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谈数学解题的外形联想策略


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中学 数 学 月 刊 

2 0 1 4年 第 8期 

谈 数 学 解 题 的外 形 联 想 策 略 
张祖寅  ( 江 苏省无锡 市第一 中学 人 的数 学思 维 有 宏 观 与微 观两 个 方 面. 宏 观  上, 数 学思 维乃是 生 动活泼 的策 略创

造 , 如直 觉顿  2 1 4 0 0 0 )  

以联想 一元 二次 方程 , 类 比其判 别式 求解 .  

例1   已知√ 2   b 一2 c 一口 , 求证 : b 。 ≥4 a c .  
分 析  由b 。 ≥ 4 a c即 b 。 一4 a c≥ 0 , 从 而 联  想 到 某 一 元 二 次 方 程 有 实 根 .而 已 知 条 件 可 化 为 


悟、 联 想 类 比等 ; 微观上 , 数 学 思维 却 要 求 步 步为 
营, 言 必有 据 , 进 行严 谨 的逻辑 演绎 .宏 观思 维是 

从整 体 出 发 , 进而推断、 把 握 问题 的方 向 , 促 使 直 
接、 快 速 发 现 知识 的规 律 , 具有 创 造 性 , 因 而 它 是 

( 一  )   + 6 ( 一  ) + 一, 这 表 明 一 元 二 次 方  

思维 的 主导方 面 ; 微 观思 维则 是 寻根究 底 、 追 本溯  源, 从 推 理 的角度 来 论 证 所 发现 的知 识 规 律 是 否 

程 甜 + b x+c 一0 有 实根 一   . 于是 b   一4 a c ≥ 
0 , 即b  ≥ 4 n c .  

成立 . 学 生在 学 习 数 学 的认 知 过 程 中 , 对 每 一个  知识 点 的发 现 、 理 解和运 用 , 都离 不开 宏观 和微 观 
两 方面 的思维 . 长 期 的 解 题 经 验 和 解 题 教 学 的 实 

例 2   已知 9 z+ 3  + z 一0 , Y   一4 x z一 0 (  

≠ 0 ) , 求  的值 .   分 析  常规 方法 是消 去 z , 转 化为  , . y的方 
程, 然后再 进行 讨论 求解 . 而Y 。 一4 x z一0 外 形 结 

践表明, 完美 的解 题 与 广 泛 的数 学联 想 是 密 切 相  关的 . 对 有些 问题 我们 通 常 说 “ 想 不到 ” , 实 际 上 

应 该说 是“ 联 不上 ” .因 此 , 要 想 提 高解 题 能 力 , 首 
先 要在解 题 中提 高联 想水 平 . “ 外 形联 想 ” 是 根 据 

构 酷似 一元 二次 方程 判别 式 , 因此 联 想 到一 元 二  次 方程 ; 又 9 z+ 3  + 一0 , 可知 3是关 于 m 的方 

问题 的条件 或结论 所 显露 的外形 结构 特征 联想 与 
之 密切 相关 的另 一数 学模式 .它不仅 能达 到另 辟 

程x m  +y m4 -  一0的根 , 由 △一   一4 x z一0 , 故 
3   - 3一 一 一 4 Y 即  一 一 6 .  


蹊 径化难 为易 的 目的 , 还能 丰 富我们 的想 象能 力.  
1 联 想 根 的 判 别 式  对 于形 如 b  一 4 a c的 结 构 问 题 , 从 宏 观 上 可  思维状 态 时 , 教 师要 抓 住 时 机 给 予 开导 , 教师“ 举 


由数式 结构 联想 到判别 式 , 体现 了对 数式 结 

正确 !” “ 你 的想 法 很 好 !请 继 续 说 !” “ 这样做 ,   已经很 好 了 , 如 果观 察到这 一关 系 , 还能 做得 更简 





学 生应 该“ 反三” , 这 样 才 能 达 到 较好 的教 学 

效 果. 启 发 的本 质 是 激 发学 生 的求 知 欲 和学 习兴  趣 并 引导 学生 开展 积极 的思维 活动 . 其 中 的“ 愤” 、  

洁 !” “ 数学 要想 学得 好 , 数 形结 合 少 不 了 !”等 .  
恰 到好 处 的激励 , 可 以使 学生 的心情 变 得愉悦 , 兴 

“ 悱”是 学生好 知乐 学精 神 的体 现 . 善 于 启 发 的教  师能化 平淡 为神 奇 , 不会启 发 的教 师正好 相反 . 上 
面 的两 位 教师都 善 于 启 发 引导 . 需 要 注 意 的是 启  发不 能过 , 要把握好度 , 否则 就 会 干 扰 学 生 的学 

趣 得 到培养 , 自信 心得 到 增 强. 可以说, 激 励 是一 
种 鼓励 学生 探究 的艺 术.  
?

