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2013年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学及答案(纯WORD版)


2013 年郑州市高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有—项是符合题目要求的.

x2 , A 1 2 x? , B ? 1, 1.若集合 A ? ?0 ,,,
A.1 个 B.2 个

?


?

B ? A ,则满足条件的实数 x 的个数有
D.4 个

C.3 个

2.若复数 z ? 2 ? i ,则 z ? A. 2 ? i

10 等于 z
C. 4 ? 2i D. 6 ? 3i

B. 2 ? i

3? ,则 2a ? b 的值等于 3.直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A?1,
A.2 C .1 B. ? 1 D. ? 2

4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼-15 飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、 丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 A.12 C.24 B.18 D.48

5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 A.5 B.9 C.14 D.41

6.图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数 ? 0 ? h ? H ? ,则该函数的大致图象是

7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a 2 b2

第1页

共 10 页

A. y ? ?

2 x 2

B. y ? ? 2 x

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

8.把 70 个面包分 5 份给 5 个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 小的两份之和,问最小的 1 份为. A.2 B.8 C.14 D.20

1 是较 6

9.在三棱锥 A ? BCD 中,侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直, ?ABC 、 ?ACD 、 ?ADB 的面积分别为 A. 2?

2 3 6 、 、 ,则该三棱锥外接球的表面积为 2 2 2
B. 6? C. 4 6? D. 24?

10.设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ,把 f ? x ? 的图象按向量 a ? ? m , 0?? m ? 0? 平移后的图 象恰好为函数 y ? ? f ? ? x ? 的图象,则 m 的最小值为 A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3

11.已知抛物线 x2 ? 4 y 上有一条长为 6 的动弦 AB ,则 AB 中点到 x 轴的最短距离为 A.

3 4

B.

3 2

C. 1

D. 2

12.设函数 f ? x ? ? x ?

1 ? ?? , f ? mx ? ? 2mf ? x ? ? 0 恒成立,则实数 ,对任意 x ??1, x

m 的取值范围是
? A. ? ?? , ? ? 1? ? 2?
B. ? ?

? 1 ? , 0? ? 2 ?

C. ? ?

? 1 1? ,? ? 2 2?

D. ? 0 , ?

? ?

1? 2?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知 a ? ?1 , 2? , b ? ? x , 6 ? ,且 a //b ,则 a ? b ? _______. 14.—个几何体的三视图如图所示(单位: m )则该几何体的体积为______ m 3 .

?3x ? 5 y ? 6 ? 0 , ? ?2 x ? 3 y ? 15 ? 0 , ?y ? 0, 15.若 x , y 满足条件 ? 当且仅当 x ? y ? 3 时, Z ? ax ? y 取最小值,则实
数 a 的取值范围是______.

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16.已知 an ?

? ? 2x ? 1? dx ,数列 ? ?a
0

?

?1? ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的通项公式为 n ?

bn ? n ? 8 ,则 bn Sn 的最小值为_____.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边,

2b cos C ? 2a ? c .( Ⅰ ) 求 B ;
(Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 3 ,求 b 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)某高校组织自主招生考试,共有 2 000 名优秀学生参加笔试,成 绩均介于 195 分到 275 分之间,从中随机抽取 50 名同

频率 学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成八组: 组距 0.02 第一组 ,第二组 ,?,第八组 205? 215? ?195 , ?205 , 0.016
.如图是按上述分组方法得到的频率分布 275? ?265 , 直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同 学进入面试.

0.01 0.008 0.004 O 195 215 235 255 275 得分

(Ⅰ)估计所有参加笔试的 2 000 名学生中,参加面试的学生人数; (Ⅱ)面试时,每位考生抽取三个问题,若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招 生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获 A 类资料;其它情况下获 B 类资格.现已知某中学有三个学生获得面试的资格,且仅有一人笔试成绩为 270 分以上,在 回答三个面试问题时,三人对每一个问题正确回答的概率均是 获得 B 类资格的人数,求 X 的分布列及期望 E ? X ? .

