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扬州市2016学年度第一学期高三数学期中调研测试


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扬州市 2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试

数 学 试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2015.11 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置) 1.已知集合 A ? {x || x |? 2} , B ? {x | 3x ? 2 ? 1} ,则 A ? B = 2.已知复数 z 满足 iz ? 1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 z = 3.命题“ ?? ? R,sin ? ? 1 ”的否定是 4.若 sin ▲ ▲ . ▲ . ▲ . .

?

1 ? ? , ? ? [2? ,3? ] ,则 ? ? 2 2

? x? y?2?0 ? 5.设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? y?2 ?
6.已知双曲线 x ?
2





y2 ? 1的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? a





7.在 ?ABC 中,若 AB ? 1 , BC ? 2 , CA ? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值是 ▲ .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

8.已知函数 f ( x) ? ?

?e x ?x ?1

( x ? 0) ( x ? 0)

,则不等式 f ( x ) ? f (2 ? x) 的解集为
2





9. 将函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,
▲ .

然后把所得图象上的所有点沿 x 轴向右平移

? 个单位,得到函数 y ? 2sin x 的图象,则 f (? ) ? 3

2 2 2 10 .已知直线 x ? y ? 3 ? 0 与圆 O : x ? y ? r ( r ? 0) 相交于 M , N 两点,若 OM ? ON ? 3 ,则圆的半径 r ?

???? ? ????



. ▲ .

11.若 x 轴是曲线 f ( x) ? ln x ? kx ? 3 的一条切线,则 k ?

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12.已知定点 M (?1, 2) ,动点 N 在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动,以 OM , ON 为邻边作平行四边形 OMPN ,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 距离的取值范围是 13. ?ABC 中, tan A ? ▲ . ▲ .

1 ? , B ? .若椭圆 E 以 AB 为长轴,且过点 C ,则椭圆 E 的离心率是 3 4
2 2 2 2

14.实数 a 、 b 、 c 满足 a ? b ? c ? 5 ,则 6ab ? 8bc ? 7c 的最大值为





二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin(

?

x ? ) ? cos x . 4 6 4

?

?

(1)求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ? (0, 4) ,求 y ? f ( x) 的值域.

16. (本小题满分 14 分)

C 的对边分别为 a , b, 在 ?ABC 中, 角 A, 向量 m ? (cos C ,sin c, B,
(1)求角 C 的大小;
2 2 2 (2)若 a ? 2b ? c ,求 tan A 的值.

??

?? ? C ? C ), n ? (sin , cos C ) , 且 m / /n . 2 2

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17. (本小题满分 14 分)

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 .过原点的直线与椭圆 C 交 2 2 a b 于 A , B 两点( A , B 不是椭圆 C 的顶点) .点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB . (1)若椭圆 C 的右准线方程为: x ? 4 ,求椭圆 C 的方程; k y (2)设直线 BD 、 AB 的斜率分别为 k1 、 k2 ,求 1 的值. k2
如图,已知椭圆 C :

A D

O

x

B

(17 题图)

18. (本小题满分 16 分) 有一块三角形边角地,如图中 ?ABC ,其中 AB ? 8 (百米) , AC ? 6 (百米) , ?A ? 60? .某市为迎接 2500 年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中 ?AEF )供市民休闲,其中 点 E 在边 AB 上,点 F 在边 AC 上.规划部门要求 ?AEF 的面积占 ?ABC 面积的一半,记 ?AEF 的周长为 l (百 米) . (1)如果要对草坪进行灌溉,需沿 ?AEF 的三边安装水管,求水管总长度 l 的最小值; (2)如果沿 ?AEF 的三边修建休闲长廊,求长廊总长度 l 的最大值,并确定此时 E 、 F 的位置. A

F E B
(18 题图)

C

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19. (本小题满分 16 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 y ? m ? 0 相交,截得的弦长为 (1)求圆 C 的方程; (2)过原点 O 作圆 C 的两条切线,与抛物线 y ? x2 相交于 M 、 N 两点(异于原点) .证明:直线 MN 与圆 C 相 切; (3)若抛物线 y ? x2 上任意三个不同的点 P 、 Q 、 R ,且满足直线 PQ 和 PR 都与圆 C 相切,判断直线 QR 与圆 C 的位置关系,并加以证明.

