,按快捷键“Ctrl+H” ,则隐藏选中部分,得到右图。 作法: 1、 画一个圆和一条线段 线段的画法是:在画线段的状态下,把光标移到圆内,单击一下,松开 左键,把光标移到圆周上,单击一下,则得线段 CD。

2、 作线段 CD 的垂直平分线和直线 AD 直线 AD 的作法是:在直线状态下,对准 A 点单击,松 开左键,移动到点 D 单击。 3、 交点 在选择状态下,单击两直线的交点处,得交点 E。

4、 构造轨迹 选定 E 点和 D 点,单击菜单命令: 【构造】→【轨迹(U) 】

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隐藏不必要对象 选定圆、两直线、点 E、D、B 试一试:把 C 点拖到圆外,看轨迹有什么变化?

综合实例:
一、矩形的画法(一)

作法:

1、画一条线段 AB,并选中线段和端点(可用如图所示的方法选中) 2、单击【构造】→【垂线(D) 】

3、画点 在画点状态下,光标对准左边垂线单击。 4、画垂线及交点 选所画点和左边直线(可以用拖框的方法) ,单击【构造】→【垂线(D) 】 ;光

标对准所画垂线和右边的垂线的相交处单击。

4、隐藏垂线 选中三条直线后按快捷键“Ctrl+H” 5、 画三条边 二、 正方形的画法(一)
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(试一试 由右图你是否得出此种构造正方形的思路)
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作法:

1、 画一条线段并选中它及端点 和线段都在里面

画一条线段后,按“Esc”键,拖动鼠标画一个虚线框选择,让点

2、 画垂线 单击【构造】→【垂线(D) 】 。按“Esc”键取消对垂线的选择

3、 画等圆

用鼠标连续单击线段和它的端点后,单击【构造】→【以圆心和半径绘圆( R) 】 ,按

“Esc”键取消对圆的选择 4、 画正方形的三条边 5、 隐藏圆和直线 选中圆和垂线后,按快捷键“Ctrl+H” 三、菱形的画法(一) (试一试 由下图你是否得出此种构造菱形的思路)

作法: 1、 画一条线段并选中左端点和线段 2、 单击【构造】→【以圆心和半径绘圆(R) 】 ,按“Esc”键取消对圆的选择

3、 画一条半径 4、 作平行线及交点 5、 隐藏直线和圆 6、作菱形的另一组邻边。
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第三章

用变换菜单作图

观察下图,不难看出,这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的,

求下面图形中阴影部分的面积,会涉及到轴对称变换

数学中所谓“变换” ,是指从一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变,在几 何画板中,研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、迭代等变换。 几何画板中实现图形的变换,有两种方法,一种是前面学习过的变换工具,另一种方法就是现 在介绍的变换菜单。

一、学习目标 1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象; 2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象,会按“标记”平移对象; 3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象; 4、会基于“标记的镜面” (对称轴)作轴对称;
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5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。 说明: “变换”菜单中的命令项是否可用,取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项 的前提条件。另外,对于“旋转” 、 “缩放” ,要基于一个标记中心,对于“反射” ,要先“标记镜面” 。 如果要按可变的量进行变换,还要标记相关的量。 不过,在 4.0 版中,还有一些比较另类的用法,即使你事先没有标记中心,仍然可以选中对象, 在弹出“旋转”或“缩放”对话框后,再在工作区中单击一点,此点可以被标记为中心,这种方法 也可以用于改变事先标记好的中心;同样,标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一 个角度值来实现;标记距离就比较特殊,如果事先没有标记,在弹出平移对话框后也可以单击工作 区中的一个或两个距离值来标记;标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比 值、无单位的参数、两条线段(单击的顺序会影响比值)等方法来立即标记一个比。 每个菜单项的详细使用方法见附录,在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方 法 二、功能范例 (一)旋转对象 例 1 画一个正方形 运行结果: 画一个正方形,拖动任一顶点改变边长或改变位置,都能动态地保持图形是一个正方形。 基本思路: 本例将学习按固定的角度来旋转对象, 1、画一条线段,用来做正方形的一边; 2、双击左端点,标记为中心,选中线段和右端点,绕标记的中心旋转 900(逆时针方向) ,得 第二条边; 3、双击第一条线段的右端点,标记为中心,选择第一条线段和它的左端点,绕标记的中心旋 转-900(顺时针方向) ,得第三条边; 4、连结出第四条边。 操作步骤: 1、画线段 AB。 2、用选择工具双击点 A,点 A 被标记为中心。 3、用选择工具选取点 B 和线段 AB,由菜单“变换”---“旋转” ,在弹出的“旋转”对话框中 作如图 1 的设置。

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图1 4、双击点 B,标记新的中心。 5、用选择工具选取点 A 和线段 AB,由菜单“变换”---“旋转” ,在弹出的“旋转”对话框中 作如图 2 的设置。

图2 6、连结上方两个顶点得第四边。 拓展应用: 1、本例的方法可以用来作任意的正多边形,只要计算出正多边形的内角,旋转时按内角度数 进行即可,但这并不是最方便的方法,具体请参阅深度迭代画正多边形。 2、并不是每次用正方形都要从头来画,事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具, 请参考相关的章节。 3、画正方形的方法比较多,本例介绍的是较为简便的一种,其余方法请自行尝试。 例 2 中心对称

运行结果:

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拖动点 F,使∠DEF 从 00 到 1800 变化,

中间结果

最后结果 基本思路: 本例将在前面学习的基础上,学习“按标记的角”旋转对象,同时能通过改变角的大小来动态 演示对象的旋转过程。 1、为了方便观察,连结对称中心和各关键点间的虚线段,让研究对象和虚线段绕对称中心旋 转 1800,形成中心对称, ; 2、画一个角并标记这个角; 3、再次选择原来的对象及虚线段,按标记的角旋转; 4、拖动标记的角为 00,观察到的图形为中心对称,拖动标记的角从 00 到 1800,可以看到旋转 1800 后重合的过程。 操作步骤: 1、准备工作,完成到如图 3。

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2、用选择工具双击点 O,标记为中心。 3、同时选择点 A、B、C,线段 AB、AC、BC、OA、OB、OC,绕点 O 旋转 1800,得如图 4。

图4 4、用选择工具确保按顺序点 D、E、F 选中这三点,并注意不要多选其它对象,由菜单“变换” ---“标记角” ,如果标记成功,会看到一段小动画。 5、同时选择点 A、B、C,线段 AB、AC、BC、OA、OB、OC,由菜单“变换”---“旋转” , 在弹出的对话框中作如图 5 的设置。

图5 6、为便于观察,改按角度旋转所得的所有对象为红色,如图 6。

图6 7、拖动点 F,使线段 EF 与 ED 重合,可以看到红色三角形与△ABC 重合。 说明:本例中标记的角度是图形,这种情况要注意选取三个点的顺序,按“边上的点、顶点、 边上的点”来选,如果选择时按逆时针方向,标记的是正角;按顺时针方向,标记的是负角,这将 影响对象的旋转方向。 标记的角也可以是度量角所得的度数(这时只能是正角) ,还可以是由计算器计 回目录
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算出来的度数(可正可负) 。 练习: 1、用旋转交换的方法画一个正三角形,并与前面用工具画正三角形的方法比较,你觉得哪种 方法简便些? (二)平移对象 平移是指:对于两个几何图形,如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系, 并且以一个图形上任一点为起点,另一个图形上的对应点为终点作向量,所得的一切向量都彼此相 等,那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换,又是一个保角变换。 几何画板中,平移可以按三大类九种方法来进行,其中的有些方法事先要标记角、标记距离或 标记向量。 在极坐标系中最多可以组合出四种方法,如图 7

图7 在直角坐标系中可以组合出四种方法,如图 8 按标记的向量平移有一种方法,如图 9

图8

图9
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例3

画一个半径为 2 cm 的圆

运行结果: 得到一个半径为 2 cm 的圆,无论如何移动位置,半径保持不变。 基本思路: 根据勾股定理,让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移 1cm,得到的点与原来 的点总是相距 2 cm,然后以圆心和圆周上的点画圆即可。 操作步骤: 1、画一个点 A。 2、选取点 A,由菜单“变换”---“平移” , 在弹出的对话框中作如图 10 的设置,平移后得如 图 11。

A' A
图 10 图 11 3、选中这两点, (先选的为圆心) ,由菜单“构造”---“以圆心和圆周上的点绘圆” 。 4、最后得如图 12,无论如何移动,圆的半径固定为 2 cm。

图 12 例 4 全等三角形 运行结果:
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图 13 拖动点 F 在线段 DE 上移动,可演示两个三角形重合和分开,可用来说明全等形。 基本思路: 本例学习根据标记的向量平移对象, 1、画好一个三角形。 2、另画一条线段(为方便观察,画成水平线) 。 3、在线段上画一点。 4、标记线段左端点到线段上一点的向量。 5、将三角形按标记的向量平移。 操作步骤: 1、画△ABC。 2、画线段 DE,在 DE 上画一点 F; 3、用选择工具先选取点 D,后选取点 F,由菜单“变换”---“标记向量” ,标记从点 D 到 F 的 向量。 4、选取△ABC 的三边和三个顶点,由菜单“变换”---“平移” ,在弹出的对话框中作如图 14 的设置(如果标记好向量,会自动设置为按标记的向量平移) 。

图 14 5、用文本工具标记新三角形的三个顶点,最后如图 13 所示。
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例 平行四边形的画法 前面在学习构造菜单时,我们学习过根据平行四边形的定义,用构造平行线的方法来画一个平 行四边形,这种画法对于一般情况下是没有问题的,但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法 则,你会发现当两个向量共线时,无法构造平行线的交点,因而就无法正确表示两个向量的和。 本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形,这样的平行四边形可以正确演示向量加 法的平行四边形法则。 操作步骤: 1、新建一个几何画板文件。 2、用“画线段”工具和“文本工具”先完成如图。

