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函数的定义域和值域练习题-解析


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函数的定义域和值域
1.函数 y= A.{x|x<0} C.{x|x<0 且 x≠-1} ?x+1?0 |x|-x 的定义域是( ) B.{x|x>0} D.{x|x≠0,且 x≠-1,x∈R}

?x+1≠0 ? 解析:依题意有? ,解得 x<0 且 x≠-1,故定义域是{x|x<0,且 x≠-1}. ?|x|-x>0 ?

答案:C 2.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( x y A.[2,5] B.N 0<x<5 2 5≤x<10 3 C.(0,20] ) 15≤x≤20 5

10≤x<15 4

D.{2,3,4,5}

解析:函数值只有四个数 2、3、4、5,故值域为{2,3,4,5}.答案:D f?2x? 3.若函数 y=f(x)的定义域为[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) )

?0≤2x≤2, ? 解析:要使 g(x)有意义,则? 解得 0≤x<1,所以 g(x)的定义域为[0,1) ? ?x-1≠0,

答案:B 2 4.函数 y= 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x-1 1 ? A.(-∞,0)∪? ?2,2? 1? C.? ?-∞,2?∪[2,+∞) B.(-∞,2] D.(0,+∞) )

1 ? 2 ,2 解析:∵x∈(-∞,1)∪[2,5),则 x-1∈(-∞,0)∪[1,4).∴ ∈(-∞,0)∪? 2 ? ? x-1 答案:A 5.已知 a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是 R 的是( A.f(x)=x2+a B.f(x)=ax2+1 )

C.f(x)=ax2+x+1 D.f(x)=x2+ax+1

解析:当 a=0 时,f(x)=ax2+x+1=x+1,其定义域和值域均为 R,所以只有 C 有可 能,而 A、B、D 均不符合要求,故选 C. 答案:C

?x2,|x|≥1, ? 6.设 f(x)=? g(x)是二次函数,若 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则 g(x)的值域 ? ?x,|x|<1,

是(

)
1

让知识充实你的人生 Let knowledge increase so that life may be enriched A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[0,+∞) D.[1,+∞)

解析:由 f(x)≥0 可得 x≥0 或 x≤-1,且 x≤-1 时,f(x)≥1;x≥0 时,f(x)≥0. 又 g(x)为二次函数,其值域为(-∞,a]或[b,+∞)型.而 f[g(x)]的值域是[0,+∞), 知 g(x)≥0,故选 C. 答案:C

π 2π? 7. (2012· 东北师大附中月考)已知函数 y=f(2sinx)的定义域为? ?2kπ-6,2kπ+ 3 ?(k∈Z), 则函数 y=f(x)的定义域为________. 解析:由于函数 y=f(2sinx)的定义域为

?2kπ-π,2kπ+2π?(k∈Z),所以函数 u=2sinx 的值域为[-1,2],所以函数 y=f(x)的定 6 3? ?
义域为[-1,2]. 答案:[-1,2] x-4 8.(2012· 南京模拟)若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 mx +4mx+3 ________. x-4 3 解析: 若 m=0, 则 f(x)= 的定义域为 R; 若 m≠0, 则 Δ=16m2-12m<0, 得 0<m< , 3 4 3? 综上可知,所求的实数 m 的取值范围为? ?0,4?. 3? 答案:? ?0,4?

1 ? 1 9.若函数 y=f(x)的值域是? ?2,3?,则函数 F(x)=f(x)+f?x?的值域是________. 1 ? 1 1 解析:令 t=f(x),则 ≤t≤3,由 g(t)=t+ 在区间? ?2,1?上单调递减,在[1,3]上单调递 2 t 1? 5 10 10 10 2, ? , 2, ?. 增, 所以 g? g(1)=2, g(3)= , 故函数 g(t)的值域是? 即 F(x)的值域是? 3 3? ?2?=2, ? ? ? 3 10 2, ? 答案:? 3? ? 10.求下列关于 x 的函数的定义域和值域: (1)y= 1-x- x; x y 0 2 (2)y=log2(-x2+2x); 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 (3)

? ?1-x≥0, 解:(1)要使函数有意义,则? ∴0≤x≤1,函数的定义域为[0,1]. ?x≥0, ?

∵函数 y= 1-x- x为减函数, ∴函数的值域为[-1,1]. (2)要使函数有意义,则-x2+2x>0,∴0<x<2. ∴函数的定义域为(0,2).
2

让知识充实你的人生 Let knowledge increase so that life may be enriched 又∵当 x∈(0,2)时,-x2+2x∈(0,1], ∴log2(-x2+2x)∈(-∞,0]. 即函数的值域为(-∞,0]. (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}, 函数值域为{2,3,4,5,6,7}. 1 1 11.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; 1 ? 1 ,2 上的值域是? ,2?,求 a 的值. (2)若 f(x)在? ?2 ? ?2 ? 解:(1)设 x1>x2>0,则 x1-x2>0. x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x1)-f(x2)=? ?a-x ?-?a-x ?
1 2

1 1 x1-x2 = - = >0, x2 x1 x1x2 ∴f(x1)>f(x2),因此,函数 f(x)是在(0,+∞)上的单调增函数. 1 ? ?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,又由(1)得 f(x)在?2,2?上是单调增函数, 1? 1 1 1 1 1 ∴f? ?2?=2,f(2)=2,即a-2=2,a-2=2. 2 解得 a= . 5

? ? 1? 12.已知函数 f(x)=?-2,x∈? ?-1,2?, 1 ? ? ,x∈? ?x-1 ?2,2?. x
(1)求 f(x)的值域. 得 g(x0)=f(x1)成立,求实数 a 的取值范围.

1 x+ ,x∈[-2,-1?, x

(2)设函数 g(x)=ax-2,x∈[-2,2],若对于任意的 x1∈[-2,2],总存在 x0∈[-2,2],使

5 1 - ,-2?; 解:(1)当 x∈[-2,-1)时,f(x)=x+ 在[-2, -1)上是增函数, 此时 f(x)∈? ? 2 ? x 1? 当 x∈? ?-1,2?时,f(x)=-2; 1 ? 1 ?1 ? 当 x∈? ?2,2?时,f(x)=x-x在?2,2?上是增函数,
3

让知识充实你的人生 Let knowledge increase so that life may be enriched 3 3? 此时 f(x)∈? ?-2,2?. 5 ? ? 3 3? ∴f(x)的值域为? ?-2,-2?∪?-2,2?. (2)①若 a=0,g(x)=-2,对于任意的 x1∈[-2,2], 5 ? ? 3 3? f(x1)∈? ?-2,-2?∪?-2,2?, 不一定存在 x0∈[-2,2]使得 g(x0)=f(x1)成立. ②若 a>0,g(x)=ax-2 在[-2,2]上是增函数, g(x)∈[-2a-2,2a-2], 5 ? ? 3 3? 任给 x1∈[-2,2],f(x1)∈? ?-2,-2?∪?-2,2?, 若存在 x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立, 5 ? ? 3 3? 则? ?-2,-2?∪?-2,2??[-2a-2,2a-2],

?-2a-2≤-2, ? 3 ?2a-2≥2,

5

7 ∴a≥ ; 4

③若 a<0,g(x)=ax-2 在[-2,2]上是减函数, g(x)∈[2a-2,-2a-2],

?2a-2≤-2, ? 3 ?-2a-2≥2,

5

7 ∴a≤- . 4

综上可得,实数 a 的取值范围是

?-∞,-7?∪?7,+∞?. 4? ?4 ? ?

4


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