2 5 . 5

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? | x3 ?1| ? x3 ? ax (a ? R) . (1)解关于字母 a 的不等式 [ f (?1)]2 ? f (2) ; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的最小值; (3)若函数 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,试判断 f ( x1 x2 ) 的符号,同时比较 f ( x1 x2 ) 与 a ? 1 的大小,并说明理由.

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2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试


21. (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?





题Ⅱ
2015.11

(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟)

?1 a ? ?2? 2 ,属于特征值 4 的一个特征向量为 ? ? ,求 A . ? ?b 2 ? ?3?

22. (本小题满分 10 分) 3 个女生,4 个男生排成一排,记 X 表示相邻女生的个数,求随机变量 X 的概率分布及数学期望.

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23. (本小题满分 10 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , B1C ? AC1 . (1)求 AA1 的长. (2)在线段 BB1 存在点 P ,使得二面角 P ? AC 1 ? A 大小的余弦值为

3 BP ,求 的值. 3 BB1

A1 C1

B1
A

P

B

C

24. (本小题满分 10 分) 已知 Fn ( x) ?

(23 题图)
k k n

?[(?1) C
k ?0

n

. f k ( x)] ( n ? N * )

(1)若 f k ( x) ? xk ,求 F2015 (2) 的值; (2)若 f k ( x) ?

x n! ( x ?{0 , ?1 ,…, ? n} ) ,求证: Fn ( x) ? . x?k ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? n)

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数 学 试 题Ⅰ 参 考 答 案
2015.11 一、填空题 1. [1, 2] 8. (?2,1) 二、解答题 15.解: (1) f ( x) ? sin( 2.2 3. ?? ? R,sin ? ? 1 4.

7? 3

5.9

6.

1 4

7. ? 5

9.0

10. 6

11. e

2

12. [2, 4]

13.

6 3

14.45

?

? ? 3 ? 3 ? ? ? x ? ) ? cos x ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) 4 6 4 2 4 2 4 4 3
?
……4 分

2 10 ? 8k , k ? Z ∵ ? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? ∴ ? ? 8k ? x ? 2 4 3 2 3 3 2 10 ? 8k ](k ? Z ) ∴ f ( x ) 的单调增区间为: [? ? 8k , ……7 分 3 3 ? ? ? 2? 3 ? ? (2)∵ x ? (0,4) ∴? ? x? ? ∴? ? sin( x ? ) ? 1 3 4 3 3 2 4 3 3 ∴ f ( x ) 的值域为: (? , 3] ……14 分 2 ?? ? 2 2 C ?0 16.解: (1)∵ m / / n ∴ cos C ? sin ……3 分 2 1 ? cos C 1 2 ? 0 整理得: 2cos2 C ? cos C ? 1 ? 0 ,解得: cos C ? 或 cos C ? ?1 ∴ cos C ? 2 2
∵ C ? (0, ? ) (2)∵ C ?
2

?

?

?

∴C ?

?
2

?
2

3
2 2

……7 分

3 3 2 2 2 2 2 ∵ a ? 2b ? c ∴ a ? 2b ? a ? b ? ab ∵ b ? 0 ∴ a ? 3b ∴ c ? 7b ……10 分 2 2 7b ? b ? 9b2 1 ∴ cos A ? ∵ A ? (0, ? ) ∴ tan A ? ?3 3 ……14 分 ?? 2 2 7b 2 7 c 1 ? e? ? ? ?a ? 2 x2 y 2 ? a 2 2 ? ? 1 ……6 分 17.解: (1)∵ ? 2 ,解得: ? ∴ b ? 3 ∴椭圆方程为: 4 3 ?c ?1 ? a ?4 ? ? c (2)法(一) 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 B(? x1 , ? y1 ) ,∵ A , D 在椭圆上

∴ c ? a ? b ? 2ab cos

?

? a 2 ? b 2 ? ab

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 ∴? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2



1 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 2 a b

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1 1 ? k AD ? k BD ? 0 a 2 b2
∴ k2 ? ?

