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世界因你而转-空间直角坐标系案例


世界因你而转
-------《空间直角坐标系》教学案例 教材分析: 本节课是在二维的平面直角坐标系的基础上的一个推广, 也是知识层面上的一个 延拓.在教学过程中,我充分运用类比、迁移、化归等数学思想方法,有效地锻炼了学生的 空间思维能力.这节课为更好的借助空间直角坐标系求解其他相关知识打基础,更为沟通高 中各方面知识,完善学生的认知结构,起到很重要作用. 教学目的: 1

、使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间 点的坐标确定方法. 2、从求空间点的坐标的过程进一步培养学生的空间思维能力. 教学重点:在空间直角坐标系中,确定点的坐标. 教学难点:通过建立适当的空间直角坐标系,确定空间点的坐标. 教学、学法分析: 教法:启发式教学方法 学法指导:通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动;通过创设一个个 梯度性问题,培养学生积极参与、思考的意识. 教具的使用:采用多媒体教学,提高课堂的效率,增大教学容量. 教学过程设计: 一、引入新课: 数轴上的点与唯一实数建立一一对应关系,直角坐标平面上的点也可与一有序实数对 (x,y)一一对应. 问题 1:在教室里,我们如何确定每位同学所在的具体位置呢? 师生活动:建立平面直角坐标系,可看成平面内两垂线的交点所在位置. 设计意图: 体现了平面直角坐标系内点的坐标是借助一矩形得到的过程, 从而用坐标确定平 面内点的位置. 问题 2:那我们又如何确定某位同学的头所在的位置呢? 师生活动:发现用平面直角坐标系不能再确定点的位置,需要第三个坐标,从二唯空间拓宽 到三唯空间,并使学生深刻充分感受建立空间直角坐标系必要性. 设计意图:以趣引疑,体现了要表示空间的某一位置,必须建立空间直角坐标系. 问题 3:如何建立空间直角坐标系? 师生活动:借助于问题 1、2,感受到只要在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一 根竖轴(z 轴) ,就成了空间直角坐标系,进而空间中的点可用有序实数组 ?x, y, z ? 表示.并通 过类比,使学生顺理成章地想到空间点的坐标可能是通过借助立体图得到的.现用我们熟悉 的单位正方体做模型来建立. 二、讲授新课: 1.空间直角坐标系:

⑴ 空间直角坐标系的建立: 如图, OABC ? D' A' B' C ' 是单位正方体,以 O 为原 点,分别以射线 OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线 段 OA,OC,OD ' 的长为单位长,建立三条数轴:X 轴、 D' C' Y 轴、Z 轴 .这时我们说建立了一个空间直角坐标系 B' A' Oxyz. O C y ? 坐标原点:O A B ? 坐标轴: x 轴、y 轴、z 轴 ? 坐标平面:通过每两个坐标轴的平面,分别称 xOy x 平面、yOz 平面、zOx 平面. ? 空间直角坐标系的卦限: 类比平面直角坐标系有四个象限及点关于坐标轴对称点坐标的 变化, 启发学生想象, 坐标平面把空间分成八部分, 介绍空间直角坐标系中卦限的概念,
z

明确每个卦限中的点对应的有序实数组 ?x, y, z ? 中 x,y,z 的取值范围. 注意:具体建立坐标系时,要注意点 O 的任意性,一般可以利用正方体、长方体中有公共顶 点的三条棱. ⑵ 右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向, 食指指向 y 轴的正方向,若中指指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角 坐标系. 说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系 追本溯源: (与物理学中的右手定则间的联系) 把大拇指指向 Z 轴方向,其余四指指向 X 轴方向,然后握成拳头,这 时四指扫过原平面直角坐标系的第一象限从 X 轴正方向到 Y 轴正方向. ⑶ 空间直角坐标系的画法 ? 一般使 ?xOy ? 135 , ?xOz ? 135 , ?yOz ? 90
?
?

?

? y 轴和 z 轴的单位长度相同,x 轴上的单位长度是 y 轴(或 z 轴) 的单位长度的一半.(符合斜二测画法要求) 合作探究:建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 如何用坐标表示呢? 2. 空间一点坐标的意义(从正、反两面进行说明) 设点 M 为空间直角坐标系中的一点,过点 M 分别作 垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面,依次交 x 轴、y 轴、z R 轴于 P、Q、R 点,设点 P、Q、R 在 x 轴、y 轴、z 轴上的 M 坐标分别是 x、y 和 z,那么点 M 就有唯一确定的有序实 数组(x, y, z);反过来,给定有序实数组(x, y, z), O Q y 可以在 x 轴、y 轴、z 轴上依次取坐标为 x、y 和 z 的点 P M' P、Q 和 R,分别过 P、Q 和 R 点各作一个平面,分别垂直 x 于 x 轴、y 轴、z 轴,这三个平 面的唯一的交点就是有 序实数组(x, y, z)确定的点 M. 1? ?1 综述: 空间的点 ?? ?? 有序实数组(x, y, z)