激 情 

激情是一种强烈激 动 的情 感 , 反映 了一个 人 的 

习. 因此 , 循 循善 诱 才是一 种教 学艺 术.  
?

精 神状态. 课 堂需要 激情 , 没 有激情 的教 师 , 就 没有 
激情 的课堂 , 没有激情 的教师 , 就 培养不 出有 激情 的  学生. 沉 闷的课 堂是无趣 的, 也不 利于学生 的学习和  思维. 有激情的教师最受学生 的欢迎 , 教师要 重视培  养 自己的激情 , 平时多观察 、 多学 习、 多实践 , 把对数 

激 励 

激励 , 就是 激发 鼓励 的意 思 , 它 属 于 即时性评  价 的范畴 . 激励 还 具 有 诊 断 、 调控 和 导 向的作 用 .   从《 论 语 》中我 们 看 到 , 孔 子在 开 展 教 学 活 动 时 ,   经常 启发 学生 提 问 , 《 论语 》 记 载 学 生提 问有 一 百 

学的爱、 教学 的爱 、 生活 的爱充分 展示 出来 , 以此来 
感染学生 , 点燃他们学 习数学 的热情. 上 面第 一位教  师就是一位激情型教师 , 其课 上得也 比较精彩. 可 以  说, 激情 主要是用来调节课堂气氛的艺术.  

多次 , 对 于好 的问 题 , 总 是 加 以肯 定 和鼓 励 . 上 面 
的优 秀青 年教 师也 善 于 使 用激 励 性 语 言 , 经 常使  用 的激励 语有 : “ 好, 非 常好 !” “ 太好 了 , 说 得非 常 

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构 的灵 活联 想 , 巧妙 地 运 用 辩 证 思 维 对 发展 学 生 

因为 S △ A O c +S △ ( 础 +S △ B f ) A—S △  c ,  
于 是  s i n   1 2 0 。 +  y z s i n   1 2 0 。 +  1   s i n  

的创造 性思 维 、 培 养学 生 的综合 素质 、 提 高教 学质  量 起到很 好 的作 用 .  
2   联 想 余 弦 定 理 

1 2 0 。 一  , 从 而可 得 x y+ y z+  一 2 .   解题 离不 开 方 法 的迁 移 、 思 维 的联 想 和 知识 

在 数 学解 题 中 , 常会 碰 到形 如 a   +b   +k a b — 
c   ( a , b , C >0 ,l 忌l <2 ) 的结构 , 这 自然 会联 想到 

余 弦定 理 , 进 行几 何代 换 , 从 而 把代 数 问题转 化为 
三 角 问题 , 使 比较 隐蔽 的关 系直 观化 .  

的交 融 , 要 摒弃 僵化 的 、 固定 的思 维模 式 .特别 当 

我们 屡攻 不克 或繁琐 难 解时 , 应 当纵横 联想 , 变换 
方法 .  

例3  求s i n   1 9 。 +, / 5   s i n   1 9 。 s i n   1 l 。 +s i n   l 1 。  
的值 .  

3   联 想 两 点 距 离 

分 析  本题 用纯 三角 的方 法较 为繁 琐 , 由所 

在解析 几何 中 , 点 A( z   ,   ) 和 B(  。 ,   ) 之  间 的 距 离 用 公 式 可 表 示 为  l  A B  J 一  

求 式子 外形 结 构联 想 到 △A BC 中余 弦 定理 a  一 
b   +c   一2 a? b? C O S   A的 变形公 式 : s i n   A—s i n   B   +s i n   C一 2 s i n   B? s i n   C?C O S   A, 于 是 令 △A BC  
中, B一 1 9 。 , C— l l 。 , 则 A 一1 5 0 。 .  