1 ,用随机变量 X 表示该中学 2

A'

19.(本小题满分 12 分)如图, ?ABC 是等腰直角三角形

A D C E B

?ACB ? 90? , AC ? 2a , D , E 分别为 AC , AB 的中点,
沿 DE 将 ?ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A? ? BCDE . (Ⅰ)在棱 A?B 上找一点 F ,使 EF // 平面 A?CD ; (Ⅱ )当四棱锥 A? ? BCDE 体积取最大值时,求平面

A?CD 与平面 A?BE 夹角的余弦值.
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20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 x

a2

?

的左、右焦点分别是为 、 y2 F1 ? 1 a ? b ? 0 ? ? 2 b

F2 ,点 A 在椭圆 C 上, AF1 ? F1F2 ? 0 ,3 AF2 ? F1 A ? ?5 AF2 ? F1 A , F1F2 ? 2 ,过点 F2 且
与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 P 、 Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)线段 OF2 上是在存在点 M ? m , 0? ,使得 QP ? MP ? PQ ? MQ ?若存在,求出实数

m 的取值范围;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? ln ?1 ? x ? ?

. ax ?a ? R ? 1? x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若数列 ?am ? 的通项公式 am ? ?1 ?

? ?

1 ? ? m 2013 ? 2 ? 1 ?

2013

? m ? N ? ,求证:
*

a1 a2

am ? 3 ? m ? N* ? .

22.如图: AB 是 O 的直径,G 是 AB 延长线上的一点,GCD 是 O 的割线,过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E ,交直线 AD 于 点 F ,过点 G 作 O 的切线,切点为 H . 求证: (Ⅰ) C , D , E , F 四点共; (Ⅱ)若 GH ? 6 , GE ? 4 ,求 EF 的长.

A

D

O B H

F

E

G

23.已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,在 ? y ? 2sin ?

极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)

第4页

共 10 页

中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? ?

? ?

??

??2 2. 4?

( Ⅰ ) 求曲线 C 在极坐标系中的方程;

(Ⅱ)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 24.已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 2a .
( Ⅰ ) 当 a ? 1 时,求 ( Ⅱ ) 当 x?

f ? x ? ? 3 的解集;

2? 时, f ? x ? ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. ?1,

2013 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学
一、选择题 BDCCD 二、填空题 13. 2 5 ; 三、解答题 17.解:⑴由正弦定理得 2sin B cos C ? 2sin A ? sin C ,――――2 分 在 ?ABC 中, sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? sin C cos B , 14. 6 ? ? ; 15. ? ? BAABC DA

参考答案

? 2 3? , ?; ? 3 5?

16. ? 4 .

?sin C (2cos B ? 1) ? 0 ,又 0 ? C ? ? ,sin C ? 0 ,

? cos B ?


S?ABC

1 ? ,注意到 0 ? B ? ? ,? B ? .―――――6 分 2 3 1 ? ac sin B ? 3,? ac ? 4 ,――――8 分 2

2 2 2 2 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? ac ? 4 ,

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共 10 页

当且仅当 a ? c ? 2 时,“=”成立,

? b ? 2 为所求.
18.解:⑴设第 i(i ? 1, 2,

――――12 分

,8) 组的频率为 f i ,

则由频率分布直方图知

f7 ? 1 ? (0.004 ? 0.01 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.02 ? 0.016 ? 0.008) ?10=0.12.
所以成绩在 260 分以上的同学的概率 p ?

f7 ? f8 ? 0.14 , 2

故这 2 000 名同学中,取得面试资格的约为 280 人. ――――-4 分 ⑵不妨设三位同学为甲、乙、丙,且甲的成绩在 270 分以上, 记事件 M , N , R 分别表示甲、乙、丙获得 B 类资格的事件, 则 P( M ) ? 1 ? 所以 P ( X

P( X P( X P( X

1 1 3 1 7 ? ? , P ( N ) ? P ( R ) ? 1 ? ? ,――――6 分 8 8 4 8 8 1 ? 0) ? P ( M N R ) ? , 256 17 ? 1) ? P( M N R ? M N R ? M NR ) ? , 256 91 ? 2) ? P( MN R ? M NR ? M NR ) ? , 256 147 ? 3) ? P( MNR) ? , 256

所以随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

1 256

17 256

91 256

147 256

――――10 分

E ( X )? 0 ?

