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映射的概念教学设计


3.2 映射的概念 课题:映射的概念
教学目标: 1.知识与技能 了解映射的概念,掌握象、原象等概念及其简单应用。 2.过程与方法 学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.情感、态度与价值观 树立数学应用的观点,培养学习良好的思维品质。 教学重点:映射的概念的形成与认识。 教学难点:映射的概念的形成与认识。 课 型:新授课。 教学方法

:启发讨论式 教学用具:多媒体 教学过程: 一、创设情境 同学们在参加中考的时候,每个人都有一张准考证,准考证上都会有一个考 号,在考试的时候,同学们都会凭借着准卡证号去寻找自己的座位,也就是说通 过准考证,考号与座位建立起了一种对应关系。 二、活动尝试 1、在初中我们已学过一些对应的例子: (学生思考、讨论、回答) ①对任意实数 a,数轴上都有唯一的一点 A 与此相对应 ②坐标平面内任意一点 A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应 三、师生探究 今天我们就要在这个基础之上,再结合我们前边所学过的集合的有关知识, 来重点研究两个集合元素与元素之间的一种特殊的对应关系, 我们把它称作为映 射(板书课题) 。 那对于什么是映射,我们称它为一种特殊的对应,那它又特殊在什么地方 呢?所以大家跟我一起看下边的机组对应:设 A,B 分别是两个集合,为简明起 见,设 A,B 分别是两个有限集

A 9 4 1

开平方

B 3 -3 2 -2 1 -1

A

求正弦

B

30 0 45 0 60 0 90 0
(2) A 1 2 3 (4) 乘以2

1 2 2 32

2

1

(1) A 1 -1 2 -2 3 -3 (3) 求平方 B 1 4 9

B 1 2 3 4 5 6

说明: (2) (3) (4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合 A 中的任何一 个元素,在右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应。 映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任 何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合 A、 B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射 记作: f : A ? B 象、原象:给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B ,如果元素 a 和 元素 b 对应,则元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象。 映射定义的分析: (学生思考、讨论、回答,教师整理、强调) ① 映射三要素:集合 A、集合 B、对应法则 f. ② 特殊的对应:A 中的任一元素都对应着 B 中唯一的一个元素(任一对唯 一) 。 “任一” : 就是说对集合 A 中任何一个元素,集合 B 中都有元素和它对应, 这是映射的存在性; “唯一” :对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都是唯一的元素和它 对应,这是映射的唯一性。 “在集合 B 中” :也就是说 A 中元素的象必在集合 B 中,这是映射的封闭性. 判断下边的对应是不是映射:A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:x→1/x(集合 A 中的 0 没有倒数,这样的话,这个 0 在集合 B 中就找不到元素与它相对应, 不满足“任一”这个条件,所以不是映射) ③ 对应方式:一对一、多对一。 ④ 像的集合 C 包含于集合 B,即像的集合 C 是集合 B 的子集。 ⑤ “A 到 B” :映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同 一个映射,A 到 B 是求平方,B 到 A 则是开平方,因此映射是有序的

指出:根据定义, (2) (3) (4)这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射;注 意到其中(2) (4)是一对一, (3)是多对一 思考: (1)为什么不是集合 A 到集合 B 的映射? 回答:对于(1) ,在集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有两个元素与之 相对应,因此, (1)不是集合 A 到集合 B 的映射 思考:如果从对应来说,什么样的对应才是一个映射? 一对一,多对一是映射但一对多显然不是映射 辨析: ①任意性:映射中的两个集合 A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等; ②有序性:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一 个映射; ③存在性:映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象; ④唯一性:映射中集合 A 的任一元素在集合 B 中的象是唯一的; ⑤封闭性:映射中集合 A 的任一元素的象都必须是 B 中的元素,不要求 B 中的每一个元素都有原象,即 A 中元素的象集是 B 的子集. 四、例题讲解 例 1 判断下列对应是否映射?有没有对应法则? a b g (是) e f c b g a f c (不是) e b g a f d (是) e

是映射的有对应法则,对应法则是用图形表示出来的 例 2 下列各组映射是否同一映射? a b c e f g a b c e f g d b c e f g

例 3 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? (1) 设 A={1, 2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 对应法则 f : x ? 2 x ? 1 (2)设 A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数 (3) A ? N , B ? {0,1,2} , f : x ? x被3除所得的余数
1 1 1 (4)设 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1, , , } f : x ? x取倒数 2 3 4

(5) A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于x的最大质数

巩固练习: 1.设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合 A 中的元素 x 按照对应法 则“乘 2 加 1”和集合 B 中的元素 2x+1 对应.这个对应是不是映射?(是) 2.设 A=N*,B={0,1},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“x 除以 2 得的余 数”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射?(不是(A 中没有象) ) 3.A=Z,B=N*,集合 A 中的元素 x 按照对应法则“求绝对值”和集合 B 中 的元素对应.这个对应是不是映射? (是) 4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合 A 中的元素 x 按照对应法则“f : a? b=(a?1)2”和集合 B 中的元素对应.这个对应是不是映射? (是) 5.在从集合 A 到集合 B 的映射中,下列说法哪一个是正确的? (A)B 中的某一个元素 b 的原象可能不止一个; (B)A 中的某一个元素 a 的 象可能不止一个(C)A 中的两个不同元素所对应的象必不相同; (D)B 中的两个不同元素的原象可能相同 6.下面哪一个说法正确? (A)对于任意两个集合 A 与 B,都可以建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (B)对于两个无限集合 A 与 B,一定不能建立一个从集合 A 到集合 B 的映射 (C)如果集合 A 中只有一个元素,B 为任一非空集合,那么从集合 A 到集合 B 只能建立一个映射 (D)如果集合 B 只有一个元素,A 为任一非空集合,则从集合 A 到集合 B 只 能建立一个映射 7.集合 A=N,B={m|m= 在 f 作用下,象
2n ? 1 2x ? 1 ,n∈N},f:x→y= ,x∈A,y∈B.请计算 2n ? 1 2x ? 1

9 11 , 的原象分别是多少.( 5,6 ) 11 13

回顾反思 1.映射的概念。 2 判断映射的方法。 作业 1.下列对应为从 A 到 B 的一一映射的为 A.A={x|x0 且 y∈R},f:x→-x+1 B.A=R,B={y|y∈R 且 y≠0},f:x→ C.A={x|x>0 且 x∈R},B={y|y≥0 且 y∈R},f:x→ D.A=R,B=R,f:x→2x+3 2.设(x,y)在映射 f 下的象是( ) ,则在 f 下(-5,2)的原象是 A. (-10,4) B. (-3,-7) C. (-6,-4) D. (- )


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