 ̄ / ( z  一 z   )  + (   一y 。 ) 。 , 它 不 仅 能 帮 助 我 们 
解 许 多解析 几何 的问 题 , 而 且 在 其 他 数 学 问题 中 
也 能发 挥重 要作 用 .   例 5  a   , a 。 , b   , b  ∈ R, 求证:   二   + 

则 s i n   1 9 。 +s i n   1 l 。+ , / g s i n   1 9 。 s i n   1 1 。一  
s i n   1 9。+ s i n  1 l 。一
1  

2 s i n  1 9 。 s i n  1 1 。 C OS  1 5 0。 一  



≥ 

s i n   1 5 0。 一 上

.  

分 析  该 题用根 式 及不 等式性 质 可得证 明 ,  

4  

但 比较 繁琐 . 若 从 外 形结 构形 式 , 可 联 想 到 三角 

本题还可发现 : s i n 。 a +s i n   +√ 3   s i n   a s i n   p  
1  

形 两边 之 和大 于第 三 边 , 把 不 等 式 看 作 是 三 角形 
三边 之长 , 在平 面直 角坐 标 系 中构 造 图形 , 使 三边 
满 足 结 论 .取 0( O , O ) , A( n 2 , b 2 ) , B( n 1 +a   2 , b   + 

中只要a +  一3 0 。 , 其值均为÷!  
上述 解 法之 简捷 , 令人 赞叹 , 并 由此 可得 到 问  题 编设 的真谛 , 不 禁会 大胆 设想 :   s i n   口 +s i n   』 9 +2 s i n a s i n   p c o s  ̄ +卢 ) 一s i n   ( a  
+ 口);  

b   ) , 由l   O A   l +l   A B   l ≥l   O B   l ( 等 号 当且仅 当 o,  
A, B共 线取 到 ) 可 得证 .  

当然 , 若联 想 到 复数 的模 , 利 用 复数 中 l   z  l   +l   z 2   l ≥} z 1 + 2   l , 设 l —n 1 +b 1 i ,  2 一Ⅱ 2 +b 2 i ,  
同样 可证不 等式 成立 .  

C O S 。 a +c o s   卢 一2 c o s a c o s   p c o s (  ̄ +  ) =s i n   ( a  
+  ) .  

例 4   已 知  ,  , 2为 正 数 , 且 满 足 方 程 组 
+ y  + x y—l ,  

例6   已知 5 z+ 1 2 y一6 0 —0 , 求 ̄ / z  + y  的 
最小值 .  

{   +z   +   一3 , 试求 x y +  +   的值 .  
1 z 。 +z 。 + 盯 一4 ,   分 析  原 方 程 组 可 化 为 

分析  按 常规 解法 , 是把 问题 转化 为求 一元 

函数 的最小 值 , 思路 清晰 , 但运 算较 繁 .若从 已知  式 的外形结 构 联 想 ,  ̄ / z  +  表 示 原 点 到 点 (  ,  
)的 距 离 , 而点(  ,  ) 又 在直 线 5  + 1 2 y一 6 O一  

+ y 一 2 xyC OS   1 2 0 。一 1  ,  

+2  一 2 y z c o s   1 2 0 。 一( √ 3 )  ,  
1 z   +z 。 一2 盟C O S   1 2 O 。 一2 。 .  

0上 , 因此 ̄ /  。 +  的最小 值 即为原 点 到直线 5 z  
+1 2 y一6 0 一O的距 离 . 从而(  ̄ /   。 +y   )   。   一 一  
0+ 0— 6 0   1  
、  

以上 结 构 类 似 余 弦 定 理 , 且 
右 边 常数有 1  + (   )  一 2  的特  征 ,于 是 可 构 造 如 图 1 中 的  Rt △A B C, 使  C一 9 0 。 , AC一 1 ,  
图 1  

6 0   1 3  

例 7   求 二 元 函 数 f( u ,  )一 ( “~ )  +  

(  

一旦) z 的最 小值

. 

B C一, / g, 则A B一2 .  
在R t △AB C内作 点 O, 使  AO C一  B OC一 
C OA 一 1 2 0 。 , 则 AO — L z, ∞ 一  , 1 3 0 一 .  