1 17 91 147 5 ? ? 1 ? ? 2 ? ?3 ? .――――12 分 256 256 256 256 2

19.解:⑴ F 为棱 A?B 的中点.证明如下: 取 A?C 的中点 G ,连结 DG, EF , GF ,则由中位线定理得

DE // BC , DE ?

1 1 BC ,且 GF // BC , GF ? BC . 2 2

所以 DE // GF, DE ? GF ,从而四边形 DEFG 是平行四边形, EF // DG . 又 EF ? 平面 A?CD , DG ? 平面 A?CD ,

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共 10 页

故 F 为棱 A?B 的中点时, EF / / 平面A?CD .――――4 分 ⑵在平面 A?CD 内作 A?H ? CD 于点 H ,

DE ? A?D

? ? DE ? CD ? ? DE ? 平面A?CD ? A?H ? DE , A?D CD ? D ? ?
又 DE

? A?H ? 底面 BCDE ,即 A?H 就是四棱锥 A? ? BCDE 的高. CD ? D,

由 A?H ? AD 知,点 H 和 D 重合时, 四棱锥 A? ? BCDE 的体积取最大 值.――――8 分 分别以 DC, DE, DA? 所在直线为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 A? ? 0,0, a ? , B?a,2a,0? , E ?0, a,0?,

A?B ? ? a, 2a, ?a ? , A?E ? ? 0, a, ?a ? ,
设平面 A?BE 的法向量为 m ? ? x, y, z ? , 由?

? ?m ? A?B ? 0, ?ax ? 2ay ? az ? 0, ? x ? 2 y ? z ? 0, 得? 即? ? y ? z, ? ?m ? A?E ? 0, ?ay ? az ? 0,

所以,可取 m ? ? ?1,1,1? .同理可以求得平面 A?CD 的一个法向量 n ? ? 0,1,0 ? .

cos m, n ?

m?n m?n

?

?1? 0 ? 1?1 ? 1? 0 3 ? , 3 3 ?1
3 . ――――12 分 3

故平面 A?CD 与平面 A?BE 夹角的余弦值为 20.解:⑴由题意 ?AF1 F2 ? 90 , cos ?F1 AF2 ? 注意到 | F 1 |? 1F 2 |? 2 ,所以 | AF
2 2 2

3 , 5

3 5 ,| AF2 |? , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4 , 2 2

所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3 ,

x2 y 2 ? ? 1 .――――4 分 即所求椭圆方程为 4 3
⑵存在这样的点 M 符合题意.――――-5 分 设 线 段 PQ 的 中 点 为 N , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ) , 直 线 PQ 的 斜 率 为

k (k ? 0) ,
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注意到 F2 (1,0) ,则直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 消 y 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1), ?

8k 2 ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(?12) 由求根公式得: x1,2 ? , 2(4k 2 ? 3)
所以 x1 ? x2 ?

x1 ? x2 8k 2 4k 2 x ? ? ,故 , 0 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 3k ,? 2 ) .―――――8 分 2 4k ? 3 4 k ? 3

又点 N 在直线 PQ 上,所以 N (

由 QP ? MP ? PQ ? MQ 可得 PQ ? (MQ ? MP) ? 2PQ ? MN ? 0 ,

即 PQ ? MN ,所以 kMN

3k 4k 2 ? 3 ? ? 1 ,――――10 分 ? 4k 2 k m? 2 4k ? 3 0?