三、典例分析 例 1 在空间直角坐标系中,作出点 P(3,2,1). 师生活动:学生有借助于长方体作图,三路线 作图,按空间一点坐标的意义进行作图等. 解:最佳路径(两步曲): ⑴ 在 xOy 平面内作直线 x=3 和 y=2 相交于一点 ⑵ 过该点 沿与 z 轴平行的方向向上移动 1 个单位即求得 练习:在空间直角坐标系中,作出下列各点: (分组进行) A(0,2,4) ,B(1,0,5) ,C(0,2,0) ,D(1,3,4) 例 2 如图,长方体 ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=3,AD=4,AA′=2.以这个长方体的顶 点 A 为坐标原点,射线 AB,AD,AA′分别为,x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐 标系,求长方体各个顶点的坐标. 思路分析: 顶点的位置有两类:特殊点(落在坐标轴或坐标 平面上)、一般卦限中的点;处理方法:特殊点按特殊位置 处理;一般点按投影法进行. A' (0,0,2) 解: A (0,0,0) B (3,0,0) B ' (3,0,2) C (3,4,0) C ' (3,4,2) D (0,4,0) D ' (0,4,2) 投影法简介(以求点 B ' 坐标为例): 点 C ' 在 xOy 平面上的射影是 C, 因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点 C 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同。在 xOy 平面上,点 C 横坐标 x=3,纵坐标 y=4。点 C ' 在 z 轴上的射影是 A' ,它的竖 坐标与点 A' 的竖坐标相同,点 A' 的竖坐标 z=2。所以点 C ' 的坐标是(3,4,2). 练习: 书本 148 页练习题 2、3(师生共同活动完成练习并开展思路延拓训练) 延伸 1: (类比思想) 平面直角坐标系中,已知 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则线段 AB 的中点坐标:(

x1 ? x2 y1 ? y 2 , ) 2 2

空间直角坐标系中,已知 A?x1 , y1 , z1 ?, B?x2 , y 2 , z 2 ?,
则线段 AB 的中点公式: ( 延伸 2:特殊点坐标的特点 xOy 坐标平面内的点的特点:P(m,n,0) xOz 坐标平面内的点的特点:P(m,0,n) yOz 坐标平面内的点的特点:P (0,m,n) x 轴 上的点的坐标的特点:P (m,0,0) y 轴 上的点的坐标的特点:P (0,m,0) z 轴 上的点的坐标的特点:P (0,0,m)

x1 ? x 2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2

例 3 结晶体的基本单位称为晶胞(如图是食盐晶胞的示意图).其中色点代表钠原子,黑点 代表氯原子.建立空间直角坐标系 O—xyz 后,试写出全部钠原子所在位置的坐标. 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它 们所在位置的坐标. 下层的原子全部在 xOy 平面上所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别为: (0,0,0) , (1,0, 0) , (1,1,0) (0,1,0) , (

1 1 , ,0); 2 2

中层的原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z

1 , 所以这四个钠原子所在 2 1 1 1 1 位置的坐标分别是( ,0, ) , (1, , ) , 2 2 2 2
轴交点的竖坐标为 (

1 1 1 1 ,1, ) , (0, , );上层的原子所在的平面平行于 xOy 平面,与 z 轴交点的竖 2 2 2 2 1 1 , ,1). 2 2

坐标为 1,所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0,0,1) , (1,0,1) , (1,1,1) , (0,1,1) , (

探究:若题中没有建立空间直角坐标系 ,还可以怎 样建立坐标系? 师生活动:建立坐标系方式很多,以最特殊方式为 例(如右图)分析,可求得相关点的坐标. 设计意图:使学生感受:同一个点,因建系方式不 同而坐标不同,体现自主学习. 延伸 3: 空间对称点 (借助于探究性学习结果) 一般的点 P(x , y , z) 关于: (1)

x 轴对称的点 p1 为 ?x,? y,? z ? ;

(2)xoy 平面对称的点 p 2 为

?x, y,? z ? ;

(3) 原 点 对称的点 p3 为 ?? x,? y,? z ? ; 归纳: (1) (2)中关于谁对称谁不变, (3)中两对称点相应坐标均成相反数. 例 4 已知正三棱柱 ABC ? A' B' C ' 各棱长均为2,如图建立空间直角坐标系,试求各顶点 的坐标. 思路分析: 顶点的位置有两类:特殊点(落在坐标轴或坐标平面上)、一般卦限中的点;处理 方法:特殊点按特殊位置处理;一般点按投影法进行. 解: 过点 B 作 BD ? AC 于 D,则 A (0,0,2) A' (0,0,0)

B ' ( 3 ,1,0)

B ( 3 ,1,2)

C ' (0,2,2)

C (0,2,0)

探究:若题中没有建立空间直角坐标系,该怎样建立? 师生活动:建立坐标系方式很多,给学生充分时间思考. 以(如右图)分析,可求得相关点的坐标. 解: 以 AB 中点 O 为原点,建立如图所示的坐标系,则 A (-1,0,0) A' (-1,0,2) B (1,0,2) B ' (1,0,0)

C ' (0, 3 ,0)

C (0,

3 ,2)

设计意图:和学生共同感受 ?xOy ? 45? 也可,突破思维定性,更符合斜二测画法要求,点击 教学用书中的遗漏之处. 四、课时小结 1. 空间(右手)直角坐标系的概念、画法 2. 给出点写出坐标及给出坐标如何找点 3. 会求空间一点关于坐标平面、坐标轴及原点的对称点 五、说明 结合课堂教学中的相关情景加以反思整合而成的该则新案例,在具体教学过程中辅以多 媒体教学,倡导自主学习,给学生以充分思考时间,是在新课改下的一种新型尝试.世界因你 (思)而转,一点一点公转,相信只要我们积极贯彻新课改理念,加强理论与实践结合,勇于思 考,积极探索,取其精华,课改将在不断反思中越趋成熟.


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