分析  本 题 是求 二 元 函数 极 值 , 题 型 生疏 ,   直接 求解 较为 困难 .从 其 右 式 外形 结 构 联 想 , 即 

? 

6 O   ?  

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为 A( U ,  ̄ / 2 一“   ) , B(  ,   )  
两点 间距 离 的平方 .而点 A,   B分别 是 半 圆 C   :  。 +y 。 一  2 (  ≥ O ) , 等轴 双 曲线 C z : x y  

. y  \ y _  /  

\ 、 /  
,   —


个数 . z ,   满足 0≤ 

1 十

Z V 

≤  .  
0  



 

厂 
o 

一  

分析  若 从 7 个 实数 着 手 , 难度较大 , 但 待 

证 式 颇 似 三 角 公 式t a n ( a 一 』 9 ) 一   苦  

,  

:9上 的动 点 , 于是 只需求 C 。  
与 C  上 的 点 之 间 的 最 短 距 

由此联 想三 角模 型. 设 给定 7个 实数 为 t a n   a   ( i 一  
图 2  

离. 作出 C  与 C  后 易 得 : - 厂 ( U ,  )的 最 小 值 为 2  
.  

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) 且 a   ∈ ( 一 号 , 号 ) , 0 与 等分 别  
为 t a n   0 与t a n 詈 , 将 ( 一 号 , 号 ) 分 为6 个 区 间 :  
( 一 号 , 一 号 ] , ( 一 詈 , 一 詈 ] , ( 一 詈 , 0 ] , ( o , 詈 ] ,  
(   ,  ] , (   ,  ) . 则必 有两 个 a   同属 一个 区间 ,  
0  

联 想能 充 分 调 动记 忆 中储 存 的信 息 , 触 发 创 
造 性思 维 的火花 .不 同的联 想 产生不 同的解题 方 
法 .  
4   联 想 三 角 公 式 

有些 数学 问题 , 从 所 给 关 系式 结 构 来看 与三  角公 式十分 相 似 , 由此建 构三 角模 型解 题 .   例 8   设 a , b 是 非 零 实 数 , 且 满 足 

不妨 设 a   , a   属 同一 区 间 , 且o /  ≥ a   , 那么 0 ≤a  

一 a   z ≤詈 b   , 而t a   一   一   1 十 t   a n   d   1   t a n a   2 一  

a s i n -  ̄   - + b c o s 量 5 ~n  , 求鱼 的值 . — 一t a n   求旦  



l 十 Z V   且 0 ≤ t a n ( a   一  ≤   J   ,  ≤ 奇  1 十   Y  


x -  y

ac os  
0 

一 b s i n  
0 

“  

≤  .  

分 析  从宏 观 上 观 察 等式 两 边 结 构 发 现 与 

联 想可 发 现 新 的数 学 知识 , 类 比可 寻求 到解  决 数学 问题 的方 法 和途 径 ; 可 培 养 学 生 的 发散 思  维、 创造 思维 及合 情推 理 能力. 此 题 因联 想到 正切 

两 角和 的正 切公式 “ 似 像非像 ” , 于是作 局 部调 整 ,  
将 左式 分子 分母 同除 以 a C O S   , 并 同 时变 化右 式 

和三 角模 型 , 使 解法 简洁 明 了 1   5   联想 直线 斜率 

t a n   + 鱼 
, 

得— — 孚  
1 
一  

f )

嗡 “ 

  .

丁 c  

一 t a n (  +  ) , 从而 得旦= t a n  
0  晓 

我们 知道 :  

表示 平 面 上 两 点 P   ( z   ,  

)和 P 。 (   , Y 。 ) 连 线 的斜率 . 有 些代 数 、 三 角 问 
一  
.  

题, 从 表 面上看 似乎 不能 用斜 率公 式来 解 , 但 只要 

哲 学家 康德 就 曾说过 : “ 每 当理 智缺 乏可 靠论  证 的思 路 时 , 联 想 这 个 方 法 往 往 能 指 引 我 们 前 
进. ”  

我们 注意 观察 , 对它 进行 适 当的变 形 , 便 可类 比斜 
率公 式 , 结合 图形解 之 .  



9  

已 知 函 数

f ( x   一 . z   ) = 

例 1 例  1   求 证:   _ 
±  
‘  

≤  ≤ } -  

≤ 

髯去  , R   f ( n  ( n ≠ 0 枷  z ) 的  


个 周 期 为 

.  

分 析 


观 察 式 子 

J ,   J
  。

分 析 

由于 条件 隐 蔽 , 要 想 直 接 求 出周 期 。  
的外 

联 想 到直线 的 斜率 公 




 

难 度 很大 .由 厂 ( Xl -. ; [ ' 2 ) 一  

x  

式, 那 么其意 义 即为 : 点 A( 2 , 3 )  
与 点 M( -C O S   0 , s i n   )两 点 所  确 定直 线 的斜率 .   而 M 点 的 轨 迹 是 圆  +  一1 , 由图 3 可知 :  
图 3  

形结 构 联 想 到 正 切 差 角 公 式 t a n ( a一   )=  

眚  
即可 .  

, 而t a n  一 1 , 则4 n 是厂 ( z ) 的 一  

个 周期 .先 从联 想猜 出周 期 , 然 后用 4 n代入 验证 
—  

当 点 M 位 于 切 点 M  时 Y 最 小 ,  … =  2 —2 √  
’  

例 1 0   任 给 7个 实 数 , 求证 : 其 中 至少 有 两 

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当 点 M 位 于 切 点 M。时  最 大 , . y   一 
2+ 2  
—  

问题 , 注意 启发 学 生对 中 学数 学 特 有 的理论 体 系  与思 维方 法 进 行分 类 总 结 、 综 合 概括 、 灵 活运 用 ,  
解 决实 际 问题 .  

’  

于 是  
例 1 2  

≤ 寿  ≤  
<1
. 

.  

6   联 想 曲线 定 义 

定 义揭 示 了事 物本 质 属 性 , 所 以有 些 问题 如  能 联想 曲线 定义 所得 解法 常较 为 简捷 .  

若 a ≠ b ,   求 证 : 一 1 < 



二  
分  析 


J ,   J l  
、 

1 4  

解 方 程:   、 / / z  一 8 z+ 1 7   +  一l 0 .  

由  

F  而

五 一  

的外  

\ \ \ 

B /l  

形 结 构 联 想 到 点 A( a ,  


。 

/一 r  


分析  从 外形 结构 上可 类 比 : 平 面上 两个两 

点 距离 和 为 1 O , 于 是 联 想 到椭 圆 的 定 义 , 因此 将 

原 方程 变 形 为 :  ̄ / ( z一 4 )  + 1+  ̄ / (  +4 ) 。 +1  
1 0 . 令 Y一1 , 则 方 程表 示点 ( z,  )到两 定 点 ( 4 ,   0 ) , ( 一4 , O )的距 离 和 为 1 0 , 符 合椭 圆 的定 义 , 那  么点(  ,  ) 满足 椭 圆方程 :   X   1 - y 一1 百 . 又 因为 一 


/ 1 +n 。 )  

与 

B( 6 ,  
图4  



/ 1 +b   )两 点 连 线 的 斜 

率, 而点 A, B又是 等轴 双 曲线 Y 。 一z   一1 上 支上 

的两 点 , 其渐 近线 的倾 斜角 分 别 为 4 5 。 和1 3 5 。 , 从 
- b 2< 1 .   而 一l <k A B< 1 , 即一1 < —— — a — 2- -  ̄1t


1 , 所… i  ̄ i 2 z



. 



_





1 , 于是 z一±  ?  

, 即原方 程 的 

a — —o 

设。 >6 > 

> 

证:  



解 

一± 

例 1 5   解 方程 :f     一3 I   l —l   z+ 3『 l 一2 .  
分 析  从 外 形 结 构 可 类 比 : 平 面 上 两 个 距 离 

分 析  原不 等式 等价 于 :  

之差 的绝 对值 等于 2 , 于是 联 想 到 双 曲线 的定义 ,  
因  此  将  原  方  程  变  形  为 :  



皇 





 

l  ̄ / ( z一 3 )  一 ( 0 —0 )  一 ̄ / ( 1 z+3 ) 。 一( 0 一o )  l  


(  )   + 1  ( 詈 ) ” 十 1  

2, 那 么 原方 程 表 示点 (  , O )到 点 ( 一3 , 0 ) , ( 3 ,  

( * ) 式 左 边 表 示 过 点A ( ( 詈 )   , (   )   ) 与  
P( 一 1 , 1 ) 两 点 直 线 的 斜 率 , 右 边 表 示 

0 )的距 离 之 差 为 2 , 即(  , 0 )应 是 以 点 ( 一3 , 0 ) ,  

( 3 , 0 ) 为焦 点 , 2 a 一 2的双 曲线 的顶 点. 由 a一1 , C  


3 可得 b   一8 , 所 以双曲线方程为 . 2 7 。 一告 =1 , 令 

B ( (   )   , (   )   ) 与 P ( 一 1 , 1 ) 两 点 直 线 的 斜 率 ,  
因 口> b > 0 ,   > , 则(   )  > (   ) ” , 而点 B在 
D 

Y一0得 z一 ±l , 即原方 程 的解 为  一 ±1 .  
例 1 6   已 知 
+ 


CO  S   ‘{ 3  

S1 n B  

1 , 求 

+ 

co  s  ‘  

(   ) m一 1  

s i n ' l 的值 f

.  

点 A 的 左 下 方 .于 是 愚 P A>  P B , 即 
‘  



> 
+ 1  

分析  从 已知式 的外 形 结 构 可 联 想 到 圆 或  椭 圆方程 .  

( f ) " - 1 澈  

>  
.  

联 想 1 : A ( 詈  ,   ) 在 圆  +  一 1 上 ,  
点 B( C O S 卢, s i n卢 ) 也 在 圆 。 +y   一1 上, 则过 _ B的 

联想 不 是空 穴来 风 , 更 不 是硬 拼硬 凑 , 它 是机  敏 的表 现 !  

切线 z 的方程 为 z   C O S   J 8 +y s i n   J 8 —1 . 把 点 A代 入 
切线 z 的方 程 中 , 显然 A ∈ z , 从 而点 A也 是切点 ,  

根 据 中学数 学 的学 习特点 , 在 教学 中 , 我 们应 
特 别 注意 引导学 生辩 证地 、 多视角 地去 思考 、 分析 

由 切 点 的 唯 一 性 可 知 点 A 与 点 B 重 合 , 即 詈  一  

? 

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c 。 s 卢 ,   s i n 2 a- -s i n   从而 c 。 s 2 a— c 。 s 。  


n 2 a—  

、  

= _ j  .求 证 :不 等 式 丛 

< K  < 

s i n 2   , 故 掣 +   : : : 1 .  
CO S  a  S1 n   a 

(  + 1 )  
—   一

‘ 

联想 2 :点 A( C O S   a , s i n   口 ) ,点 B( C O S 。  ,  

分 析  由要 证 的结 论 我 们联 想 到 两 个 数 列 
公式 :  


s i n 2 p ‘   ) 都 是 椭圆  而 C O S  +丽 s 1 y n o一   1 _ k  ̄ J A, 又过 点  
A 的椭 圆切线方 程 为 z+ Y一1 , 过点 B的椭 圆切 

1+ 2   4 - 3+ … +  ;  


线方 程也 为 z+  一1 , 由切点 的 唯一 性可 知 点 A   与点 B 重 合 , 即C O S   a— C O s   卢, s i n 。 口一 s i n   J 9 , 故 
4 - 一 s i n 4 p一 1  
C O S  a   s i n   a   ~ 






[ 1   .3 4 .5 4   .… + ( 4 2 n -1 ) -( 4 2 ”  

+1 ) ] .  
因此将 K 的通 项 公 式 中的  (  + 1 )进 行 

不 同 的联 想产 生不 同 的解法 , 联 想产生 方法 ,  
方法 在 联想 中生 成 .  

适 当放缩 , 构 建数 列 , 再 求和 即可.   而  <  丽 <  一  ,  

联 想就 是 一种 大胆 的合 理 的推 理 , 它 是 创 新  的一种 手 段. 因为有 了联 想 , 在 研 究 一个 问题 时 ,  

于是求 和 即得丛 

< K < 

. 