3、用“选择工具”按顺序选取点 A、B,由菜单“变换”---“标记向量”标记一个从点 A 指向 点 B 的向量。 4、确保只选中线段 AD 和点 D,由菜单“变换”---“平移” ,设置线段 AD 和点 D 按向量 AB 平移,如图。

5、作出第四条边,改第四顶点标签为 C。

(三)缩放对象 缩放是指对象关于“标记的中心”按“标记的比”进行位似变换。 其中标记比的方法有: (1)选中两条线段,由菜单“变换”----“标记线段比例” (此命令会根据选中的对象而改变) , 标记以第一条线段长为分子,第二条线段长为分母的一个比,这种方法也可以事先不标记,在弹出 “缩放”对话框后依次单击两条线段来标记。 (2)选中度量得的比或选中一个参数(无单位) ,由菜单“变换” ---“标记比例系数” ,可以 标记一个比。在弹出“缩放”对话框后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。 (3)选中同一直线上的三点,由菜单“变换”---“标记比例” ,可以标记以一、
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三点距离为分子,一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便,根据方向的变化,比 值可以是正、零、负等。 例 5 相似三角形 运行结果: 通过拖动点 F,让图形动态发生变化,以下三图是 F 点所在三个不同位置对相似三角形位置的 影响:

基本思路: 1、由在同一直线上的三个点标记一个比。 2、让三角形以其中一个顶点为中心,按标记的比缩放。 3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。 操作步骤: 1、画△ABC。 2、画一条直线,隐藏直线上的两个控制点,如图 16。

图 16 3、在直线上画三个点 D、E、F,用选择工具依次选取点 D、E、F,由菜单“变换”---“标记 比例” ,标记一个比。 4、选取三角形的三边和三个顶点,由菜单“变换” ---“缩放”弹出缩放对话框
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后如图 17 下设置。 单击点 A,确保对话框中的旋转中心为 A,

图 17 5、拖动点 F 在直线上移动,可以看到相似三角形的变化,还可以通过度量相关的值来帮助理 解。 (四)反射对象 反射是指将选中的对象按标记的镜面(即对称轴,可以是直线、射线或线段)构造轴对称关系。 但并不是所有的对象都可以反射,例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框,反射前必须标 记镜面,否则即使能够进行反射,得到的结果一般不会是你想要的。 例 6 轴对称 运行结果: 从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状,可以观察到动态保持的对称关系和相关性 质。

基本思路: 1、画一条直线并标记它为镜面; 2、在直线的一旁画一个三角形; 3、选取这个三角形的全部,进行反射; 4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置,可以观察到轴对称的相关性质。 操作步骤:
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1、用画直线工具画一条直线。 2、选中这条直线,由菜单“变换”---“标记镜面” ,标记这条直线为对称轴。 3、在直线的一旁画一个△ABC,结果如图 18。

图 18

图 19

4、选取△ABC 的全部,由菜单“变换”---“反射” ,并用文本工具标记反射所得的三角形的顶 点,得如图 19。 例 用对称变换画一个等腰三角形。 本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。 操作步骤: 1、新建一个几何画板文件。 2、先用工具完成到如图。

3、用“选择工具”双击线段 AD,标记为镜面。 4、确保只选取了点 B 和线段 AB,由菜单“变换”---“反射” ,得如图。

5、隐藏点 D 和线段 AD,按 Ctrl+H,隐藏这两个对象。 6、画出第三条边,并改第三个顶点的标签为 C,如图。

任意拖动三个顶点之一,可以看到,无论形状如何改变,△ABC 始终是等腰形。
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(五)迭代与深度迭代 问题:我们用旋转变换不难画出正多边形,但边数太多,如要画正十七边型,如图所示,你不 嫌繁的话,得用旋转变换 16 次,那么有没有简单的方法呢,有,那就是“迭代”

A

A

B

B'

B

B'

例 1、正十七边形的画法 操作步骤: 1、画两个点,让 B 点围绕点 A 旋转

360? 得 B? ,连接 BB? 。 17

2、选定 B 点,单击菜单“变换”→“迭代” ,出现下面对话框

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3、单击 B? ,对话框变为上图,注意到“迭代规则数:3” ,图形在原有的基础上,增加了 3 条 线段。 (想一想,应让计算机重复画几条线段?) 4、重复按小键盘上的“+”键,直到迭代规则数变为 16(也就是要让计算机重复画 16 条) , 注意工作区中图形的变化

5、单击“迭代”按钮,正十七边形构造完毕,如上图: 迭代变换使用的前提条件:1)选定一个(或几个)自由的点,即平面上任一点,或线(直线、 线段、射线、圆、轨迹)上的任一点,如上例的 B 点。2)由选定的点产生的目标点(不要选定,出 现迭代对话框后,再选) ,如线段的中点,或由选定点经过变换产生的点
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当然迭代的对象还有参数,请看进阶篇:再说迭代 迭代的深度(即重复的次数) ,可用参数控制,即深度迭代,请看例 2 例 2、正 n 边形的画法

运行结果: 如图,选定参数 n,按小键盘上的“+”或“-”键,可改变 n 的值,从而改变多边形的边数, 即得到正 n 边形(这在黑板上是画不出的) 。 基本思路: 1、画两个点,标记其中一个点作为正 n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点; 2、 “新建参数”n,用 3600 除以 n,得正 n 边形的圆心角; 3、选取圆心角后“标记角度” ,让第一顶点绕中心按“标记的角度”旋转,得第二顶点; 4、选取参数 n、进行第一顶点到第二顶点的“深度迭代” ; 5、选取参数 n,按小键盘上的“+、-”键可以改变参数,得到动态的正 n 边形。 操作步骤: 一、准备工作(确定旋转角的度数和迭代的深度) 1、 按“alt+=”键,调出计算器,输入“360°÷” ( “°”由单位按钮输入) 2、 单击计算器的“数 值”按钮

3、 单击“新建参数” 按钮 4、 将新建参数的对话 框改为下图

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5、 单击新建参数的对话框的“确定按钮”后,单击计算器上的“确定按钮” ,再调出计算器, 计算 n-1。画出点 A 和点 B,如下图所示

6、让 B 点,绕点 A 旋转“

360? ,得 B? ,连接 BB? 。如下图所示: ? 60? ” n

二、深度迭代 1、同时选取点 B、 “n-1=5” ; 2、按住 Shift 键不放,单击菜单“变换”→“深度迭代”弹出如图 5 的迭代对话框;

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图5 说明:此步如不按住 Shift 键,菜单中的命令项是“迭代” ,几何画板中部分菜单项会根据按键、 工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正 n 边形,必须用深度迭代。 3、单击工作区中的点 B? ,使图 5 中“初象”下面框中的问号变成 B? ,单对话框中的“迭代” 按钮。 4、本例至此基本完成,选取工作区中的参数 n,用小键盘上的“+、-”键可以改变 n 的大小。 说明:参数可以减少到 2 以下甚至负数,这时已不能构成多边形,在进阶实例中,大家会学习 到控制参数大于或等于 3 的技巧。 图 6 为当 n=6 时的图形。

本章小结: 通过本章学习,大家可以看到,利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些 特点。前面章节的方法中,主要是根据图形本身的定义来作图,作图过程需要用的辅助对象较多, 步骤较繁。运用变换菜单作图,大多是根据图形的几何性质来作,这样做的优势在于,作图速度快, 可以精确作图。

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第四章

动作按钮的制作

我们在制作课件时总是希望自己能够控制对象的运行,例如对象的显示和隐藏,物体的移动和 动态效果的实现,页面的跳转和链接的控制等等。这些在几何画板都是通过对按钮进行设置来实现 的。在几何画板 4.0 版本中的【操作类按钮】有【隐藏/显示】 、 【动画】 、 、 【移动】 、 【系列】 、 【链接】 、 【滚动】共六个能生成可操作按钮的命令(如图 1).通过这些命令制作出具有相应功能的按钮,再 通过这些按钮对相关对象进行操作。下面就让我们通过一些实例来学习这些按钮的制作。

(图 1)

第一节 【隐藏/显示】按钮的制作
例 1:隐藏与显示的切换 (1)在工作区中画出一个三角形,画矩形框选中三角形,如图 2。 (2)选择【编辑】/【操作类按钮】/【隐藏/显示】命令,生成【隐藏对象】按钮,如图 3. 单击该按钮,△ABC 在工作区中隐藏起来,按钮变成【显示对象】,如图 4.单击【显示对象】按钮, 隐藏的三角形又显示出来,按钮又变成【隐藏对象】.在这里通过一个【隐藏/显示】切换按钮控制对 象的显示或隐藏.

例 2:熟悉“隐藏/显示”按钮的属性

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如果我们想实现这样一个效果,在隐藏一个三角形的同时,显示一个正方形;而当隐藏显示的正方形时, 隐藏的三角形又显示出来.要制作出这样的效果,就要熟悉【隐藏/显示】按钮的属性. (1)选中工作区中 △ABC,按上面的操作再生成一个【隐藏对象】按钮. (2)右键单击【隐藏对象】按钮,打开【隐藏对象的属性】对话框,如图 5,动作选择【总是显示对象】 (3)右键单击另一个【隐藏对象】按钮,打开属性对话框后,属性选择【总是隐藏对象】 这时三角形的显示和隐藏通过两个按钮来控制,如图 6,单击【显示对象】按钮显示△ABC,单击【隐 藏对象】按钮,隐藏△ABC.

例 3.【系列】按钮的制作 (1)接上例,隐藏△ABC 后,在工作区中画出正方形 ABCD,用上面的方法制作两个按钮,属性分别 设置成【总是显示对象】和【总是隐藏对象】,如图 7. (2)依次单击图 6 中的【隐藏对象】按钮和图 7 中【显示对象】按钮,选则【编辑】/【操作类按 钮】/【系列】命令,打开【系列对象属性】对话框,如图 8.