∵e ?

∵ AD ? AB

1 k AD

b 3 ? 2 a 4 3 ? k 4k AD 3 ? ∴ 1 ? 1 k2 4 ? k AD
c 1 ? a 2


2

∴ k1 ? ?

3 4k AD

……11 分

……14 分

法(二) 设 A( x0 , y0 ) , D( x1 , y1 ) ,则 B(? x0 , ? y0 ) 则 k AD ? k BD ?

y1 ? y0 y1 ? y0 y12 ? y0 2 ? ? ? x1 ? x0 x1 ? x0 x12 ? x0 2

b 2 (1 ?

x0 2 x12 2 ) ? b (1 ? ) 2 a2 a 2 ? ? b ,下同法(一) x12 ? x0 2 a2

18.解: (1)设 AE ? x (百米)

1 1 1 AE ? AF ? sin A ? ? AB ? AC ? sin A 2 2 2 ? 0? x?8 24 ? ∵ AB ? 8 , AC ? 6 ∴ AF ? ∵? ∴4 ? x ? 8 24 x 0 ? ? 6 ? x ? 24 2 24 242 2 2 cos 60? ? x 2 ? 2 ? 24 ∵ ?AEF 中, EF ? x ? ( ) ? 2 x ? x x x
∵ S ?AEF ? ∴ ∴l ? x ?

1 S ?ABC 2

……2 分

24 242 ? x 2 ? 2 ? 24, x ?[4,8] x x

……5 分

l ? x?
∴ lmin

24 242 ? x 2 ? 2 ? 24 ? 2 24 ? 2 ? 24 ? 24 ? 6 6 ,当且仅当 x ? 2 6 时取“=” x x ……8 分 ?6 6 24 24 2 ? x 2 ? 2 ? 24, x ?[4,8] x x

(2)由(1)知: l ? x ?

令t ? x ? 列表得:

24 24 x 2 ? 24 ( x ? 2 6)( x ? 2 6) , x ? [4,8] ∴ t ' ? 1 ? 2 ? ? x x x2 x2

x
t'

(4, 2 6)
?
?

2 6
0 极小值 4 6

(2 6,8)

?
?
……12 分

t

且 x ? 4 时, t ? 10 ; x ? 8 时, t ? 11 ,则 t ?[4 6,11]

l ? t ? t 2 ? 72 在 [4 6,11] 上单调增 ∴当 t ? 11 时, lmax ? 18 , 此时 AE ? 8, AF ? 3
答:水管总长度 l 的最小值为 6 6 百米;当点 E 在 A 处,点 F 在线段 AC 的中点时,长廊总长度 l 的最大值为 18 百米. ……16 分 我要去看得更远的地方
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19.解:(1)∵ C (0, 2) ∴圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

|0?4?2| 2 , ? 5 5

∵截得的弦长为

2 5 5

∴ r2 ? (

2 2 5 ) ? ( )2 ? 1 5 5
……4 分 ∴

∴圆 C 的方程为: x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 (2)设过原点的切线方程为: y ? kx ,即 kx ? y ? 0

|0?2| k 2 ?1

? 1 ,解得: k ? ? 3

∴过原点的切线方程为: y ? ? 3x ,不妨设 y ? 3x 与抛物线的交点为 M ,则

? ? y ? 3x ,解得: M ( 3,3) ,同理可求: N (? 3,3) ∴直线 MN : y ? 3 ? 2 y ? x ? ?
∵圆心 C (0, 2) 到直线 MN 的距离为 1 且 r ? 1 (3)直线 QR 与圆 C 相切.证明如下: 设 P(a, a2 ), Q(b, b2 ), R(c, c2 ) ,则直线 PQ 、 PR 、 QR 的方程分别为: ∴直线 MN 与圆 C 相切;

……7 分

……9 分

PQ : (a ? b) x ? y ? ab ? 0 , PR : (a ? c) x ? y ? ac ? 0 ; QR : (b ? c) x ? y ? bc ? 0
∵ PQ 是圆 C 的切线 ∴

| ?2 ? ab | (a ? b) ? 1
2

? 1 ,化简得: (a2 ?1)b2 ? 2ab ? 3 ? a2 ? 0
……12 分



∵ PR 是圆 C 的切线,同理可得: (a2 ?1)c2 ? 2ac ? 3 ? a2 ? 0 则 b, c 为方程 (a ?1) x ? 2ax ? 3 ? a ? 0 的两个实根 ∴ b ? c ? ?
2 2 2



2a 3 ? a2 , bc ? a2 ?1 a2 ?1

∵圆心到直线 QR 的距离为: d ?

| ?2 ? bc | (b ? c) 2 ? 1

?

|2?

3 ? a2 | a2 ? 1 a2 ?1 ? ?1? r 4a 2 a 4 ? 2a 2 ? 1 ?1 (a 2 ? 1) 2
……16 分

∴直线 QR 与圆 C 相切.

20.解: (1)∵ [ f (?1)] ? f (2)
2

2 ∴ (1 ? a) ? 15 ? 2a ,即 a ? 4a ? 14 ? 0 ,
2

解得: 2 ? 3 2 ? a ? 2 ? 3 2 .

……3 分 我要去看得更远的地方

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(2)∵ f ( x) ?| x3 ? 1| ? x3 ? ax ? ?

?1 ? ax,

x ?1

3 ?2 x ? ax ? 1, x ? 1

∴ f '( x) ? ?

? a,

x ?1

2 ?6 x ? a, x ? 1

设 6 x ? a ? 0 ,则 x ? ? ?
2

a a ,若 ?6 ? a ? 0 ,则 0 ? ? ? 1, 6 6

∴当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (??,1) 上单调减,在 (1, ??) 上单调增,故函数 f ( x ) 有最小值 f (1) ? a ? 1 ; 若 a ? ?6 ,则 ? ……6 分

a a a ? 1 ,∴当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 1 ? x ? ? 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f '( x) ? 0 , 6 6 6

又 f ( x ) 是 连 续 函 数 , ∴ f ( x ) 在 (??, ?

a a ) 上 单 调 减 , 在 ( ? , ??) 上 单 调 增 , 故 函 数 f ( x) 有 最 小 值 6 6

a a 2a a ?6a ? 1 ; f( ? )? ? ?1 ? 9 6 3 6

综上可得: f ( x)min

(?6 ? a ? 0) ?a ? 1 ? ?? a ?6a ? 1 (a ? ?6) ? ?9

……9 分

(3)由(2)知,当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上单调递增,至多只有一个零点,不合题意; 当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x)min ? a ? 1 ? 0 ,不可能有两个零点; ……11 分

若 a ? ?1 ,∴ ? a ? 1 ,则 f (0) ? 1 ? 0, f (1) ? a ? 1 ? 0, f ( ?a ) ? ?a ?a ?1 ? 0 , 则 f ( x ) 在 (0,1) , (1, ?a ) 分别有一个零点,不妨设 x1 ? x2 ∴ 0 ? x1 ? 1 , 1 ? x2 ? ?a ,

? 1 ? ax1 ? 0 且? 3 ? 2 x2 ? ax2 ? 1 ? 0

1 ? x1 ? ? ? a ? ∴ ? 3 ?a ? ?2 x2 ? 1 ? x2 ?

2 x2 1 ∴ x1 x2 ? (? ) x2 ? 3 a 2 x2 ?1

又 x1 x2 ? 1 ?

2 2 x2 ?2 x23 ? x2 ? 1 ?( x2 ? 1)(2 x22 ? x2 ? 1) ? 1 ? ? ? 0 , ∴ x1 ? x1 x2 ? 1 , 3 3 2 x2 ?1 2 x2 ?1 2 x23 ?1

又 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,∴ f (1) ? f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ,即 a ? 1 ? f ( x1x2 ) ? 0 .……16 分

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数 学 试 题Ⅱ 参 考 答 案
21.由条件, ?

?1 a ? ? 2 ? ? 2? ? 4 ?? ? ? 3? ?b 2 ? ?3? ? ?

∴?

?2 ? 3a ? 8 ?a ? 2 ,解得 ? ?b ? 3 ?2b ? 6 ? 12

……5 分

∵A??

?1 2? ?7 6 ? , ∴ A2 ? ? ? ? ?3 2? ?9 10?

……10 分

22. X 的可能取值有 0, 2, 3

P( X ? 0) ?

4 3 4 2 3 5 A4 A5 2 A32 A4 A5 4 A3 A5 1 ; ; ? P ( X ? 2) ? ? P ( X ? 3) ? ? 7 7 7 A7 7 A7 7 A7 7

……6 分

随机变量 X 的概率分布为:

X
P

0

2

3

2 7 11 . 7

4 7

1 7

2 4 1 11 ? E( X ) ? 0 ? ? 2 ? ? 3? ? 7 7 7 7

答:数学期望为

……10 分

23. (1)以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA 1 ?t , 则 A(0, 0, 0) , C1 (0, 4, t ) , B1 (3, 0, t ) , C (0, 4,0) ∴ AC1 ? (0, 4, t ) , B1C ? (?3, 4, ?t ) ……3 分

???? ?

????

???? ? ???? ? B1C ? AC1 ? AC1 ?B1C ? 0 ,即 16 ? t 2 ? 0 ,解得 t ? 4 ,即 AA1 的长为 4 .
(2)设 P(3,0, m) ,又 A(0, 0, 0) , C (0, 4,0) , A 1 (0,0, 4)

???? ???? ? AC ? (0,4, ?4) , A1P ? (3,0, m ? 4) ,且 0 ? m ? 4 1
设 n ? ( x, y, z) 为平面 PA1C 的法向量 ∴?

?

? ???? ? ???? ?n ? AC 1 ,n ? A 1P

?4 y ? 4 z ? 0 4?m ,取 z ? 1 ,解得 y ? 1, x ? , 3 ?3x ? (m ? 4) z ? 0
? 4?m ,1,1) 为平面 PA1C 的一个法向量. 3
……6 分

∴n ? (

又知 AB ? (3,0,0) 为平面 A1CA 的一个法向量,则 cos ? n, AB ??

??? ?

? ??? ?

4?m 4?m 2 3? 1 ? 1 ? ( ) 3

∵二面角 P ? AC 1 1 ? A 大小的余弦值为

3 , ∴ 3

4?m 3 , ? 3 4?m 2 3? 1 ? 1 ? ( ) 3
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解得: m ? 1

?
n

BP 1 ? BB1 4
n

……10 分

24. (1) Fn ( x) ?

?[(?1)k Cnk fk ( x)] ? ?[(? x)k Cnk ] ? (1 ? x)n
k ?0 k ?0

∴ F2015 (2) ? ?1

……3 分

(2)① n ? 1 时,左边 ? 1 ?

x 1 ? ? 右边 x ?1 x ?1

②设 n ? m 时,对一切实数 x( x ? 0, ?1,?, ?m) ,



? (?1) C
k k ?0

m

k m

x m! , ? x ? k ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m)

……5 分

那么,当 n ? m ? 1 时,对一切实数 x( x ? 0, ?1,?, ?(m ? 1)) ,有
k ? (?1)k Cm ?1 k ?0 m ?1 m x x x k k ?1 ? 1 ? ? (?1)k [Cm ? Cm ] ? (?1)m?1 x?k x?k x ? m ?1 k ?1 m ?1 m m x x x x ?1 x k ?1 k k ? ? (?1)k Cm ? ? (?1)k Cm ? (? (?1) k Cm )? x ? k k ?1 x ? k k ?0 x ? k k ?0 x ?1? k x ?1

k ? ? (?1)k Cm k ?0

m

?

m! m! x ? ? ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m) ( x ? 2)( x ? 3)?( x ? 1 ? m) x ? 1 m![( x ? m ? 1) ? x] (m ? 1)! ? ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m)( x ? m ? 1) ( x ? 1)( x ? 2)? ( x ? m ? 1)
即 n ? m ? 1 时,等式成立. 故对一切正整数 n 及一切实数 x( x ? 0, ?1,?, ?n) ,有

?

? (?1) C
k k ?0

n

k n

x n! ? x ? k ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? n)

……10 分

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