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广东省深圳市宝安区2018届高三9月调研测数学文试题(WORD版)


2017-2018 学年第一学期宝安区高三调研测试卷 数学(文科)
2017.9 全卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.) ( )1.已知全集 U=R,集合 A={x|lg(x-2)≥0}, B={x|x≥2}, 则(CUA)∩B= A. (

? x ? 1 ? x ? 3?

B.

? x 2 ? x ? 3?

C.

? x x ? 3?

D. ?

)2.某居民小区为如图所示矩形 ABCD,A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围 分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF,若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无 信号的概率 . 是 (注:该小区内无其他信号来源, 基站工作正常). ? A. ? 1 B. 2 ? 2 2 ? ? C. 1 ? D. 4 4

?



)3.“ a ? 0 ”是“复数 z A.充分不必要条件 C.充要条件

?

1 ? ai 在复平面内对应的点在第三象限”的 i
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



)4.设?an ? 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 9 , a6 ? 9 ,则这个数列的前 6 项和等于 A.12 B.24
0.1

C.36
1.1

D.48



)5.已知 a ? log 2 0.1,

A. a ? b ? c ( )6.不等式(x2-2)log2x>0 的解集是 A.(0,1)∪( 2,+∞) B.(- 2,1)∪( 2,+∞) C.( 2,+∞) D.(- 2, 2) (

b ? 2 , c ? 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系是 B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

)7.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin(2 x ?

? 个单位长度,再把所得图象 3

), x? R 3 2? ) ,x?R C. y ? sin(2 x ? 3


?

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 2 x ? B. y ? sin( ? ) , x ? R 2 6
D. y ? sin(2 x ?

?

3

), x? R

)8.执行右图的程序框图,若输出的 n ? 5 ,则输入整数 p 的最大值是 A.15 B.14 C.7 D.6
1



)9.已知抛物线

y?

1 2 x 的焦点为 F ,若 P 为抛物线上一点,且 PF ? 4 ,则 P 到 4
C.2 D.1

X 轴的距离为
A.4 ( B.3

)10.一个四面体的三视图如图所示,则该 四面体的表面积是 A.1+错误!未找到引用源。 B.1+2 错误!未找到引用源。 C.2+错误!未找到引用源。 D.2 错误!未找到引用源。 ( )11.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边 已知 b 、c , A. ?12,18?

分别为 a 、

? ) 6 ?ABC 周长的取值范围是.
C. ?6 3 ? 6,18?

s i nA (?

?

2 cB o s? (C ? 且 ) 0

a ? 6 ,则

B. ? 6,12?



D. ? 6,18? ? )12.已知定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,满足 f ? ? x ? ? f ? x ? ,且 f ? x ? 2?

?

为偶函数, f ? 4? ? 1 ,则不等式 f ? x ? ? e 的解集为
x

A.(-2,+ ? )

B.(0.+ ? )

C.(1, ?? )

D.(4,+ ? )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a ? (2,1), a? b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ?
? ? ? ? ? ?

.

2

? y?x ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?

.

x2 y2 15.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为________. a b 16.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸 片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于 图中的点 P, 正好形成一个正四棱柱形状的包 装盒, 若要包装盒容积 V(cm3)最大, 则 EF 长 为 cm .

P

三、解答题:(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。) (一)必考题:共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2

1 , Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,求使 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0 成立的 n 的最小值. an

18.(本小题满分 12 分)某高校共有 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人,为调查该校学 生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时 间的样本数据(单位:小时),根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率 分 布 直 方 图 ( 如 图 所 示 ) , 其 中 样 本 数 据 分 组 区 间 为 : . (Ⅰ)问应收集多少位女生样本数据?并估算该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率. 男生 每周平均体育运动 时间不超过 4 小时 每周平均体育运动 时间超过 4 小时 总计 300 女生 总计

(Ⅱ)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成 每周平均体育运 ... 动时间与性别的列联表, 并判断是否有 95% 的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时间 与性别有关”. 附:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
3

P( K 2 ? k0 )