(3) 单击 【标签】 在 【标 签】栏中输入正方形,如图 9.单击【确定】按钮,这时 生成【正方形】按钮; (4) 依次选中图 7 中的 【隐藏对象】按钮和图 6 中的【显示对象】按钮,向 上面一样生成一个系列按 钮,名称改为三角形. (图 9)
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(5)保留【正方形】和【三角形】两个按钮,选中其它按钮后,按 Ctrl+H 键隐藏,最后效果如图 10. 单击【三角形】按钮依次正方形显示三角形,单击【正方形】依次三角形,显示正方形.

第二节 【移动】按钮的制作
在上一节介绍了【隐藏/显示】按钮的制作,通过该按钮可以控制对象的隐藏和显示.本节我们来 学习如何通过【移动】按钮来控制对象的移动.在【操作类按钮】中有【移动】名令(如图 1).当我们 在工作区中依次选中点 A 和点 B 后,选择【编辑】/【操作类按钮】/【移动】打开【移动属性】对话 框,根据需要选择适当的速度,单击【确定】后在工作区中生成一个【移动按钮】 (如图 11).单击该 按钮时点 A 向点 B 移动.和点 B 重合时停止.

如果想实现文本的移动 ,可以把文本合并到点 ,然后按上面的步骤生成点的移动按钮 ,再隐藏点.便可 以通过按钮控制文本的移动了. 例 4:三角形的平移的制作. (1)在工作区中画出△ABC,并选中整个三角形,如(图 12). (2)选择【变换】/【平移】命令,打开平移对话框,如(图 13).在【固定距离】窗口输入 5,在【固定 角度】窗口输入 0.单击【平移】按钮,得到△A'B'C',如(图 14). 这样得到的△A’B’C’,会随着△ABC 的形状改变而改变,两个图形形状总是全等.

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(3) 在工作区中画出任意三角形 DEF, 依次选择 D、 B、F、C、E、A。如(图 15).选择【编辑】/【操作类 按钮】 【移动】 / 命令,打开属性对话框,速度设置为 【高 速】,得到【移动点】按钮(1). (4).依次选择 D、B'、F、C'、E、A',选择【编辑】 /【操作类按钮】 /【移动】,在属性对话框中速度设 置为【中速】得到【移动点】(2)按钮; (5) 单击文本工具后,依次单击△DEF 的三个顶点, 隐藏点的标签. (6)选中△DEF,制作两个“显示/隐藏”按钮,属性分别设置为【总是显示对象】和【总是隐藏对 象】. (7). 依次选择【移动点】(1)、 【显示对象】 、 【移动点】(2)、 【隐藏对象】 ,打开【编辑】/【操作类 按钮】/【系列】的对话框,属性设置为【依序执行】,时间间隔设置为 0 秒.确定后得到【顺序 4 动作】 按钮.用文本工具双击该按钮,改其名称为【平移】.最后效果如(图 17).

单击【平移】按钮后,从△ABC 处有一个和它全等的三角形平移到△A’B’C’,和△A’B’C’重合.托动三 角形的顶点,任意改变三角形的形状后,再次单击【平移】按钮,移动的三角形仍然保持和工作区中的 两个三角形全等.

第三节 【动画按钮】的制作
几何画板真正激动人心的是动画效果的实现,利用动画功能可以制作出很多赏心悦目的作品。 下面让我们通过实例学习“动画”按钮的制作。 例 1:点在线段上的动画 (1)在工作区中画线段 AB 和 CD,且点 C 在线段 AB 上(如图 18). 选点 C(如图 19).

(2)打开如图 1 的操作类按钮菜单,选择【动画】 命令出现如(图 20)的动画框.单击确定后在工作区 中出现一个【运动点】按钮,可通过该按钮来控制 点 C 在线段 AB 上的运动.

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例 2:点在圆上的动画 (1)在工作区中画圆 O 和线段 AB,如图 21。 (2)单击点 A 和圆周,如图 22。 (3)选择“编辑”菜单下的“合并点到圆”命令,点 A 移动合并到圆周上,如图 23。 (4)再打开(图 20)的对话框,制作一个动画按钮。 这样可以通过按钮来控制点在圆上的动画。

O A B ( 图21)

例 3:同时控制几个点的动画 前面的例子是用一个按钮控制一个点的动画,还可以用一个按钮同时控制几个点的动画。 (1)在工作区中画出下面的图形(如图 24) ,点 C 在 AB 上,点 F 在圆周上。

A

C B F D E

(图 24)

(2)分别单击选点 C 和点 F(如图 25)

(3)打开“操作类按钮”的动画属性对话框, (如图 26),可以根据需要进行相关设置. (4) 单击”确定”后,生成一个按钮,通过此按钮可 以同时控制点 C 和点 F 的运动.

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例 4:参数的动画 除了设置图形对象的动画外,还可以设置参数的动画。几何画板中的参数是不同于度量值和计 算值的能够独立存在的一种数值,它的建立不依靠具体的对象。使用参数可以进行计算、构造可控 制的动态图形、建立动态的函数解析式、控制图形的变换、控制对象的颜色变化等等。参数具体的 应用我们在后面有专题介绍,这里只说明如何通过按钮控制参数的动画。 (1)建立参数。 单击【图表】菜单,选择【新建参数】命令后出现如图 27 的对话框,参数默认无单位,也可 以建立带单位的参数。单击确定后,在画板工作区便出现了参数,如图 28。 (说明:还可以通过【度 量】/【计算】命令新建参数。 )

(图 27) (2)参数的动画 选中参数后,选择【编辑】菜单下的【操 作类按钮】下拉菜单中的【动画】命令,打开参 数的动画属性对话框(如图 29), 根据需要进行相 关设置。 单击确定后, 在工作区中出现一个运动 参数按钮, 单击此按钮参数按设置进行变化。 单 击确定后, 在工作区中生成一个控制参数动画的 按钮。

(图 28)

(图 29)

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第四节 “链接”按钮的制作
操作类按钮中还有一个“链接”命令,使用此命令可以链接到因特网上的资源、进行本机文件 的超级链接,还可以实现几何画板文件中页 面的跳转”/“链接”的属性对话框如图 21。 此时可以在超级链接的信息栏中输入网址 链接到因特网上的资源。 (2)实现本地文件的超级链接 如果想在几何画板工作区中设置一个 按钮,单击该按钮来打开 D 盘下 My Music 文件夹中一首 flash 制作的歌曲 notenough, 可以在图 21 的信息栏中输入 D:\My Mymusic\notenough.swf,然后单击确定完成。 要注意文件名后必须要加扩展名,否则链接 不成功。 (3)链接到几何画板文件中不同的页面 在多页面的几何画板文件中要实现页面的跳转可以通过“链接”按钮来实现。在“链接”的属性对 话框中点选页面,如图 31,单击下拉箭头,显示本文件中所有的页面如图 32,单击所要跳转的页 面名称,在工作区中生成一个按钮,单击该按钮可跳转到所链接的页面。

第五节 滚动按钮的制作
“操作类按钮”的最后一个是“滚动”按钮, 它的使用是当页面内容很多,无法全部显示。可 以通过该按钮控制整个屏幕的滚动。具体操作如 下: 在工作区中画一个点并选中该点, 打开 “滚动” 属性对话框,选择滚动方向后单击“确定”后生 成一个“滚动”按钮,单击该按钮整个屏幕(随 着点)进行滚动。
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第五章

熟悉智能化菜单

我们知道,在几何画板中所有的命令都可以在菜单栏找到.而在几何画板 4.03 版中菜单的智能性 比以前的版本有了增强.下面我们通过一些实例对几何画板 4.03 版本的菜单命令进行介绍: 1.【分离/合并】命令: 在【编辑】菜单下您会找到该命令.运用它可以把一个对象合并到另一个对象,或者把合并的对象分 离开.随着选取对象的不同,此命令的名称会相应改变.通过该命令可以实现如下效果. ①点与点的合并与分离 如果你用画线工具画一个三角形,不小心画成了(图 1-1),这时您可以依次选中点 D 和点 A,如(图 1-2),选择【编辑】/【合并点】,如(图 1-3),得到(图 1-4).这时再打开【编辑】菜单,刚才的【合并点】 命令变成了【分离点】如(图 1-5),单击后点 A 又分成两个点如(图 1-6).

②点与线的合并与分离 如果我们想把(图 1-4)的三角形变成直角三角形,用分离/合并的命令也能实现. 依次选中点 B 和线段 BC,选择【构造】/【垂线】命令,得到 BC 的垂线,如(图 2-1);依次选中点 A 和垂 线,如(图 2-2),选择【编辑】/【合并点到垂线】如(图 2-3),合并后如(图 2-4),这时打开【编辑】菜单, 刚才的【合并点到垂线】命令已经变成了【从垂线中分离点】,如(2-5).单击该命令后点与垂线分离, 如(图 2-6).

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说明,运用上面的方法同样还可以实现点到线段、圆、圆弧、多边形内部、圆内部的合并与分离,【合 并/分离】命令会随对象的不同而进行相应的改变.这里不在赘述,请读者朋友自己试验。 ③ 文本与文本的合并

单击【属性】命令,打开【属性对话框】,单击【父对象】的 下拉箭头如(图 3-4)

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单击父对象下的名称,如(图 3-5),把【隐藏】前的“√”取消,隐藏的对象便可以显示出来了。 【说明】 :这里介绍的只是把几个文本简单的合并成一个。如果希望合并后文本具有某些特殊的形 式,可以运用【模板】来实现。关于【模板】的运用请参考专门介绍【模板】的文章。 ④ 文本和度量值的合并 可以把对象的度量值看做是一个文本,和其它文本进行合并。如(图 4-1)度量出了△ACD 的高 AB 的值,再输入“△ACD 的高=” ,依次选中“△ACD 的高=”和度量值,选择【编辑】/【合并 文本】命令效果如(图 4-2).合并后的文本中的度量值应保持动态性,也就是当改变 AB 的值时,合并的 文本中的值相应改变.