整理得 m ?

k2 1 1 ? ? (0, ) , 2 4k ? 3 4 ? 3 4 2 k
1 4

所以在线段 OF2 上存在点 M (m,0) 符合题意,其中 m ? (0, ) .――――12 分 21.解:⑴由题意,函数的定义域为 (?1,1) ? (1,??) , f ?( x) ?

1 a ? ,―――1 分 1 ? x (1 ? x) 2

当 a ? 0 时,注意到

1 a ? 0, ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 1? x (1 ? x) 2
―――2 分

即函数 f ( x ) 的增区间为 (?1,1),(1,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时, f ?( x) ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? ? , 1 ? x (1 ? x)2 (1 ? x)(1 ? x)2
2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? 0 ,

a ? 2 ? a 2 ? 8a a ? 2 ? a 2 ? 8a , x2 ? 此方程的两根 x1 ? , 2 2
其中 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ,注意到 (1 ? x)(1 ? x) ? 0 ,
2

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共 10 页

所以 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? x1或x ? x2 ,

f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? 1或1 ? x ? x2 ,
即函数 f ( x ) 的增区间为 (?1, x1 ),( x2 ,??) ,减区间为 ( x1 ,1), (1, x2 ) , 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的增区间为 (?1,1),(1,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时, 函数 f ( x ) 的增区间为 (?1, x1 ),( x2 ,??) , 减区间为 ( x1 ,1), (1, x2 ) , 其中 x1 ?

a ? 2 ? a 2 ? 8a a ? 2 ? a 2 ? 8a .―-6 分 , x2 ? 2 2
x 在 (0,1) 上为减函数,――7 1? x

⑵证明:当 a ? 1 时,由⑴知,函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? 分

x x ? f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? , 1? x 1? x 1 1 1 (m ? N ? ) ,则 ln(1 ? )? 令x? , m m 2013 ? 2 ? 1 2013 ? 2 ? 1 2013 ? 2m 1 1 ) 2013 ? m , 即 ln(1 ? m 2013 ? 2 ? 1 2
则当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? 所以 am ? (1 ?

1 m )2013 ? e 2 ,―――10 分 m 2013 ? 2 ? 1

1

又 am ? 0,? a1 ? a2 ? 22. 证明:⑴连接 DB ,

? am ? e ? e ?

1 2

1 4

1

?e

2m

?e

1?

1 2m

? e ? 3 .――――12 分

AB 是⊙ O 的直径,

A

??ADB ? 900 , 在Rt ?ABD与Rt ?AFG中,?ABD ? ?AFE ,

D O

?ABD ? ?ACD ,
F

C E

B G

H

?ACD ? ?AFE ,
? C , D, E, F 四点共圆.――――5 分


C、D、F、E 四点共圆 ? GE ? GF ? GC ? GD ? 2 ? ? GH ? GE ? GF 2 GH 切 O于点H ? GH ? GC ? GD ?
又因为 GH ? 6, GE ? 4 ,所以 GF ? 9, EF ? GF ? GE ? 5 . ―――10 分

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共 10 页

23.解:⑴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,化为极坐标方程是 ? ? 4 cos? .――――5 分 ⑵? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? y ? 4,

得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 (2, 2),(4,0) ,

所以弦长 OA ? 2 2 .――――10 分 24.解:⑴原不等式可化为 2x ?1 ? x ? 2 ? 3 , 依题意,当 x ? 2 时, 3x ? 3 ? 3, 则 x ? 2, 无解,

1 1 ? x ? 2 时, x+1 ? 3, 则 x ? 2, 所以 ? x ? 2 , 2 2 1 1 当 x < 时, 3-3x ? 3, 则 x ? 0, 所以 0 ? x < , 2 2
当 综上所述:原不等式的解集为 ? 0, 2? . ――――5 分 ⑵原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2x ?1 , 因为 x ??1, 2? ,所以 x ? 2a ? 4-2x , 即 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x , 故 3x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ??1, 2? 恒成立, 当 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 4 的最大值 2 , 4 ? x 的最小值为 2, 所以为 a 的取值范围为 1.――――10 分

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