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2014年9月高中数学联赛模拟试题1


(1)设 n 为不小于 3 的正整数,公差为 1 的等差数列 a1 , a 2 ,…, a n 和首项为 1 的 等比数列 b1 ,b2 ,…,bn 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an ,求正整数 n 的最大值; (2)对任意给定的不小于 3 的正整数 n ,证明:存在正整数 x ,使得等差数列 ?am ? :
x n ? x n ?1 ? 1 ,x n ? 2 x n ?1 ? 1 , …,x n ? nx n ?1 ? 1 和等比数列 ?bm ? :xn ,(1 ? x) x n ?1 , …,

x(1 ? x)n ?1 满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an .
解: (1)设 an ? a1 ? n ? 1 , bn ? b2n?1 ,依题意得,

1 ? a1 ? b2 ? a1 ? 1 ? b22 ? a1 ? 2 ? b23 ? a1 ? 3 ? b24 ? a1 ? 4 ? b25 ? a1 ? 5 …,
…… 2 分 从而 1 ? b2 ? 2 ? b2 2 ? 3 ? b23 ? 4 ? b2 4 ? 5 ? b25 ? 6 ? …, 即 1 ? b2 ? 2 ①, 2 ? b2 ? 3 ②, 3 ? b2 ? 4 ③, 2 ? b2 ? 5 ④,
5 3 3 4

5 ? b2 ? 6 ⑤,…,由①②③④得, 3 ? b2 ? 5 ;因为 6 ? 3 ,所以由
5 3

5

3

4

①②③④⑤得, b2 不存在了,从而正整数 n 的最大值为 5; (2)依题意,am ? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1 ,bm ? xn 1 ? 1 x

…… 6 分

? ?

m?1

,且 m ? 1 ,2,…,n ,
am ? am 1 ? 1 , x x

一方面,当 x ? N* 时, am ? xn ,因此, am?1 ? am ? xn?1 ? am ? 结合 a1 ? b2 ? 1 ? b2 及 ?bm ? 是公比为 1 ? 1 的等比数列可得, x

? ?

1 ? b 1 ? 1 ? b ,…, a2 ? a 1 1 ? 1 ? b 21 ? 1 ? b , 3 a3 ? a2 1 ? 3 4 x x x x
从而对任意的 m ? 1,2,…, n ? 1 ,都有 am ? bm?1 ; 另一方面,因为 bm ? am ? xn 1 ? 1 x …… 11 分

? ? ? ?

? ? ? ?

? ?

m?1

? xn ? xn?1 ? 1 ? (m ? 1) xn?1

? xn?m?1 ?1 ? x ?
3 的正整数)

m?1

? xn ? mxn?1 ? 1 ( m ? 1,2,…, n ,其中 n 为给定的不小于

? x ?1 ? x ?

n ?1

? xn ? nxn?1 ? 1

? xn ? (n ? 1) xn?1 ?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? x n ? nx n ?1 ? 1 2

S

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?

n(n ? 1) n ? 2 x ? … ? x ? 1 ? x n ?1 (*) 2

显然,(*)式左边是关于 x 的 n ? 2 次式,右边是关于 x 的 n ? 1 次式, 只要正整数 x 充分大, (*) 式即可成立,从而 m ? 1, 2, …, 都有 bm ? am . n 时, 综上,必存在正整数 x ,满足 b1 ? a1 ? b2 ? a2 ? … ? bn ? an . …… 16 分

S

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