⑤ 参数与文本的合并 几何画板 4.03 的参数功能有很广泛的运用,在这里我们来学习如何把一个动态的参数与文本合并.先 打开【图标】/【新建参数】对话框,如(图 5-1),把名称改为 a,如(图 5-2),单击确定,这时工作区中出现 新建的参数 a=1.0.

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在工作区中用【数学符号面板】输入 x2,然后用上面合并文本的方法把参数 a 和 x2 合并,如(图 5-3)

合并后参数 a 处于隐藏的状态,可以参考③,把隐藏的参数显示出来.这里的参数 a 是动态的,可以选中 参数 a=1.0 后用键盘上的“+” “-”键来控制参数的改变,也可以选中参数后选择【编辑】/【操 作类按钮】/【动画】命令来动态改变参数的值,令人兴奋的是在改变参数 a 的值时,合并到文本中的 参数值也进行相应的改变.这样我们就可以实现一些很直观的效果,例如动态解析式的实现,关于动态 解析式的实现有专题介绍,请大家参考. ⑥ 文本与点的合并 您如果看到几何画板中的动态字幕时,在佩服作者的同时一定自己也想尝试一下,想做出同样的效果 来.其实很简单,动态字幕实际上是通过点的运动实现的 .只要把要实现动态的字幕合并到一个点上 , 然后通过点的运动就可以控制字幕了 . 但这里关键的一步是当依次选中文本和点后 , 必须要按住 【Shift】键,【编辑】菜单中才会出现【合并文本到点】命令.

2.【构造】菜单的命令 ① 构造线段 在工作区中用画点工具画出点 A 和点 B,依次选中点 A 和点 B,如(图 6-1);选择【构造】/【线段】命 令,得到线段 AB,如(图 6-2)

按住 Shift 键不放,在工作区中画出点 A、B、C,如(图 6-3); 选择【构造】/【线段】命令,得到线 段△ABC,如(图 6-4)

按住 Shift 键不放,在工作区中画出点 A、B、C、D、E,如(图 6-5); 选择【构造】/【线段】命令, 得到五边形 ABCDE,如(图 6-6); 在工作区中画出 A、B、C、D、E 五个点,然后按 A、C、E、B、D 的顺序依次选中这五个点,如 (图 6-7) ,选择【构造】/【线段】命令,得到五角星 ABCDE,如(图 6-8);

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通过上面几例,我想您已经掌握【构造线段】的命令可以完成哪些工作了,尤其是五角星的构造方 法,是不是感到很方便啊。 ② 构造圆 方法一: 在工作区中用画点工具画出点 A 和点 B,依次选中点 A 和点 B,如(图 7-1);选择【构造】/【以圆心和 圆周上的点绘圆】命令,得到⊙A,如(图 7-2)

本例通过两个点来构造圆,注意先选的点为圆心. 方法二: 在工作区中用画点工具画出点 O 和线段 AB,依次选点 O 和线段 AB,如(图 7-3);选择【构造】/【以圆 心和半径绘圆】命令,得到⊙O,如(图 7-4)。这样构造的圆可以通过改变线段的大小来调整圆的大小。

本例通过点和一条线段来构造圆,还可以度量出线段的长度,用点和度量值来构造圆. 方法三: 画出⊙O1 和⊙O2,依次选中 O1、O2,选择【构造】/【直线】命令;度量出两圆的半径 O1A 和 O2B 的值以及圆心距 O1O2 的值.如(图 7-4)

利用【度量】菜单的【计算器】工具进行计算得到一个计算式,如(图 7-5)

依次选中点 O1 和计算式,如(图 7-6) 选择【构造】/【以圆心和半径绘圆】命令,得到⊙O,如(图 7-7)。 用鼠标单击圆和直线的交点位置构造交点 S,点 S 即为两圆的相似外心.如(图 7-8)
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本例通过构造两圆的相似外心,介绍了可以利用点和一个计算值来构造圆. 方法 4: 打开【图表】/【新建参数】对话框,单位选择厘米,如图(7-9) 单击【确定】后在工作区中显示参数 t1,选则一个点和参数 t1, 也能构造出圆.通过改变参数值可以控制圆的大小.

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第六章

初步认识参数

1996 年教育部全国中小学计算机教育研究中心推广“几何画板”软件,以几何画板软件为教学 平台,开始组织“CAI 在数学课堂中的应用”研究课题。几年来,几何画板软件越来越多的在教学 中得到应用。它简单易学,功能强大。几何画板动态探究数学问题的功能,使学生原本感到枯燥的 数学变得形象生动,极大地调动了学生学习的积极性。本文主要介绍如何在教学实践中运用几何画 板参数的功能。 几何画板中的参数是不同于度量值和计算值的能够独立存在的一种数值,它的建立不依靠具体 的对象。使用参数可以进行计算、构造可控制的动态图形、建立动态的函数解析式、控制图形的变 换、控制对象的颜色变化等等。 一、新建参数 先让我们建立一个参数,运行几何画板后,单击【图表】菜单,选择【新建参数】命令后出现 如图 1 的对话框,参数默认无单位,也可以建立带单位的参数。单击确定后,在画板工作区便出现 了参数,如图 2。 (说明:还可以通过【度量】/【计算】命令新建参数。 )

(图 1) (图 2) 二、控制参数值的改变 参数建立后,如何对参数进行控制呢?常用的有以下三种方法。 方法 1:选中工作区中的参数,通过按键盘上的“+”或“-”键可以使参数值增加或减小。 方法 2: 双击工作区中的参数, 打开 【编辑参数】 对话框(如图 3) ,可以直接输入需要的参数值。 方法 3: 选中参数后, 选择 【编辑】 菜单下的 【操 作类按钮】下拉菜单中的【动画】命令,打开参 数的动画属性对话框(如图 4),根据需要进行相 关设置。 单击确定后, 在工作区中出现一个运动 参数按钮,单击此按钮参数按设置进行变化。

(图 3)

(图 4)
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三、教学实例
1、用参数构造动态图形 我们以构造一个用参数控制圆的缩放为例,说明如何用参数构造动态的图形。 在工作区中建立一 个以 cm 为单位的参数 R,然后(用画点工具)画出点 O,选中参数 R 和点 O,如(图 5-1) 。选择 【构造】菜单下的【以圆心和半径画圆】命令,画出⊙O,如(图 5-2) 。这样构造的圆可以通过改 变参数值控制圆的缩放。用上面的方法 1 可以使圆的半径递增(减) ;方法 2 可以直接输入想要的 半径的值;如果用方法 3 制作一个运动参数的按钮后(可隐藏参数) ,单击按钮后,⊙O 自动进行 缩放,再次单击按钮,圆停止运动。该课件可用于直线与圆、圆与圆位置关系的教学。

2、用参数控制对象颜色 我们以上面的图形为例,看看如何用参数控制对象的颜色变化。选中⊙O,选择【构造】菜单 下的【圆内部】命令,填充圆内部,如(图 6-1) 。依次选中参数 R 和圆内部,如图(6-2) 。选择 【显示】菜单下的【颜色】下拉菜单中的【参数】命令,打开如(图 7)的对话框。单击确定。经 过这样的设置后,圆内部的颜色会随着参数的改变而改变。当用运动参数按钮控制圆的缩放时,圆 内部的颜色会进行五颜六色的变化。怎么样,参数是不是很奇妙!

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3、用参数构造动态解析式 用参数构造的函数解析式,可以通过参数的改变来控制解析式的改变,进而控制函数图象的改 变。动态解析式的实现生动直观的揭示了函数的性质以及函数图象的变化规律,在教学实践中取得 了非常好的效果。下面我们以用参数构造动态解析式 y=a(x-h)2+k 为例,来看看动态解析式是如何 通过参数来实现的。 (1)新建三个参数 a、h、k。 (2)画函数的图象。 ①选择【图表】菜单的【绘制新函数】命令,弹出【新建函数】计算器; ②依次点击“工作区中的 a=??” 、 “计算器上的*” 、 “ (” 、 “ x” 、 “-” 、 “工作区中的 h=??” , 移动光标到括号外,再点“^” 、 “2” 、 “+” 、 “k” 。 ③这时你的计算器中的显示如图 8-1,单击确定。这时工作区中会出现函数的图象和坐标系, 如图 8-2。

(图 8-1)
这时改变参数 a、h、k 的值,抛物线的形状进行相应的改变。 (3)动态解析式的建立

(图 8-2)

①用“文本”工具,在工作区中依次输入, “y=” 、 “ [x-(” 、 “ )]2+” ,共三个文本,注意:每 一部分是独立的一块, ; ②用 “选择” 工具依次选取 “y=” 、 “a=?? “、 “ [x-(” 、 “h=??” 、“ )]2+” 、 “k=??” ; ③选择【编辑】菜单下的【文本合并】命令,该命令可以把几个文本合并成一个解析式,有些 地方加上小括号, 是为了当参数变成负数时符合 运算规则。 ④右键单击合并的文本,在弹出的快捷菜单 中选【属性】 ;在弹出的属性对话框中选【父对 象】按钮,在弹出的选项中选【参数 a】 ;这时 属性对话框变为 【参数 a 的属性】 , 改动如图 8-3, 这样可以让参数 a 在工作区中显示出来; ⑤用同样的方法让参数 h、k 也显示出来。 这样便得到了动态的解析式
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y ? a?x ? h ? ? k ,通过改变参数可以同时控制解析式及其图象的变化。
2

(图 8-3)
4、参数在计算与变换中的应用 参数可以作为数值进行计算,还可以控制图形的变换。下面以构造圆的内接正多边形(可通过 参数控制边数的改变)为例说明参数是如何控制图形变换的。 (1)新建参数 n,选择【度量】菜单下的【计算器】命令,弹出【新建计算】计算器,用鼠标依次 点击 3、6、0,单位选择度,再单击“÷” ,结果如(图 9-1) 。鼠标移到工作区,单击参数 n,计算 器显示如(图 9-2) 。单击确定,工作区中出现(含参数 n 的)计算结果,如(图 9-3) 。

用画圆工具画出⊙O,并在⊙O 上画点 A 如(图 9-4) 。双击点 O 标记它为中心。选择【变换】菜 单下的【旋转】命令,打开旋转对话框,单击工作区中参数的计算值,对话框显示如(图 9-5) ,然 后单击【确定】按钮,得到点 A’,如(图 9-6) 。

构造线段 AA’,依次选中点 A 和参数 n,按住 Shift 键的同时,选择【构造】菜单下的
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【带参数的迭代】命令,出现如图 9-7 的对话框,单击工作区中的点 A’,对话框变为如图 9-8,

单击对话框中的【迭代】按钮后,构造出圆的内接正多边形,效果如图 9-9。这时改变参数 n 的值, 圆内接正多边形的边数进行相应改变。

笔者把上面的例子应用于教学时,学生对所学知识产生了浓厚的兴趣,极大的调动了学生学习 的积极性,使本来抽象难懂的数学知识变得形象生动。毋庸置疑,几何画板软件在教学中的普及应 用,必将对我们的教学产生深远而积极的影响。

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【动画彩轮】
金狐电脑工作室 http://www.exjh.com 【本课件运行结果】如(图 1).

【功能运用】 本例主要介绍: ①构造轨迹 ②用三个动态的参数值来控制对象颜色的 RGB 值的改变. 制作步骤: 1.构造三条线段 AB、CD、EF,及线段上 的点 M、N、O. 2.依次选点 M、N、O。选择【编辑】/【操作类按钮】/动画,方向设置为双向,速度设为中速.单击【确 定】(如图 2)

3.构造⊙O 及⊙O 上一点 P,连结 OP. 4.分别度量 PO、PN、PM 的距离得到三个度量值(如图 3) 5.依次选择半径 OP(不要选上点)和三个度量值,选择【显示】/【颜色】/【参数】(如图 4)

打开【参数】对话框,选择显示对象为红绿兰,参数范围从 0.0 到 2.0, 双向循环(如图 5)单击【确定】 (图 5) 6.选中 OP(包括点 P),选择【构造】/【轨迹】得到 OP 以 点 P 沿圆运动的轨迹.7.右键单击圆内部的轨迹,打开【属性】对话框, 单击【图象】,采样数量改为 1000.单击确定.

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深度迭代的运用——构造“奇妙的勾股树”
金狐电脑工作室 http://www.exjh.com 【本课件运行结果】如(图 5-1) ,单击动画按钮, “奇妙的勾股树”动态变化,颜色也进行不断改 变,在展示数学规律的同时给人一种赏心悦目的感觉。

【功能运用】 通过本课件的学习,您将重点学习几何画板的【深度迭代】功能,在制作的过程中您还可以学习一 些基本图形的构造方法以及如何用参数来控制对象颜色的变化。 【制作思路】 首先构造一个直角三角形,并以斜边为边长构造一个正方形,给正方形填充颜色后,用动态的度量 值控制正方形内部填充色的改变,然后用【深度迭代】构造“勾股定理树” 。下面就让我们开始一 步一步构造“勾股定理树” 。 【操作步骤】 ①新建画板后,用画线工具画出线段 AB,双击点 A(这样就把点 A 标记为中心) ,单击线段 AB 和 点 B,选择【变换】/【旋转】,打开【旋转】对话框,单击【旋转】按钮(此时默认旋转角度为 90°), 得到线段 AB';双击点 B'标记点 B'为中心,旋转线段 AB'(旋转角度为 90°)得到线段 B'A',依次单击点 A'和点 B,按快捷键 Ctrl+l,构造线段 A'B,此时构造出正方形 ABA'B'.如(图 5-2)

②单击选中线段 A'B',按 Ctrl+M 组合键,构造出 A'B'的中点 C(点 C 为选中状态),再依次选中点 A'和 B'(注意顺序不要搞错啊),选择【构造】/【圆上的弧】,构造出以 A'B'为直径的半圆,用画点工具在半 圆上画出点 D.如图(5-3) ③依次单击选中点 A、B、A'、B',选择【构造】/【四边形内部】,把正方形填充上颜色;在工作区空 白处单击后单击选中点 A、D,选择【度量】/【距离】得到 A、D 两点间的度量值。如(图 5-4) 回目录
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④依次单击选中正方形的填充色和度量值,选择【显示】/【颜色】/【参数】打开【颜色参数】对 话框,按图(5-5)进行设置.(用鼠标托动点 D 看看正方形的填充色有什么改变么)

(图 5-5)

(图 5-6)

⑤选择【图表】/【新建参数】打开【新建参数】对话框,如(图 5-6),单击【确定】得到参数 t1=1. ⑥依次选中半圆和点 C,按组合键 Ctrl+H(隐藏它们,为了后面观察方便);依次单击选中点 A、 点 B、 参 数 t1=1.0,按住 Shfit 键的同时选择【变换】/【深度迭代】弹出【深度迭代】对话框,如(图 5-7)。

(图 5-7) (图 5-8) ⑦当点 A 对应的框为白色是,单击 B',当点 B 对应的框为白色时,单击点 D,结果如(图 5-8) ⑧单击上图中的【结构】 ,出现结构对话框 如(图 5-9)

(图 5-9)
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⑨单击 【添加新的映射】 , 当迭代对话框出现新的 “?” 后依次单击点 D 和点 A’, 如 (图 5-10) ; 去掉结构对话框(参考图 5-9) 【生成迭代数据表】前的对钩,不显示表格,单击【迭代】按钮,完 成迭代。结果如(图 5-11) 。

(图 5-11)

(图 5-10) ⑩选中参数 t1=1.00,按键盘上的“+” 、 “-”键控制参数 t1 值的增减,同时也控制迭代层数的增减, 请您自己试试看看迭代的效果是什么样子;最后选中点 D,选择【编辑】/【操作类按钮】/【动画】, 生成【动画】按钮,单击它点 D 在半圆上运动,同时迭代得到的图形进行相应的运动. 好了,这个课件的制作方法到此介绍完了,相信您已经制作出了一棵漂亮的“勾股定理树” 。自己 多动手试试,您会用几何画板做出很多漂亮的效果的,祝您成功!

【数学万花筒】
金狐电脑工作室 http://www.exjh.com 【本课件运行结果】如下图,单击动画按钮,图形会象万花筒一样进行变换,真是漂亮!

【功能运用】 通过本课件的学习,您将重点学习几何画板的【变换】菜单的功能. 【操作步骤】
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①用画圆工具画出⊙A、⊙B、⊙C,在⊙A 上构造点 G、H、O 在⊙B 上构造 I、J、N,在⊙C 上构 造 K、L、M。如(图 4-1)

②选中点 G、点 K 构造直线 k,过点 A、点 C 构造直线 l;画直线 m,标记直线 m 上一点 R 为中心, 使直线 m 旋转 45°,得到直线 m'.如(图 4-2) ③标记直线 k 为中心,单击点 L,选择【变换】/【反射】得点 K',同样构造点 I 关于直线 k 的反射点 I’, 点 K、G 关于直线 l 的反射点 K’和 G’.按住 Shift 键,依次单击点 O、J、L、I'、G',选择【构造】/【五 边形内部〉构造五边形的内部 P1.如(图 4-3)

④标记直线 m 为中心,选中 P1,选择【变换】/【反射】得到 P1'(为选中状态),在标记直线 m'为中心,选 择【变换】/【反射】得到 P1'',重复上面的过程依次反射得到 P1’’’、P1’’’’、P1’’’’’,如(图 4-4) ⑤选中五边形内部 P1,标记 m’为中心,选择【变换】/【反射】得到 P1’(为选中状态),再标记直线 m 为中心,选择【变换】/【反射】得到 P1’’,重复上面的过程依次反射得到 P1’’’、P1’’’’、P1’’’’’;如(图 4-5) ⑥按住 Shift 键,依次单击点 M、K、K'、N、H,选择【构造】/【五边形内部〉构造五边形的内部 P2,重复④、⑤两步.最后反射得到 P2’’’’’’.如(图 4-6)

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⑦按住 Shift 键,依次单击点 H、L’、M、I、N’(由点 N 关于中心点 C 缩放比例为-100%得到) 、G, 选择【构造】/【六边形内部】构造六边形的内部 P3,重复④反射得到 P3’’’’’、重复第⑤步最后反射 得到 P3’’’’’’.如(图 4-7) ⑧依次选中点 G、H、O、I、J、N、K、L、M,打开【编辑】/【操作类按钮】/【动画】对话框,把 九个点的动画设置成快、中、慢三种不同的速度,和逆时针和双向两种方向。单击【确定】如下图.

