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湖南省重点中学高一期中考试数学试题


2016 年永州四中高一第二次模块检测数学试题
时量:120 分钟满分:150 分 命题:周洪波 唐全山 审题:伍达志 2016.11.2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。

1,2? 可以表示 1,2,3,4,5? ,集合 M ? ? 1,2

,3? , N ? ?3,4,5? ,则集合 ? 1. 已知全集 U ? ?
为( ) D. M ? (CU N ) )

A. M ? N B. (CU M ) ? N C. (CU M ) ? (CU N ) 2.下列函数中,在区间 ? 0,1? 上是增函数的是( A. y ? x B. y ? 3 ? x C. y ?
1 x

D. y ? ? x 2 ? 4

?2 x , x ? 1 3.已知函数 f ( x) ? ? 为自然对数的底数,则 f [ f (e)] ? ?ln x, x>1
A.0 B.1 C.2 D. eln 2 4.已知 a=0.6 ,b=7 ,c= log0.7 ,则 a、b、c 的大小关系是
7 0.6

6

A. b<c<a

B. b<a<cC. c<a<b D. c<b<a

1
5.函数 f(x)=x-x 的图象关于( A.y 轴对称 C.坐标原点对称 ) B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称

1 6.已知幂函数 f ( x) 的图象经过点 (2, ) 则 f(-2) 的值为 4 1 1 A. ? B. C.-4 D.4 4 4

7.函数 y ?

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2

) D. ( ,1] ) D. (4,+∞)

A. [1, ??) B. ( , ??) 8. 函数 f ( x) ? ln x ? A. (1,2)

2 3

C. [

2 ,1] 3

2 3

2 的零点所在的大致区间是( x

B. (2,3)

C.(3,4)

9.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1? 上是增函 数,则下列关系式中成立的是(
3 A. f (? ) ? f (?1) ? f (2) 2 3 C. f (2) ? f (?1) ? f (? ) 2
x



3 B. f (?1) ? f (? ) ? f (2) 2 3 D. f (2) ? f (? ) ? f (?1) 2
x

10.设 f(x)=3 +3x-8, 用二分法求方程 3 +3x-8=0 在 x ? (1,2)内近似解的 过程中得 f(1) <0, f(1.5) >0, f(1.25) <0, 则方程的根落在区间 ( B. (1.25, 1.5) ) C. (1.5, 2) D.不能确定 )

A. (1, 1.25)
-x

11..函数 y=|2 -2|的图象是(

12.已知投资 x 万元经销甲商品所获得的利润为 P ? 获得的利润为 Q ?

x ;投资 x 万元经销乙商品所 4

a x (a>0) .若投资 20 万元同时经销这两种商品或只经销其中 2

一种商品,使所获得的利润不少于 5 万元,则 a 的最小值为 A. 5 B.5 C. 2 D.2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若集合 A ? 则这样的集合共有_________个. ?{2,3,7},且 A 中至多有 1 个奇数, 14 已知 f(x)=ax+b ( a ? 0, a ? 1 ) 的定义域和值域都是 ? ?1,0? , 则 a ? b =________. ?2x-1,x>0, 15.已知函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实 ?-x2-2x,x≤0, 数 m 的取值范围是________.
) - lg(x -1) 在区间 [2,??] 上是增函数,则 a 的取值范围是. 16.若函数 f ( x) ? lg(ax ? 1

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10 分)化简并求值

25 1 1 ? (1) ?( π ? 1) 0 ? ( ) 3 ? ( ) 3 4 8 64

1

2

(2)

2lg 2 ? lg 3 [来 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3

源 18.(本小题满分 12 分)
一次函数

f ? f ( x)? ? 16x ? 5 f ( x) 是 R 上的增函数,g ( x) ? f ( x)( x ? m) , 且 。

⑴若 g ( x) 在 ⑵当 x ?

?1, ??? 上单调递增,求实数 m 的取值范围;

??1,3? 时, g ( x) 有最大值 13,求实数 m 的值。

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为集合 A,函数 为集合 B, (1)求 A∩B; (2)若 C={x|3x<2m﹣1},且(A∩B)? C,求实数 m 的取值范围. ,x∈[0,9]的值域

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ? 4
x

? 2x ?1.

(1)当 a =1 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?3, 0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x)=0 有解,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数

f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ??) 为偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数.
o ? l g[ ( )af x ( ]a x?0 a ?
且 a ? 1) , 是否存在实数 a, 使 g ( x) 在

2

(1)求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式;

() (2) 若 gx

区间 [2,3] 上的最大值为 2,若存在,求出

a 的值,若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)
如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法”函数. (1)判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由; (2) 已知 是思法函数, 且不等式 2t+1+3t+1≤k (2t+3t)

对所有的 ft(x)都成立,求实数 k 的取值范围.

2016 年永州四中高一第二次模块检测数学试题参考答案

一.选择题:

1D 2A 3C 4C 5C 二.填空题: 13 6 14 3 2

6B 7D 8B 9D 10B

11D 12A

15

0≤m<1

16

1 <a<1 2

三.解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

25 1 1 ? (1) ?( π ? 1) 0 ? ( ) 3 ? ( ) 3 4 8 64 17.
(1) -15

1

2

(2)

2lg 2 ? lg 3 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3

[来源:Zxxk.Com]

lg 4 ? lg3 lg12 lg12 lg12 (2)原式= ? ? ? ?1 1 ? lg 0.36 ? lg 3 8 1 ? lg 0.6 ? lg 2 lg10 ? lg 0.6 ? lg 2 lg12

,x∈[0,9]的值域 18. 已知函数 f(x)=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为集合 A,函数 为集合 B, (1)求 A∩B; (2)若 C={x|3x<2m﹣1},且(A∩B)? C,求实数 m 的取值范围. 解答: (1)已知函数 f(x)=lg(x2﹣x﹣2)的定义域为集合 A,函数 x∈[0,9]的值域为集合 B,则 A={x|x2﹣x﹣2>0}={x|x<﹣1 或 x>2}, B={x|0≤x≤3}, ∴A∩B={x|x<﹣1 或 x>2}∩{x|0≤x≤3}={x|2<x≤3}; (2)∵ ∴ 且(A∩B)? C, ,即 m>5.



f f ( x)? ? 16x ? 5 19.一次函数 f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x)( x ? m) ,且 ?
⑴ 若 g ( x) 在 ⑵ 当 x?

