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5.4 一元一次方程应用题专题讲解


一元一次方程应用题专题讲解
列方程解应用题,是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或 方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面; 同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。因此我们要努力学 好这部分知识。

一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审——审题

:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等 量关系) . (2)设——设出未知数:根据提问,巧设未知数. (3)列——列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出 的等量关系列出方程. (4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值. (5)答——检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际, 检验后写出答案. (注意带上单位)

二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集:行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等 各类问题) 等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题,数字问题,方 , 案设计与成本分析 ,古典数学,浓度问题等。

(一)和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示相等关系 的关键字,例如: “大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套??” , 利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系 填入代数式,得到方程. 1.倍数关系: 通过关键词语 “是几倍, 增加几倍, 增加到几倍, 增加百分之几, 增长率??” 来体现。 2.多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。 增长量=原有量× 增长率 现在量=原有量+增长量

例 1.某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元,比去年的 2 倍还多 1000 元,去年该单位为

灾区捐款多少元?

例 2.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%, 第二次旅程中用去剩 余汽油的 40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤,求油箱里原有汽油多少 公斤?

(二)等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。 常用等量关系为:原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式, 依据形虽变,但体积不变. ①圆柱体的体积公式 ②长方体的体积
2 V=底面积× 高=S· ? r h h=

V=长× 高=abc 宽×

例 3.现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米,可足够锻造直径为 0.4 米,长为 3 米的圆 柱形机轴多少根?

(三)数字问题
1.要搞清楚数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为 a,十位数字是 b,个位 数字为 c(其中 a、b、c 均为整数,且 1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9) ,则这个三位数表示 为:100a+10b+c. 2.数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶数用 2n 表示,连续的偶数用 2n+2 或 2n-2 表示;奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。

例 4.有一个三位数,个位数字为百位数字的 2 倍,十位数字比百位数字大 1,若将此 数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的 2 倍少 49,求原数。

例 5.一个 2 位数,个位上的数字比十位上的数字大 5,且个位上的数字与十位上的数

字的和比这个 2 位数的 大 6,求这个 2 位数。

(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)
(1)销售问题中常出现的量有:进价(或成本)、售价、标价(或定价) 、利润等。 (2)利润问题常用等量关系: 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
商品售价-商品进价 商品利润 商品进价 商品利润率= 商品进价 × 100%= × 100%

(3)商品销售额=商品销售价× 商品销售量 商品的销售利润=(销售价-成本价)× 销售量 (4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打 8 折出售,即按原 标价的 80%出售.即商品售价=商品标价×折扣率.

例 5: 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍 获利 15 元,这种服装每件的进价是多少?

(五)行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有 关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取 得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量) ,填入有关的代 数式是获得方程的基础. 1.行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度× 时间 2.行程问题基本类型 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 时间=路程÷ 速度 速度=路程÷ 时间

逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水 逆水问题常用等量关系:顺水路程=逆水路程. 常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。

例 6:甲、乙两站相距 480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行 90 公里,一列快车 从乙站开出,每小时行 140 公里。 (1)慢车先开出 1 小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里? (3) 两车同时开出, 慢车在快车后面同向而行, 多少小时后快车与慢车相距 600 公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车? (5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢 车? (此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。)

例 7: 一艘船在两个码头之间航行,水流速度是 3 千米每小时,顺水航行需要 2 小时, 逆水航行需要 3 小时,求两码头的之间的距离?

(六)工程问题
1.工程问题中的三个量及其关系为:
工作效率 ? 工作总量 工作时间 工作时间 ? 工作总量 工作效率

工作总量=工作效率× 工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作 量的和=总工作量=1. 工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量.

例 9:一件工程,甲独做需 15 天完成,乙独做需 12 天完成,现先由甲、乙合作 3 天后, 甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?

例 10:一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管 6 小时可注满水 池;单独开乙管 8 小时可注满水池,单独开丙管 9 小时可将满池水排空,若先将甲、乙管 同时开放 2 小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?

(七)储蓄问题
1.顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和, 存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率. 2.储蓄问题中的量及其关系为: 利息=本金× 利率× 期数
利率 ? 利息 本金 × 100%

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率(20%)

例 11:某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元,求银行半年期的年利率是多少?(不计利息税)

(八)配套问题:
这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

例 12:某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个,应如何分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个 螺母)?

例 13:机械厂加工车间有 85 名工人,平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个, 已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能 使每天加工的大小齿轮刚好配套?

(九)劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有: (1)既有调入又有调出; (2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; (3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。

例 14.某厂一车间有 64 人,二车间有 56 人。现因工作需要,要求第一车间人数是第 二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间?

例 15.甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调 100 人到甲车间,那么甲车间的 人数是乙车间剩余人数的 6 倍;如果从甲车间调 100 人到乙车间,这时两车间的人数相等, 求原来甲乙车间的人数。

例 16: 有两个工程队, 甲队有 285 人, 乙队有 183 人, 若要求乙队人数是甲队人数的 , 应从乙队调多少人到甲队?

(十)比例分配问题
比例分配问题的一般思路为:设其中一份为 x ,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系:各部分之和=总量。

例 14:甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4:3;乙、丙之比为 6: 5,又知甲与丙的和比乙的 2 倍多 12 件,求每个人每天生产多少件?

例 15:学校分配学生住宿,如果每室住 8 人,还少 12 个床位,如果每室住 9 人,则空 出两个房间。求房间的个数和学生的人数。

(十一)年龄问题

例 17:兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍?

例 18:三位同学甲乙丙,甲比乙大 1 岁,乙比丙大 2 岁,三人的年龄之和事 41,求乙 同学的年龄。

(十二)比赛积分问题
例 19:某企业对应聘人员进行英语考试,试题由 50 道选择题组成,评分标准规定:每 道题的答案选对得 3 分,不选得 0 分,选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作,得了 103 分,则这个人选错了 道题。

(十二)方案选择问题
例 20.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为 1000 元,?经 粗加工后销售,每吨利润可达 4500 元,经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元,当地一 家公司收购这种蔬菜 140 吨,该公司的加工生产能力是: 如果对蔬菜进行精加工,每天可 加工 16 吨,如果进行精加工,每天可加工 6 吨,?但两种加工方式不能同时进行,受季度 等条件限制,公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行 方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工. 方案二:尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,?在市场上直接销 售. 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好 15 天完成. 你认为哪种方案获利最多?为什么?

(十四)古典数学
例 21.100 个和尚 100 个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和 尚,多少小和尚。

例 22.有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只?


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