( 图 4-8)

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几何画板中如何实现闪烁效果
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[运行结果]
用闪烁的方式强调某些对象。

[知识要点]
1、构造交点、中点; 2、根据标记的向量平移对象; 3、构造平行线; 4、隐藏对象; 5、构造动画、系列按钮 6、控制对象的颜色

[基本原理]
所谓对象的闪烁,就是指这个对象周期性地出现和消失。为达到此效果,我们可以: (1)用对象(线和线、线和圆等)是否相交来控制对象的出现和消失; (2)改变对象的颜色,以形成“消失”和“出现”的假象。

[操作步骤]
下面就来介绍一下在几何画板的 3.0 版本以及最新版本 V4.0 中如何使对象闪烁。 一 在几何画板 3.0 中实现闪烁效果(在几何画板 4.0 中此方法仍然适用)

图 1 图 2 图 3 1、假设我们要让线段 AB 闪烁。任作一点 C(点 A、B、C 不能共线,如图 1) 。 2、连结 AC 并作线段 AC 的中点 D 和线段 AC 上任一点 E(如图 2) 。 3、标记向量 AB,然后把点 D 按标记的向量平移,得到点 D’ 。连结 BD’ (如图 3) 。 4、过点 E 作线段 AB 的平行线,交线段 BD’于点 F(如图 4) 。

图 4

图 5

图 6
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5、隐藏线段 AB 和直线 EF(如图 5) 。 6、连结 EF。标记向量 EA,然后把线段 EF 按标记的向量平移(如图 6) 。 7、定义点 E 在线段 AC 上的动画,双击“动画”按钮就可以看到线段 AB 在闪烁。拖动点 C 改变 AC 的长度即可控制闪烁的频率。 如果您希望闪烁结束后线段 AB 是可见的,那么您可以再定义点 E 到点 A 的移动,然后将“移 动”和“动画”组成一个“系列” 。反之,如果希望闪烁结束后线段 AB 不可见,则只需将点 E 到 点 A 的移动改成点 E 到点 C 的移动就可以了。 用上面的方法做成的闪烁效果中出现与隐藏的时间是相等的,如果您想使两者时间不同,只需 在上面的第 2 步中不把点 D 定义成线段 AC 的中点而定义成线段 AC 上的点就可以了。用这种方法 做闪烁,虽然过程比其他方法复杂点,但效果绝对是最好的。类似地,您可以做出任意对象的闪烁。 二 在几何画板 4.0 中实现闪烁效果

上面所讲的实现闪烁的方法在几何画板 4.0 中同样适用,但由于几何画板 4.0 中增加了控制对 象的颜色的功能,因此我们可以更简单方便地实现闪烁效果。 1、控制对象的颜色 (1)选择“图表”菜单中的“新建参数”命令,建立一个“控制颜色的参数” (2)选择任何一个要控制颜色的对象和“控制颜色的参数” ,然后选择“显示”菜单中的“颜 色” “参数”命令,在弹出的对话框中设置如下内容(如图 7) : 将显示对象的模式设为“灰度” ; 将参数范围设为 0 到 1; 将颜色范围设为“不要循环”



7

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2、建立“闪烁”按钮 选择“控制颜色的参数” ,然后选择“编辑”菜单中的“操作类按钮” “动画”命令,在弹出的 对话框中设置如下内容(如图 8) : 将动画方向设为“双向” ; 将改变数值模式设为“不连续” ; 将改变数值模式范围设为 0 到 1。

图8 3、创建使对象“出 现”的按钮 选择“控制颜色的 参数” , 然后选择 “编辑” 菜单中的 “操作类按钮” “动画”命令,在弹出 的对话框中设置如下内 容(如图 9) : 将动画方向设为 “自由” ,并选择“只播 放一次属性” ; 将“改变数值”的 范围设为 0 到 0.01。

图9

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4、创建使对象“隐藏”的按钮 选择“控制颜色的参 数” ,然后选择“编辑”菜 单中的“操作类按钮” “动 画”命令,在弹出的对话 框中设置如下内容(如图 10) : 将动画方向设为“自 由” ,并选择“只播放一次 属性” 将“改变数值”的范 围设为 0.99 到 1.0

图 10 至此,课件制作完毕,点击“闪烁”按钮,就可以让对象开始闪烁。 用这种方法实现闪烁非常方便,可以随时给某一对象加上闪烁功能而不会对课件中的其他部分 产生影响,也可以随时让多个对象同时闪烁。

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迭代帮助文件
专用名词: 迭代:按一定的迭代规则,从原象到初象的反复映射过程 迭代图象:迭代操作产生的象的序列。 迭代图:原象到初象映射相关联的所有对象的集合。 迭代规则:由一个或多个从原象到初象的映射定义迭代执行方式。 原象:产生迭代序列的初始对象,通常称为“种子” 初象:原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象相关联。 迭代深度:迭代执行的次数。 原象点:作为原象的点对象。应为自由点。 原象值:作为原象的度量值或计算结果。应为独立的值。 迭代 此命令依照一个预先定义的迭代规则对一系列有关系的几何对象构造迭代图象。此命令只有当你选 定了一些联合的原象点或原象计算结果时才为可用状态。原象点必需是独立的点或路 径上的点, 而且必需在当前画板中定义了其它点。原象计算结果必需是参数值或独立的计算结果,而且必需同 时定义计算结果象和几何对象。 创建迭代
任何参量用来定义一个迭代必需有几何子点

在画板中迭代操作和迭代结构总是伴随着例子创建,并且在点和参数后定义。 用工具和菜单构造由 一组独立点或参数产生(你希望的数学关系)一定数目关联对象(点或计算值)。 独立对象作为迭代原象 或种子,与之相应的相关联的对象作为迭代图。然后在变换菜单 中执行【迭代】显示初象与原象 之间的关系。迭代对话框允许你指定你想对迭代结构的迭代 数。结果为原象及关联于原象的每个 对象的迭代图象的集合。

一般地,如果一个几何点 A 作为原象用于构造一个关联的点 A',则这个迭代的图象或是迭代的轨道 是 A',A''等系列点。在上方左侧的图示三角形 ABC 和它的中点 A'B'C'已经被构造。在上方右侧的 图示,三角形的 独立顶点已经在迭代对话框与它们的中点建立了映射,此构造关系被迭代了 4 次。 结果是一系列点、线段的图象定义的初始结构,作为三角形向中点三角形迭代。 显示选项 当你使用迭代对话框时,你能用【显示】中的命令来控制迭代的显示。你能: ? 增加或减少迭代的次数。 ? 显示完整的迭代,或仅显示最终的迭代。一个对象的系列迭代图象有时称为此对象的 轨道。
注意:当你的迭代规则中只有一个映射时,更多的是希望显示完整的迭代;当有两个或两个以上的映射时,更多的 是期望显示最最终的迭代。

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迭代实例

在画板中,依照上图定义一个迭代规则,指定原象与相应的初象对应。

示例,以三角形 ABC 三边中点,构造中点三角形 DEF。重复以上过程,以三角形 DEF 三边中点再 构造一中点三角形,如此重复做下去。

在画板中指定这样的一个迭代规则,为每个原象定义它的初象。即使需重复的结构包括同三角形三 个顶点一样的三个边,你只需用 A、B、C、D、E、F 这几个点指定迭代规则即可。画板会自动算 出这个迭代中那些相关联于原象点的其它对象。在此例中,画板将在迭代中包括三角形的三边。 For best results, construct the entire pre-image but construct only the points of the image.【】 Let Sketchpad construct the other parts of the image.【让画板构造图象的其它部分。 】 例如,对中点三角形进行迭代,构造三角形 ABC 作为原象,中点 D、E、F 作为初象点。

构造这些对象之前,请先选择 A、B、C 三点定义为原象,从变换菜单中选择迭代命令弹出迭代对 话框,为每个原象选择相应的初象。为三角形每个原象点,点击初象(中点)。当你点击每个中点的 时候,画板会同时显示原象三角形迭代的映射结果。对三个原象点与中点映射后,点击【迭代】执 行迭代关闭对话框。

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你可能需要移动对话框以使画板中的源三角形及它的中点可见

依照你定义迭代规则画板产生映射的一组迭代图象。在这个例子中有六个迭代图象,即源三角形的 每个顶点与边。你能选择处理每个分离的迭代图象。例如,你能隐藏或删除源三角形三个顶点的迭 代图象,或改变源三角形三条边的迭代图象的颜色。你能用“迭代属性”改变迭代次数来改变显示 的迭代图象。你能用【迭代】创建从原象到初象的一个或多个指定的映射。 迭代属性

只有迭代图象和迭代的规则才有属性面板。用此属性面板设置迭代数,指定是否显示所有迭代或只显示最终迭代, 决定随机点在在迭代中的行为。

迭代数: 这个数决定迭代重复多少次。 最小值为 1, 最大值依迭代的复杂程度(越复杂迭代的迭代数 的最大值越小,反之越大。 如果迭代数-迭代深度-补充一个度量值或计算值定义,当迭代首次创 建时,当前值即为迭代深度,不能被编辑。 你能通过先选定迭代图象然后用键盘上的+/-来改变迭代数。 显示为: 设置首选项迭代显示所有的迭代图象 (每次迭代生成的图象). 设置末选项迭代仅仅显示 最后的一次迭代图象,即使设置了迭代数。 移动对象上的点: “到与初始对象上的点相对类似的位置”,指的是迭代图象每次迭代时某对象上 的自由点在对象上的位置与迭代图中相对应对象上的自由点在对象上的位置相类似。“到所在对象 的随机位置”,指迭代图象中的某对象上的自由点的位置随机。
选中迭代图象用键盘!对迭代对象路径上的点进行随机化处理。

迭代和迭代图象 为了迭代一个行为或一个操作重复某些次数。在数学中, 迭代指应用某些数学结构,计算结果或其它 处理先前结果的相同操作的过程 。此操作必需在一些输入后定义一个输出,并且迭代用前一步的 输出作为下一步的输入。

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画板允许你对在画板中建立的任何数学关系进行迭代。 你能用迭代创建重复的变换。 (如棋盘方格), 产生不规则碎片形和其它与自身相似的对象,或其它系对象。 在代数学中,一个迭代是一个计算结果的循环(用一个输入值计算一个输出值)。迭代反复地应用前 面的计算结果作为下一步迭代的输入。 若要开始迭代过程,首先必需有个开始值,称为种子。比 如:以 5 为种子进行加 2 处理,第一次迭对 5 进行加 2 处理,即 5+2=7,第二次迭代则对第一 次迭代的结果 7 进行加 2 处理,即 7+2=9 如此下去产生以下数值序列 7,9,11,13,15,17,...... 在几何学中,一个迭代用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。源对象组作为输 入,新对象 组作为输入。若要开始操作过程,必需有一组对象作为原象。以“向右平移 1 厘米”的变换为例,如 果你应用此变换于作为原象的三角形 ABC,初象为三角形 A'B'C'将向右平移 1 厘米。迭代此变换将 产生一个全等的三角形系列,从原象三角形 ABC 为开始每个都相对于前面的三角形向右平移 1 厘 米。 在这些例子中,把加 2 操作或向右平移 1 厘米变换作为任何单独的值或三角形的迭代规 则。在迭 代序列中的每个值或图象作为下一步迭代的值或图象。我们说 47 到 49 的映射是在加 2 操作下进行 的。所有的迭代规则都是由原象(种子)和映射操作定义的。当你对原象应用一次操作时,初象作为 原象的操作结果。当你进行迭代操作时,你可得到第二次,第三次,第四次的迭代图象等等。 多映射迭代 给每个迭代的独立点指一个初象,你能创建一个单一的迭代映射。此映射描述如何变换原象创建一 个初象。对于更多的迭代来说,每个迭代步产生一个单独源对象的副本。对于这样的迭代,迭代规 则由一个映射组成。可是对于其它的迭代,一步迭代产生两个或更多个源对象的副本。每个源对象 的副本需要它自己的映射,因此迭代需要多映射。例如,一个镶嵌有小方格的平等四边行需要你在 水平方向垂直方向上迭代棋盘方格。
不规则碎片形和棋盘方格是最普通的几何结构,构造它们的迭代规则需要多迭代映射