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

19.(本小题满分 12 分) 如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点, BE ? 面 ABCD , (I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120? , AE ? EC , 且 ?AEC 的面 积为 3 ,求三棱锥 D ? AEC 的体积. 20.(本小题满分 12 分) 设椭圆

E

B G D

C

A

(1)求椭圆的离心率 e ; 两点,且 | MN |?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(a, b) 满足 | PF2 |?| F1 F2 | . a 2 b2

(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 16 相交于 M,N

5 | AB | ,求椭圆的方程。 8

21.(本小题满分 12 分) 1+a 已知函数 f(x)=x+ -alnx.,(a∈R). x (1)试判断函数 f(x)的单调性; (2)若存在有 x0 ? [1,e](e=2.718…) 使得 f(x0)<0,求 a 的取值范围. (二)选考题(共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。) 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

? ? x ? ?2 ? ? 2 C : ? sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,已知过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为:? ? y ? ?4 ? ? ? l C 线 与曲线 分别交于 M , N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列, 求 a 的值.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? 3 (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ?1 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

2 t 2 ,直 2 t 2

4

2017-2018 学年第一学期宝安区高三调研测试卷

数学(文科)参考答案
1-12 BCBB DADA BCAB

2017.9

12.【解析】? y ? f ? x ? 2? 为偶函数,所以 y ? f ? x ? 2? 的图象关于 x ? 0 对称, y ? f ? x ? 的图 象关于 x ? 2 对称,因此 f ? 4? ? f ? 0? ? 1 ,设

f ? x? f ' ? x ? ex ? f ? x ? ex f '? x? ? f ? x? ,? f ' ? x ? ? f ? x ? ? 0,? g ' ? x ? ? 0 , g ? x? ? x , g '? x? ? ? e (e x )2 ex

y ? g ? x ? 在定义域上递减,? f ? x ? ? ex ,? g ? x ? ? 1 ,? g ? 0 ? ? g ? x ? ? g ? 0? , x ? 0 ,故选 B.
13. 5 14. 3 15. 2 16. 20 17. 【答案】(1) an ? 2n ;(2) 10 .

f ? 0? ? 1 ,所以 e0

5

所以 Sn ? 2 ?1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ???? ? 2n ? n

? ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

?

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

?

n ?1 ? n ? 1 1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? n2 .………………10 分 2 2 2
n ?1

因为 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0 ,所以 2

1 1 ? 2 ? n ? n 2 ? 2n ?1 ? 47 ? 0 , 2 2

即 n 2 ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? 9 或 n ? ?10 . 因为 n ? ?? ,故使 Sn ? 2n?1 ? 47 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 10 .………………12 分 考点:1.等差、等比数列的定义与性质;2.数列与不等式. 18【解析】

…………2 分 由频率分布直方图得1 ? 2 ? (0.100 ? 0.025) ? 0.75 , 该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率为 0.75 . …………4 分

(2)由(1)知,300 位学生中有 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人 的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的,90 份是关于女 生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 每周平均体育运动时间 不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 超过 4 小时 总计 210 90 300 …………6 分 假设“该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关” 结合列联表可算得 K
2

女生 30

总计 75

45

165

60

225

…………7 分

?

300 ? (45 ? 60 ? 30 ?165) 100 ? ? 4.762 ? 3.841 .……11 分 75 ? 225 ? 210 ? 90 21

6

所以有 95% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.…………12 分 考点:1.频率分布直方图的应用;2.列联表的画法及 K 的求解.
2

19.【答案】(I)见解析(II)

6 3

试题解析: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD, 因为 BE ? 平面 ABCD, 所以 AC ? BE, 故 AC ? 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ? 平面 BED

E

……………………. 6 分

B A G D

C

(II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120° ,可得 AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ? EC,所以在 Rt ? AEC 中,可得 EG=

3 x. 2

由 BE ? 平面 ABCD,知 ? EBG、 ? EBA、 ? EBC 均为直角三角形, 可得 BE=

2 6 6 x . AE= x . CE= x. 2 2 2 1 1 6 6 3 AE ? CE ? ? x? x ? x 2 ? 3 . 故 x =2 2 2 2 2 4

由已知得, Rt ? AEC 的面积

……………………. 9 分
所以 ? ACD 的面积为

1 x?x sin120? ? 3 . 2

故 VD ? AEC ? VE ? ACD ? ?S?ACD ?EB ? ? 3 ?