?1, ??? 上单调递增,求实数 m 的取值范围;

??1,3? 时, g ( x) 有最大值 13,求实数 m 的值。

19.(1)设 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+(a+1)b=16x+5. 因为 f(x)是 R 上的增函数,故 a=4,b=1.f(x)=4x+1

(2)g(x)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,其对称轴为 x=-(4m+1)/8 因 为 g(x) 在 (1,+∞) 单 调 递 增 , 故 对 称 轴 应 在 x=1 的 左 边 , 即 -(4m+1)/8≤1,m≥-9/4 (3)因为 g(x)开口向上,故闭区间上的最大值只能在区间端点处取得. 若 g(-1)=13,m=-10/3,此时 g(3)=-13/3.g(-1)>g(3),g(x)在 x=-1 处取得最大值 13. 若 g(3)=13,m=-2,此时 g(-1)=9.g(3)>g(-1),g(x)在 x=3 处取得最大值 13. 故 m=-10/3 或 m=-2. 20.(12 分)已知函数 f ( x) ? 2a ? 4
x

? 2x ?1.

(1)当 a =1 时,求函数 f ( x) 在 x ? [?3, 0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x)=0 有解,求 a 的取值范围.
20.(1)当 a ? 1 时, y ? f ( x) ? 2(2x )2 ? 2x ?1 令 2x ? t , x ? [?3, 0] ? t ? [ ,1]

1 8

1 y ? 2t 2 ? t ?1 , t ? [ ,1] 8 1 2 9 9 ? 2(t ? ) ? ? y ? [? , 0] 4 8 8
2 2 (2) 2at ? t ? 1 ? 0 2at ? t ? 1 , (t ? 0)

2a ?

t ?1 1 1 1 1 2 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ? , ( ? 0) 2 t t t t 2 4 t

? 2a ? 0 a ? 0

21.已知函数

f ( x) ? x?2m ?m?3 (m ??) 为偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数.
( x) ? ax](a ? 0 且 a ? 1) ,是否存在实数 a, 使 g ( x) 在区

2

(1)求 m 的值,并确定 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x) ? loga [ f

间 [2,3] 上的最大值为 2,若存在,求出

a 的值,若不存在,请说明理由.

21. (1)由条件幂函数 f ( x) ? x

?2m2 ?m?3

(m ??) ,在 (0, ??) 上为增函数,

2 得到 ?2m ? m ? 3 ? 0 解得 ?1 ? m ?

3 , 2分 2

又因为 m ? Z , 所以 m ? 0 或 1. 3 分 又因为是偶函数当 m ? 0 时, f ( x) ? x3 , 不满足 f ( x ) 为奇函数; 当 m ? 1 时, f ( x) ? x 2 , 满足 f ( x ) 为偶函数; 所以 f ( x) ? x 2 . 5 分 (2) g ( x) ? loga ( x2 ? ax), 令 h( x) ? x 2 ? ax , 由 h( x) ? 0 得: x ? (??,0) ? (a, ??)

? g ( x) 在 [2,3] 上有定义,? 0 ? a ? 2 且 a ? 1,

? h( x) ? x2 ? ax 在 [2,3] 上为增函数.
当 1 ? a ? 2 时, g ( x)max ? g (3) ? loga (9 ? 3a) ? 2,

7分

a 2 ? 3a ? 9 ? 0 ? a ?

?3 ? 3 5 2 ?3 ? 3 5 8分 2

因为 1 ? a ? 2, 所以 a ?

当 0 ? a ? 1 时, g ( x)max ? g (2) ? loga (4 ? 2a) ? 2,

?a2 ? 2a ? 4 ? 0?a ? ?1 ? 5
? 0 ? a ? 1,?此种情况不存在,9 分
综上,存在实数 a ?

?3 ? 3 5 ,使 g ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值为 2 2

10 分

22.如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法”函数. (1)判断指数函数、对数函数是否为思法函数,并简述理由; (2) 已知 是思法函数, 且不等式 2t+1+3t+1≤k (2t+3t)

对所有的 ft(x)都成立,求实数 k 的取值范围.
【解答】解:(1)∵指数函数的定义域是 R,值域(0,+∞). ∴指数函数不是思法函数 对数函数的定义域是(0,+∞),值域 R,

故对数函数是思法函数. (2)令 y=lnu,u=x2+2x+t.则 u=(x+1)2+t﹣1 ①当△ =4﹣4t<0,即 t>1 时,恒有 u≥t﹣1>0. 故 ft(x)的定义域为 R,值域为[ln(t﹣1),+∞),ft(x)不是思法函数; ②当△ =4﹣4t≥0,即 t≤1 时,u=x2+2x+t 能取(0,+∞)中的一切值, 故 ft(x)的值域为 R.定义域不是 R,ft(x)是思法函数. 因此,ft(x)是思法函数?t∈(﹣∞,1]. 又 ,



,则 k≥g(t)max.



在(﹣∞,1]上是增函数,

故 所以 .




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