用多映射构造一个迭代规则,使用迭代对话框为第一个映射指定 1-3 步以内的迭代。然后结构菜单 中选择【增加新映射】并为第二个映射中的每个源点指定新的初象。当你所有的映射设置好后,点 击【迭代】 ,执行迭代。

深度参数 当你定义一个迭代时,你能使用画板中的一个度量值,参数值,计算值来作为迭代的深度。你在选 定定义迭代的原象执行【迭代】之前,应该选择一个值作为所定义迭代的深度。按下 shift 键时点击 变换菜单,其中的【迭代】变成了【深度迭代】 。选择此命令出现迭代对话框用以定义迭代的一般 选项。一旦迭代被定义,你所选择度量值、参数值、计算值的整数部分将被定义为迭代的深度。(如 果深度值不合法,将设置深度值为 0。如果深度值太大不能显示所有迭代图象,画板用所能显示的 最大值作为迭代深度) 回目录
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如果一个迭代的深度被一个参数或计算结果定义,你不能用属性改变此深度

随机迭代点

有时你会发现指定的某对象上的点作为一个迭代规则原象的初象。例如,类似于其它例子当 中一 个三角形三个顶点的中点,你可以映射三角形的顶点到其对应边上的一独立点。此时, 【构造】菜 单将显示【移对对象上的点到】(这一栏),当你选择【到与初始对象上点相对类似的位置】 ,画板将 显示每个迭代图象上的点到初始对象上点相对类似的位置。如果你拖动被构造对象上的初象点到一 个新的位置时,所有的迭代图象将调节相应点到与初始对象上点相对类似的位置。另一方面,如果 你选择【到所在对象的随机位置】 ,每个迭代图象初象点将显示在一个新的位置处。
构造一个迭代后,你能用迭代属性试验以上这两种情况

结构选项 当你使用迭代对话框时,你能使用【结构】来控制迭代的结构。你能: ? 增加迭代映射或删除当前的迭代映射。 ? 创建的迭代图象是否显示点对象。时常-特别是在多映射迭代时,你不想看到 迭代图象点,只想保留迭代图象的线段,多边形等。此选项打开时画板自动为你 创建没有点的迭代图象,同样选项关闭时画板自动为你创建有点的迭代图象。 ? 为所有的迭代度量值创建一个表。 ? 设置迭代对象上的点处于初始对象上点相对类似的位置。 迭代值表 当你创建一个迭代时,如果某个迭代结果的一个或多个度量值发生改变,画板会创建一个迭代值的 表。此表为每个可见值建立一个受迭代的影响的列,表的第一列的 n 个值表示迭代数。(即经过的 第几次迭代)表的每行所描述的数据表示在此次迭代上的度量值。 例如:在画板中包函一个参数种子,初始值为 100,计算 100/2,如果你建立以 100 为原象以 100/2 为初象的迭代,画板将产生表,以 100/2 作为 100->100/2 的迭代象。

在一个迭代表中的值的行数随着你增加或减少迭代数而自动调整。如果你不想创建迭代值的表,请 取消迭代对话框中构造选项菜单中的【生成迭代数据表】,创建迭代所创建的表不需要时,你可以 选中此表从画板中删除。 终点

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有时你想用迭代图象的最后一个点对象。你想把一个构造关联于这个点上。
用“多映射迭代”生成的迭代,你不能构造它的终点

为了构造一个点迭代图象象的终点,请选择点的迭代图象上的点。从【变换】菜单中选择【终点】 , 点迭代图象的终点被构造。如果迭代的深度发生变化,则终点将因此而移动。
当你选择某个点迭代图象时,【迭代】命令将变成【终点】

在上面的例子中,一个迭代常常用来构造一个掷球的飞行路径问题。 (不显示原象点,定义球的速 率和引力的大小)一些次数的迭代后求解球的高,终点被构造并用于度量地面与终点的距离。 使用迭代对话框 构造一个或多个对象的迭代图象: 1. 选择迭代规则的原象。你可以选择独立的点,路径上的点或独立的参数作为迭代的原象。(总 之,初始对象必需是不依赖于其它对象的点或值。依赖于原象的点或值在迭过程中将自动地作为迭 代图被迭代) 2. 从变换菜单中执行【迭代】,弹出迭代对话框。

拖对迭代对话框以露出你要点击的初象

3. 在迭代规则中为每个映射中的原象选择相应的初象。为每个原象点选择一个关联于原象点的初 象点。为每个原象参数值选择一个关联的初象计算值。迭代规则中初象是相对于原象而言的,当原 象位置或值发生变化时初象的位置或值随之变化。

4. 5.

你能用【显示】改变迭代的外观。参考“显示选项”对可用选项的描述。 你能用【结构】来改变迭代的结构。参考“结构选项”对可用选项的描述。
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6.

一旦你为每个原象指定了初象,点击【迭代】将得到最后的迭代结果。构造的迭代显 示出来。用“迭代属性”来改变迭代的深度或其它属性。 用迭代工作 一旦你创建了一个迭代并产生一些迭代图象,你可以:

?

选择,改变颜色,隐藏或删除整个迭代图象的单个迭代图象。例如,在上面图示的迭 代中,你可能想隐藏或删除图象中迭代三角形的顶点,以致只看到三角形的边。 ? 经过数次对结构的迭代后。用属性对话框可以查看任何迭代图象的属性,并且可以调 节迭代数。 ? 选择一个或多个迭代图象后你可以用键盘的+/-调节迭代数。 ? 用迭代属性对话框改变迭代的其它属性。 当定义一个新的迭代时,你可以用迭代对话框作: ? 创建迭代在迭代中每个迭代步至少产生一个的原象的副本。因此迭代可以创建棋盘方 格和不规则碎片形。 ? 在画板中创建迭代的深度被一个参数或其它计算机结果所控制。

如何构造一个雪橇的坐垫
由于迭代功能能应用于画板的任何类型结构,它的一些设置选项可能初次看起来好像比 较复杂另人困惑。最好的方法是通过一个实例来理解它。在这个例子中,你将用迭代定 义一个我们所熟知的雪橇的坐垫。这个不规则的几何图形是用三个小三角形内部替换大 三角。然后将得到的三个小的三角形内部的每一个再由更小的三个三角形内部替换,如 此进行下去。由于在每个阶段你将用三个不同的三角形替换原象三角形,你将需要定义 三个映射。 1. 新建画板,用直尺工具构造一个三角形 ABC。 2. 构造其三边的中点。用文本工具把三个顶点标签改为 A、B、C,三个中点的标签改 为 D、E、F,下面将解释。

你现在有一个原象三角形,它内含许多小三角形,如三角形 AFE,三角形 EBD 等 等。注意那三个较小的三角形,三角形 AFE,三角形 FBD 和三角形 EDC,它们形成 源三角形内部“角” 。 3. 选择 A、B、C 三点,从【变换】菜单中选择【迭代】 4. 在迭代对话框中,映射 此映射为源三角形到左边小三角形 FBD 的映射。你可以看到在源三角形左边小三角
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形里有一组迭代三角形。
注意在这一步中你映射 B 点到它本身,由于这个顶点,同在源三角形与左边小三角形上。

5. 用【结构】菜单中的【添加新映射】到迭代规则中。在新的映射下,映射 6. 用【结构】菜单再次向迭代规则增加第三个和最后一个映射。第三个映射如下 7. 点击【迭代】按钮

注意不要增加迭代的次数太多,由于每个迭代增加三次

选中迭代生成的图象,你能用键盘的+/-来增加或减少迭代的次数。如果你迭代一个无穷大的次数, 最终能得到一个雪橇的坐垫图象。如果你想象在每个迭代步中原始的三角形被小三角形替换,想一 想, 当增加迭代次数时, 所有小三角形的面积将发生什么?由于这三个小三角形不能替换源三角形, 面积必然变小。因此迭代图象的面积会变得越来越小。面积受什么限制?如何求出面积值?周长怎 样变化?不规则碎片形将以惊人的速度频繁地递增。 在一个新的画板中你重复上面的步骤使面积形象化,在一个三角形 ABC 里,构造三角形 内部。当你指定完成三个映射确定迭代后,隐藏源三角形 ABC 的内部,以致能看见源三角形内部 的小三角形内部。

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平 面 几 何 著 名 定 理
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1、欧拉(Euler)线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心 与重心的距离等于垂心与重心距离的一半

2、九点圆: 任意三角形三边的中点, 三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点, 共九个点共圆, 这个圆称为三角形的九点圆; 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点, 其半径等于 三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点: 已知 P 为锐角△ABC 内一点,当∠APB=∠BPC=∠CPA=120°时,PA+PB+PC 的值最小,这个点 P 称为△ABC 的费尔马点。

4、海伦(Heron)公式:
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在△ABC 中,边 BC、CA、AB 的长分别为 a、b、c,若 p= 则△ABC 的面积 S= p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

1 (a+b+c) , 2

5、塞瓦(Ceva)定理: 在△ABC 中,过△ABC 的顶点作相交于一点 P 的直线,分别交边 BC、CA、AB 与 BD CE AF 点 D、E、F,则 ? ? ? 1 ;其逆亦真 DC EA FB

