当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年9月高中数学联赛模拟试题1


(1)设 n 为不小于 3 的正整数,公差为 1 的等差数列 a1 , a 2 ,…, a n 和首项为 1 的 等比数列 b1 ,b2 ,…,bn 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an ,求正整数 n 的最大值; (2)对任意给定的不小于 3 的正整数 n ,证明:存在正整数 x ,使得等差数列 ?am ? :
x n ? x n ?1 ? 1 ,x n ? 2 x n ?1 ? 1 , …,x n ? nx n ?1 ? 1 和等比数列 ?bm ? :xn ,(1 ? x) x n ?1 , …,

x(1 ? x)n ?1 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an .
解: (1)设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b2n?1 ,依题意得,

1 ? a1 ? b2 ? a1 ? 1 ? b22 ? a1 ? 2 ? b23 ? a1 ? 3 ? b24 ? a1 ? 4 ? b25 ? a1 ? 5 …,
…… 2 分 从而 1 ? b2 ? 2 ? b2 2 ? 3 ? b23 ? 4 ? b2 4 ? 5 ? b25 ? 6 ? …, 即 1 ? b2 ? 2 ①, 2 ? b2 ? 3 ②, 3 ? b2 ? 4 ③, 2 ? b2 ? 5 ④,
5 3 3 4

5 ? b2 ? 6 ⑤,…,由①②③④得, 3 ? b2 ? 5 ;因为 6 ? 3 ,所以由
5 3

5

3

4

①②③④⑤得, b2 不存在了,从而正整数 n 的最大值为 5; (2)依题意,am ? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1 ,bm ? xn 1 ? 1 x

…… 6 分

? ?

m?1

,且 m ? 1 ,2,…,n ,
am ? am 1 ? 1 , x x

一方面,当 x ? N* 时, am ? xn ,因此, am?1 ? am ? xn?1 ? am ? 结合 a1 ? b2 ? 1 ? b2 及 ?bm ? 是公比为 1 ? 1 的等比数列可得, x

? ?

1 ? b 1 ? 1 ? b ,…, a2 ? a 1 1 ? 1 ? b 21 ? 1 ? b , 3 a3 ? a2 1 ? 3 4 x x x x
从而对任意的 m ? 1,2,…, n ? 1 ,都有 am ? bm?1 ; 另一方面,因为 bm ? am ? xn 1 ? 1 x …… 11 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

m?1

? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1

? xn?m?1 ?1 ? x ?
3 的正整数)

m?1

? xn ? mxn?1 ? 1 ( m ? 1,2,…, n ,其中 n 为给定的不小于

? x ?1 ? x ?

n ?1

? xn ? nxn?1 ? 1

? xn ? (n ? 1) xn?1 ?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? x n ? nx n ?1 ? 1 2

S

数学参考答案

第 1 页(共 9 页)

?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? 1 ? x n ?1 (*) 2

显然,(*)式左边是关于 x 的 n ? 2 次式,右边是关于 x 的 n ? 1 次式, 只要正整数 x 充分大, (*) 式即可成立,从而 m ? 1, 2, …, 都有 bm ? am . n 时, 综上,必存在正整数 x ,满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an . …… 16 分

S

数学参考答案

第 2 页(共 9 页)


相关文章:
2015年9月13日全国高中数学联赛竞赛一试试题(A卷)
2015年9月13日全国高中数学联赛竞赛试题(A卷)_学科竞赛_高中教育_教育专区。 文档贡献者 wshizuoluo 贡献于2016-06-27 1/2 相关文档推荐 ...
2016年9月10日数学周测试卷(1)
2016年9月10日数学周测试卷(1)_数学_高中教育_教育专区。2016 年 9 月 10 日数学周测试卷一、选择题(共 5 小题;共 25 分) 1. 某商店购进一种商品,...
高二数学-2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷
2014-2015 学年高二(上)9 月月考数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.下列图形中,不...
2017年9月8日数学高考模拟试卷
2017年9月8日数学高考模拟试卷 - 2017 年 9 月 8 日数学高考模拟试卷 一、选择题(共 20 小题;共 100 分) 1. 已知全集 = ∪ 中有 个元素, ? ∪ ?...
贵州省松桃县松中2014届高三9月周考数学试题 Word版含...
贵州省松桃县松中2014届高三9月周考数学试题 Word版含答案]_高中教育_教育专区...二;答案部分松中 2013 年 9 月 14 高三周考数学卷答案一.选择题(每小题 ...
浙江省嘉兴市2018届高三9月模拟考试数学试题_图文
浙江省嘉兴市2018届高三9月模拟考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。 ...浙江省嘉兴市第一中学20... 8人阅读 9页 ¥10.00 【全国百强校】浙江省...
四川省攀枝花市米易中学2014届高三9月段考数学(文)试题...
四川省攀枝花市米易中学2014届高三9月段考数学(文)试题(附答案) (1) - 米易中学 2014 届高三 9 月段考数学(文)试题 注意事项: 1、答题前,务必将自己的...
贵州省2018届高三第一次模拟考试(9月月考)数学(理)试卷
贵州省2018届高三第一次模拟考试(9月月考)数学(理)试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017~2018 学年度第一学期高三第一次模拟考试数学(理) 试卷一、...
南京市2015届高三9月调研考试数学试题
南京市2015届高三9月调研考试数学试题 - 南京市 2015 届高三 9 月学情调研 数 注意事项: 1.本试卷共 3 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(...
河南省商城县上石桥高中2014届高三数学9月月考试题
上石桥高中 2014 届高三数学考试试题一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.) 2013-9-20 2 1.已知集合 M ? y y ? 2 , x ? 0 ...
更多相关标签: