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竞赛{函数)


全国高中数学联赛 试题规则和考试范围

具体作法是:“对学有余力的学生,要通 过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发 展他们的数学才能”,“要重视能力的培 养……,着重培养学生的运算能力、逻辑思维 能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、 综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要 的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思 考和自学的能力”。 考试内容,是

高考教学的要求,也是竞赛 的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理 解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌 握的熟练程度,有更高的要求。

一、全国高中数学联赛试题规则
联赛分为一试、加试(即俗称的“二 试”)。各个省份自己组织的“初赛”、 “初试”、“复赛”等等,都不是正式的全 国联赛名称及程序。 一试和加试均在每年10月中旬的第一个 周日举行。

一试 考试时间为上午8:00-9:20,共80分钟。 试题分填空题和解答题两部分,满分120分。 其中填空题8道,每题8分;解答题3道,分别 为16分、20分、20分。
加试(二试) 考试时间为9:40-12:10,共150分钟。 试题为四道解答题,前两道每题40分,后两道 每题50分,满分180分。试题内容涵盖平面几 何、代数、数论、组合数学等。

依据考试结果评选出各省级赛区级一、 二、三等奖。其中一等奖由各省负责阅 卷评分,然后讲一等奖的考卷寄送到主 办方(当年的主办方),由主办方复评, 最终由主管单位(中国科协)负责最终 的评定并公布。二、三等奖由各个省自 己决定。 各省、市、自治区赛区一等奖排名 靠前的同学可参加中国数学奥林匹克。

二、考试范围
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲, 完全按照全日制中学《数学教学大纲》 中所规定的教学要求和内容,即高考所 规定的知识范围和方法,在方法的要求 上略有提高,其中概率和微积分初步不 考。

二试

1.平面几何 基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的 所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、 托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和 最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方 和最小的点--重心。 几何中的运动:反射、 平移、旋转。 复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。

2.代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式, 三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。 n个变元的平均不等式,柯西不等式,排 序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定 理,单位根,单位根的应用。

圆排列,有重复的排列与组合,简单的组 合恒等式。 一元n次方程(多项式)根的个数,根与 系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包 括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧 几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数, 费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其 性质。

3.立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三 面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。

4.平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直 线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。

5.其他

抽屉原理。 容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。 梅涅劳斯定理 托勒密定理 西姆松线的存在性及性质。 赛瓦定理及其逆定理。

高中数学竞赛专题
──函数

定义1:映射
对于任意两个集合A,B,依对应法则 f,若对A中的任意一个元素x,在B中都 有唯一一个元素与之对应,则称f: A→B 为一个映射。

定义2:单射 若f: A→B是一个映射且对任意x,
y∈A, x y, 都有f(x)
f(y)

则称之为单射。

定义3:满射
若f: A→B是映射且对任意y∈B,都 有一个x∈A使得f(x)=y,则称f: A→B是A 到B上的满射。

定义4:一一映射
若f: A→B既是单射又是满射,则叫 做一一映射。 只有一一映射存在逆映射,即从B 到A由相反的对应法则f-1构成的映射,记 作f-1: A→B。

定义5:函数
映射f: A→B中,若A,B都是非空数 集,则这个映射为函数。

A称为它的定义域,若x∈A, y∈B, 且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x 的象,x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫
函数的值域。通常函数由解析式给出,此 时函数定义域就是使解析式有意义的未知 数的取值范围。

定义6:反函数
若函数f: A→B(通常记作y=f(x)) 是一一映射,则它的逆映射f-1: A→B叫 原函数的反函数,通常写作y=f-1(x).
这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解x得x=f-1(y),然后将x, y 互换得y=f-1(x),最后指出反函数的定义 域即原函数的值域。

定理1:互为反函数的两个函数的 图象关于直线y=x对称。

定理2:在定义域上为增(减)函 数的函数,其反函数必为增(减)函数。

定义7:函数的性质
(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满 足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2,总有 f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)),则称f(x)在区间I 上是增(减)函数,区间I称为单调增(减) 区间。 (2)奇偶性:设函数y=f(x)的定义域为D, 且D是关于原点对称的数集,若对于任意的 x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数; 若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函 数的图象关于y轴对称。

(3)周期性:对于函数f(x),如果存

在一个不为零的常数T,使得当x取定义
域内每一个数时,f(x+T)=f(x)总成立, 则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的

周期,如果周期中存在最小的正数T0,
则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义8:区间
如果实数a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R} 叫做开区间,记作(a,b), 集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b], 集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间(a,b], 集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a, b), 集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞), 集合{x|x≤a}记作半开半闭区间(-∞,a].

定义9:函数的图象
点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数

y=f(x)的图象,其中D为f(x)的定义域。
通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与

其他函数图象之间的关系(a,b>0);
1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象; (2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象; (3)向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象;

(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对 称(5)与函数y=-f(-x)的图象关于原点 成中心对称; (6)与函数y=f-1(x)的图象关于直线

y=x对称;
(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对 称。

定理3:复合函数y=f[g(x)]的单调 性,记住四个字:“同增异减”。 注:复合函数单调性的判断方法为

同增异减。这里不做严格论证,求导之
后是显然的。

方法与例题
1.数形结合法。 例1:求方程|x-1|= 的正根的个数.

例2:求函数f(x)=
的最大值。

解:f(x)=
记点P(x, x2),A(3,2),B(0,1), 则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。 因为|PA|-|PA|≤|AB|=

当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点 时等号成立。 所以f(x)max=

2.函数性质的应用。
例3:设x, y∈R,且满足

求x + y .
解:设f(t)=t3+1997t,先证f(t)在(∞,+∞)上递增。 事实上,若a<b,则f(b)-f(a)=b3a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0, 所以f(t)递增。 由题设f(x-1)=-1=f(1-y),所以x1=1-y,所以x+y=2.

例4:奇函数f(x)在定义域(-1,1) 内是减函数,又f(1-a)+f(1-a2)<0,求a 的取值范围。 解:因为f(x) 是奇函数,所以f(1a2)=-f(a2-1),由题设f(1-a)<f(a2-1)。 又f(x)在定义域(-1,1)上递减,所 以-1<1-a<a2-1<1,解得0<a<1。

例5:设f(x)是定义在(-∞,+∞)上以 2为周期的函数,对k∈Z, 用Ik表示区间 (2k-1, 2k+1],已知当x∈I0时,f(x)=x2, 求f(x)在Ik上的解析式。 解:设x∈Ik,则2k-1<x≤2k+1, 所以f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为f(x)是以2为周期的函数, 所以当x∈Ik时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.


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