学 生将 跳 出一定 的框 架 , 不 受现 有知 识 的约束 , 根  据 其 中的思 想方 法 、 表现 形 式 等 去 利 用其 他 的知 
识、 方 法来 大胆 提 出设 想 , 来找 到具 有创 新性 的解 
题方法 .   7   联 想 数 列 求 和 

创 造 一个 数 列 的 思 路 产 生 在 丰 富 的联 想 之 
后, 而 一旦 构建 了一 个模 型 , 则 问题 解决 得 又快 又 

轻松 .联 想是探 索 问题 、 解 决 问题 与 发 现 新结 果 
的一 种卓 有成效 的思维 方法 .  
8   联 想 向 量 数 乘 

等差 、 等 比数 列 求 和 公 式 形 式 简 单 , 结 构 精 
巧, 很 能 给人联 想 空间 .  

由于 口? b —l   a   1 .   1 b     l C O S  , 则 I   a? b{ 。 ≤    I a    ? I   l b   I   .因此 , 对 于正数 积  ≤  的 问题 ,   常 常可联 想 向量解 之 .   例 1 9   设 n , b为 不 等 的正 数 , 求证 : ( a  + 
b   ) ( a  + b   )> ( 口 。 + b 。 )   .  

例1 7   已知 I 口 I <1 , I   b   l <1 , 证明:  兰  
+『 二   ≥『 =   ‘  
分析  此 题 常见 证 明方法 有 : 作 差 比较 法 、  

分 析  联想 向量 的数 量积 , 设 P一( 。 。 , b   ) , q  
:= =

综合 法 、 分析 法 、 三 角换 元法 、 放 缩法 .   由于 I   n   l <1 , l   b   I <1 , 则联 想 到等 比数列 求 
和公式 : _  —1 +。 。 +口  + &   …,  

( 口, 6),  

则( n 。 +b 。 )  一 ( p? q )  = = = l   P   l  ? I 口l  C O S  
≤l   p   l  ? l 口l 。 一( 口   +b   ) ( 口  +b   ) .   又口 , b 为不 等 的正数 , 那 么 P≠±q , 即 ≠ 0 ,  
7 c , 于是( 口  + b   ) ( a  + b   )> ( 口 。 +b 。 ) 。 .  

兰  一 1 +6 2 +b   4 - b   +…,  

丰富 的联想 产生 于 良好 的数学 记忆 能 力和 知  识 迁 移能力 .数学 问题 的解 决离 不 开联 想 , 而顺  利实 现合 理联 想 的关 键 , 在 于能 否 清 晰 地 把 握 知  识 之 间 的内在 联系 .   从 以上 例子 看 到 , 联 想 解 题 的关 键 是 从 外 形  结构 深入 问题 内部 , 把握 问题 特 征 , 进 而恰 当地 变  形, 在此基 础 上展 开联想 . 而联 想 的关 键 又来 自对  问题 的结 构 、 数值 等特 点进行 敏 锐 的观察 和认 识.   类 比联想 从不 同的途径 沟通 了 函数 、 方程 、 不 等式 

所 以   兰  +   兰  = 2   - 4 ( 。   . 4 b   ) + ( 。   +  
b   )+ ( & 。 +b   ) + … ≥ 2+ 2 a b+ 2 a   b  + 2 a 。 b 。 + 
… 一

2 ( 1十 a b+ 以   b  + 以 。 b 。+ … )一 _ 

.  

这 是一 种构 思 巧妙 、 精彩 简洁 的证 明 .  
著 名数 理 逻 辑 学 家 、 哲学 家罗素风趣 地说 :   “ 数学 不仅 拥 有 真 理 , 而 且 还 拥 有 至 高 的美 —— 


种 冷峻 而严 肃 的美 , 正 像雕 塑所 具 有 的美一 样 
, ,  


以及数 与形 之 间的关 系 , 体 现 了 不 同 数学 概 念 之 
间有机 和谐 的统一 , 发 挥 了基本 数学 思想 的作 用 ,   不失 为一 种 实用而 有效 的方 法 .  



例 1 8   设 K 一  ̄ / 1? 2+  ̄ / 2? 3+ … + 


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