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分类加法计数原理和分步乘法计数原理


§2-3:1.1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
《课标》要求: ①通过实例,总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理; ②能根据具体问题特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单实际问 题。 教材分析: 计数问题是数学中的重要研究对象之一,也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。 分类加法计数原理、 分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的

基础上归纳出来 的基本规律。它们不仅是推导本章 1.2 排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据,也是 求解排列、组合问题的基本思想,且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数 原理的典型应用而设置的。可见,其基本思想方法贯穿本章内容的始终,因而,它们是学好 本章内容的关键。 另一方面, 这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等 数学有关分支的预备知识。因此,理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。教材采 取了“实例分析——抽象概括”的方式,安排了从具体例证中归纳两个计数原理的活动,以 引导学生经历原理的概括过程。 学情分析: 在目前学生如果遇到与计数有关问题,基本采用列举法,即一个一个的数;在初中概率 学中也学过树状图,也可解决这种问题。但当这个数很大时,列举法就很难实施,学生在遇 到与计数原理的题目时,有一种胆怯的感觉,主要就是弄不清“完成”一件事到底是什么以 及如何完成。 教学目标: 知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 过程与方法:培养学生的归纳概括能力; 情感、态度与价值观:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学思路:建构主义理论认为,学生是知识意义的主动建构者。只有通过自己的亲身体验和 合作、对话等方式,学生才能真正完成知识意义的建构。 首先先通过解决两个典型的、学生熟悉的实例(座位编号、不同路线的问题) ,得出解 答后,利用“探究”引导学生分析两个问题的共同特征,然后再抽象概括出分类加法计数原 理, 鼓励学生再举出一些生活中类似的分类计数问题的例子, 接着再配以简单应用以使学生 初步熟悉原理,最后通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形。至于分步乘法计 数原理,则采用通过与分类加法计数原理对比,通过比较出真知。 教学过程 一、引入课题 先看下面的问题: ①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法? ②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法? 要解决这些问题, 就要运用有关排列、 组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法.

在运用排列、 组合方法时, 经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课, 我们从具体例子出发来学习这两个原理. 二、 分类加法计数原理 (1)提出问题 问题 1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编 出多少种不同的号码? 问题 1.2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有 3 班,汽车 有 2 班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 探究:你能说说以上两个问题的特征吗? (2)发现新知 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 法,在第 2 类方案中有

m 种不同的方

n 种不同的方法. 那么完成这件事共有
N ?m?n

种不同的方法. (3)知识应用 例 1.在填写高考志愿表时, 一名高中毕业生了解到, A,B 两所大学各有一些自己感兴趣 的强项专业,具体情况如下: A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 分析:由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又 由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以 选择 A , B 两所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种 专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理, 这名同学可能的专业选择共有 5+4=9(种). 变式:若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同 学可能的专业选择共有多少种? 探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法, 在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法, 那么完成这件事共有多 少种不同的方法? 如果完成一件事情有 n 类不同方案, 在每一类中都有若干种不同方法, 那么应当如何计 数呢? 一般归纳: 完成一件事情, 有 n 类办法, 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m2

种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 理解分类加法计数原理: 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互 独立, 各类中的各种方法也相对独立, 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 例 2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条? 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 C1 有三类方法,从局部上看每类又需两步完成, 所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点 A 到顶点 C1 最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条 三、 分步乘法计数原理 (1)提出问题 问题 2.1:用前 6 个大写英文字母和 1—9 九个阿拉伯数字,以 A1 , A2 ,…, B1 , B2 ,… 的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码? 用列举法可以列出所有可能的号码:

我们还可以这样来思考: 由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何 一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9 = 54 个不同的号码. 探究:你能说说这个问题的特征吗? (2)发现新知 分步乘法计数原理 方法,在第 2 类方案中有 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有

m 种不同的

n 种不同的方法. 那么完成这件事共有
N ? m?n

种不同的方法. (3)知识应用 例 1.设某班有男生 30 名,女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比 赛,共有多少种不同的选法? 分析:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第 l 步选男生.第 2 步选女生. 解:第 1 步,从 30 名男生中选出 1 人,有 30 种不同选择; 第 2 步,从 24 名女生中选出 1 人,有 24 种不同选择. 根据分步乘法计数原理,共有 30×24 =720 种不同的选法. 探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种 不同的方法,做第 3 步有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事情需要 n 个步骤, 做每一步中都有若干种不同方法, 那么应当如何计 数呢? 一般归纳: 完成一件事情,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不 同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 理解分步乘法计数原理: 分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存, 完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点:都是完成一件事的不同方法种数的问题 ②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方 法相互独立, 各类中的各种方法也相对独立, 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成 这件事,是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干 步, 各个步骤相互依存, 完成任何其中的一步都不能完成该件事, 只有当各个步骤都完成后, 才算完成这件事,是合作完成. 例 2 .如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一 种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

解: 按地图 A、B、C、D 四个区域依次分四步完成,

第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 变式 1.如图,要给地图 A、B、C、D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色 使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种? (若颜色是 2 种,4 种,5 种又会什么样的结果呢?) 2.现有高一年级的学生 3 名,高二年级的学生 5 名,高三年级的学生 4 名. ( 1 )从 中任选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?村去 C 村,不同 ( 2 )从 3 个 年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法? 四、课堂练习:P6 1,2,3 五、课堂小结 1、解决有关计数原理的题目,首先要能正确回答“完成一件事情”是指什么; 2、分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案” ,是指完成这件事的所有方法可以 分为两类,即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务。是不受其他类的限制的,即类与 类互不相容。 3、分步乘法计数原理中的“完成一件事需两个步骤” ,是指完成这件事的任何一种方法,都 要分成两个步骤, 在每个步骤中任取一种方法, 然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。 即各个步骤是相互 依存的,只有依次完成每个步骤才能完成这件事。 六、课后作业:P12 1,2,3,4,5 七、板书设计 课题: 分类加法计数原理 特点 分步乘法计数原理 特点 八、教学反思 引例 思考 例题 练习 小结 作业


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