6、密格尔(Miquel)点: 若 AE、AF、ED、FB 四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点,构成四个三角形, 它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,则这四个三角形的外接圆共点,这个点称为 密格尔点。
A

密 格 尔 ( Miquel) 点

B
F

C

D
E

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7、葛尔刚(Gergonne)点:
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△ABC 的内切圆分别切边 AB、BC、CA 于点 D、E、F,则 AE、BF、CD 三线共 点,这个点称为葛尔刚点。
L1

O1 P1

葛尔刚点

M1

Q1

N1

8、西摩松(Simson)线: 已知 P 为△ABC 外接圆周上任意一点,PD⊥BC,PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F 为垂 足,则 D、E、F 三点共线,这条直线叫做西摩松线。

9、黄金分割: 把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段 (BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割

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11、笛沙格(Desargues)定理: 已知在△ ABC 与△A'B'C'中,AA'、BB'、CC'三线相交于点 O,BC 与 B'C'、CA 与 C'A'、AB 与 A'B'分别相交于点 X、Y、Z,则 X、Y、Z 三点共线;其逆亦真。

12、摩莱(Morley)三角形: 在已知△ABC 三内角的三等分线中,分别与 BC、CA、AB 相邻的每两线相交于点 D、E、F,则三角形 DDE 是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形。
A( 托 动 )

DE = 1.05 厘米 EF = 1.05 厘米 FD = 1.05 厘米
E D

摩莱三角形
F

B( 托 动)

C( 托 动)

13、帕斯卡(Paskal)定理:
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已知圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB、DE 延长线交于点 G,边 BC、EF 延长线交 于点 H,边 CD、FA 延长线交于点 K,则 H、G、K 三点共线

14、托勒密(Ptolemy)定理: 在圆内接四边形中,AB·CD+AD·BC=AC·BD
A B AB?CD+DA?BC = 18.49 厘米 2 AC?DB = 18.49 厘米 2 D C

15、阿波罗尼斯(Apollonius)圆 一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比 m:n,则点 P 的轨迹,是以定比 m: n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆, 这个圆称为阿波罗尼斯圆, 简称 “阿 氏圆”

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17、布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圆内接四边形 ABCD 中,AC⊥BD,自对角线的交点 P 向一边作垂线,其延长线 必平分对边
D G

I2 A(托动) H2 P

BF = 1.69 厘米 CF = 1.69 厘米 GD = 1.83 厘米 GC = 1.83 厘米 C(托动)

F

B(托动)

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《普通高级中学实验教科书·数学》 (信息技术整合本)

“第八章 圆锥曲线”教材培训
(2003 年 8 月 27 日在北师大的发言稿) 各位老师,大家好! 围绕我参与编写的“第八章 圆锥曲线”这部分内容,就如何与现代信息技术整合的问题谈一 些个人想法。 知彼:信息技术的特点是“动” 。可以在动态中观察数学现象,探究几何图形的性质。在信息 技术支持下, “动点”真的动起来了。 知己:平面解析几何的核心是“坐标法” ,用代数的方法研究几何图形的性质。主要包括两个 部分:求曲线的方程;通过研究方程研究曲线的性质。 一、信息技术用在哪里?《教材》编写意图 在“圆锥曲线”这一章,信息技术大有用武之地。 1.使用技术工具为了更好地体现数学的本质。 在传统的教学中,动点并不动。用信息技术让学生在动态中观察,观察变动中不变的规律—— 问题的本质。 例 1 从椭圆到双曲线。 (加强知识之间的内在联系,体验数学的本质) 用图形计算器或计算机画一直线 AB,在直线 AB 上任意画一点 C,再画两点 F1、F2,使|F1F2| >|AB|,以 F1 为圆心线段 AC(即 r1)为半径画圆,以 F2 为圆心线段 BC(即 r2)为半径画圆,圆

F1 与 F2 的交点是 M、M? .改变点 C 的位置,点 M、M? 的轨迹是双曲线. 图1 由上面的画图过程可以看出,双曲线是满足下列条件的点的集合: P={M|||MF1|-|MF2||=2a} . 我们把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫 做双曲线的焦距. 在图 1 中, |AB|=2a, |F1F2|=2c , |AB|<|F1F2|, a<c. 我们仿照求椭圆的标准方程的做法,求双曲线的标准 方程. 例 2 椭圆的参数方程的教学。 (动点变动的原因, 抓 住问题的本质。 ) 如图 2,为什么要以角∠COA 为参数——引起动点 M, 图2 回目录
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变动的是 A 而 A 在已知圆上转动,刻画转动用角。给课本上的例 5 加上“分析” 。辨析离心角 角∠COA 与旋转角角∠NOM。 2.使用信息技术可以更好地支持“坐标法” 平面解析几何的核心是“坐标法” (解析法) ,用代数的方法研究几何图形的性质。 在信息技术支持下,可以首先观察、研究图形的几何性质,然后从代数的角度反思原因,寻找 代数关系或者代数的证明,即坐标法。 例 3 抛物线部分的例 3 体现解析法的处理思想。 (又及 椭圆、双曲线、抛物线等曲线的性质的教学。 ) 例 3’ 定长线段的运动。∠AOB=120°,长为 4 的线段 AB 的两个端点 A、B 分别在∠AOB 的 两边 OA、OB 上运动,MA⊥OA,MB⊥OB,求点 M 的轨迹。 3.使用信息技术可以更好地支持“多元联系” 平面解析几何主要包括两个部分:求曲线(轨迹)的方程;通过研究方程研究曲线的性质。在 用代数的方法研究曲线的性质之后,可以用信息技术验证代数的结论,增强教学效果,也体现“多 元联系表示” 。 例 4 曲线系方程的讨论。 曲线 C 的方程为(5-k)x2+(k-1)y2=(5-k) (k -1) : 2 2 (1)就 k 的不同取值,指出方程(5-k)x +(k-1)y =(5-k) (k -1)所表示的曲线的 形状。 (传统教材) (2)用图形计算器或计算机画出方程所表示的曲线,改变 k 的值,观察曲线形状的变化。你 的结论正确吗?(与技术整合) 4.使用信息技术可以更好地支持学生参与教学 用信息技术,可以更好地让学生参与到教学过程中来。让学生动手操作,发现数学规律。 5.使用信息技术可以更好地支持“研究性学习” 。 信息技术可能使得原先有一定难度的学习内容变得容易起来,因此可以根据学生的具体情况让 学生学习更多的数学,更好的数学,甚至更难的数学,利用信息技术可以将一些问题适度开放,进 行更加深入的研究。 例 5 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切,求动圆圆心的轨 迹方程,并说明它是什么样的曲线。 (小结与复习中的参考题例 3) 例 6 Rt△ABC 的顶点 A、B 都在 y 轴上,直角顶点 C 在 x 轴上,其中 A(0,-4)是定点, 点 M 分线段 CB 的比是 1∶2,求点 M 的轨迹方程. 例 7 △ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别是(-6,0) 、 (6,0) ,边 AC、BC 所在直线的斜 率之积等于 k(k≠0) ,求顶点 C 的轨迹方程. 例 8 当点 P(x0,y0)在圆上时,方程 x0x+y0y=r2 表示经过点 P 的圆 x2+y2=r2 的切线,当 点 P(x0,y0)不在圆上时,方程 x0x+y0y=r2 表示的直线在哪里呢? 再例如,收集椭圆的作法。 二.教学案例(最重要的改变) 习题 8.2 后的数学实验(圆锥曲线第二定义的教学) 第一层次:课本上的例 4。 (特殊到一般) 点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 l:x= 在“注”说明了:
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25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 5 4

一般地,若点 M(x,y)与定点 F(c,0)的距离和它到直线 l:x= >c>0) ,则点 M 的轨迹方程是
x2 a2

a2 c 的距离的比是常数 (a c a



y2 b2

=1.这是椭圆的标准方程,点 M 的轨迹是长轴、短轴长

分别为 2a、2b 的椭圆. 第二层次:有关椭圆的数学实验——也是教材的一部分。 先用图形计算器或者计算机画图,根据要求回答问题: 如图 3,已知 B 是定圆 A 内一定点,C 是圆上的动点, l 是线段 BC 的垂直平分线。 (1)当点 C 在圆上运动时,直线 l 围成一个椭圆,l 上哪 个点在这个椭圆上?为什么? (2)如图 4,CD 是圆 A 的直径,直线 l 与 CD 交于 M, 求 M 的轨迹方程。 (3)如图 5,CD 是圆 A 的直径,直线 l 与 BD 的垂直平 分线 m 交于 H(△BCD 的外心) ,求点 H 的轨迹方程。 (4)如图 6,CD 是圆 A 的直径,直线 l 与 CD 交于 M,

图3
| MA | | AB | 、 | MK | | AC |

与 BD 的垂直平分线 m 交于 H, 过 H 作直线 k⊥AB, 过 M 作 MK⊥k, 垂足是 K, 测量

(图中椭圆的离心率) 。

| MA | | AB | 与 有什么关系?能证明你的结论吗? | MK | | AC |

图4 图5 (5)改变点 B 的位置,使 B 在圆外,你的结论该做怎 样的修改呢? 第三层次:双曲线的第二定义。 课本例 3 如图 7,已知点 A(-c,0) 、B(c,0) ,以 A 为圆心 2a(a<c)为半径画圆,C 是圆上的动点,线段 BC 的垂直平分线 k 交直径 CD 于 M. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)如图,直线 k 与线段 BD 的垂直平分线 m 交于 H, c | MA | 过 H 作 x 轴的垂线 l, = ,求直线 l 的方程. | MK | a

图6

图7

三.信息技术 1.平面截圆锥的制作; 2. 《小结与复习》中“与一已知圆外切、另一已知圆内切的圆心轨迹” 。 3.定长线段在两条相交直线上的运动。 4.根据圆锥曲线的定义画圆锥曲线。 金狐电脑工作室 http://www.exjh.com
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