1 3

1 3

2 6 ?2 ? 2 3

……………………. 12 分

考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与面积的计算;逻辑推理能力;运 算求解能力 20.(1)解:设 F 1 (?c,0), F 2 (c,0)(c ? 0) ,因为 | PF2 |?| F 1 F2 | ,

c ?c? c 2 2 所以 ( a ? c) ? b ? 2c ,整理得 2 ? ? ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 (舍) a ?a? a


2

c 1 1 ? , 所以e ? . a 2 2
7

……………………. 5 分

(2)解:由(Ⅰ)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 ,直线 FF2 的方程为
2 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12c , y ? 3( x ? c). A,B 两点的坐标满足方程组 ? ? ? y ? 3( x ? c).

消去 y 并整理,得 5x 2 ? 8cx ? 0 。解得 x1 ? 0, x2 ?

8 c ,得方程组的解 5

8 ? x2 ? c, ? ? 5 ? x1 ? 0, ? ? ? ? ? y1 ? ? 3c, ? y ? 3 3 c. 2 ? 5 ?
不妨设 A ? c,

……………………. 7 分

?8 ?5 ?

3 3 ? c ? , B(0, ? 3c) , 5 ? ?
2

2 ? 16 ?8 ? ?3 3 所以 | AB |? ? c ? ? ? c ? 3 c ? c. ? ? 5 5 ?5 ? ? ? ?

于是 | MN |?

5 | AB |? 2c. 8

……………………. 9 分
圆心 ?1, 3 到直线 PF2 的距离 d ?
2

?

?

| ? 3 ? 3 ? 3c | 3|2?c| ? . 2 2

因为 d 2 ? ?

3 ? | MN | ? 2 2 2 ? ? 4 ,所以 4 (2 ? c) ? c ? 16. ? 2 ? 26 (舍),或 c ? 2. 7

2 整理得 7c ? 12c ? 52 ? 0 ,得 c ? ?

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆方程为 16 12
1+a 21.解 (1) f(x)=x+ -alnx. x = 1+a a f′(x)=1- 2 - x x

……………………. 12 分
…………1 分 …………2 分

x2-ax-(1+a) (x+1)[(x-(1+a)] = . x2 x2

①当 a+1≤0,即 a≤-1 时,当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, 所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a+1>0 时,即 a>-1 时, 当 x∈(0,1+a)时,f′(x)<0,当 x∈(1+a,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增. …………6 分 …………4 分

1+a (2)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x)<0.即函数 f(x)=x+ -aln x 在[1,e]上的 x

8

最小值小于零. 由(2)可知 ①当 a+1≥e,即 a≥e-1 时,f(x)在[1,e]上单调递减, 1+a e2+1 所以 f(x)的最小值为 f(e),由 f(e)=e+ -a<0 可得 a> , e e-1 e2+1 e2+1 因为 >e-1,所以 a> ; e-1 e-1 ②当 a+1≤1,即 a≤0 时,f(x)在[1,e]上单调递增, 所以 f(x)最小值为 f(1),由 f(1)=1+1+a<0 可得 a<-2; ③当 1<a+1<e,即 0<a<e-1 时,可得 f(x)最小值为 f(1+a), 因为 0<ln(a+1)<1,所以 0<aln(a+1)<a, 所以 f(1+a)=2+a-aln(1+a)>2,此时 f(1+a)<0 不成立. e2+1 综上可得所求 a 的范围是 a<-2 或 a> . e-1 22.
2 2

…………7 分

…………8 分

…………9 分

…………10 分 …………12 分
2 2

解: (Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin θ=2acosθ?ρ sin θ=2aρcosθ,

即 y =2ax,

直线 L 参数方程为:

,消去参数 t 得:直线 L 的方程为 y+4=x+2 即 y=x﹣2 …… 4 分

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

代入 y =2ax 得到 则有 因为|MN| =|PM|?|PN|,所以 即:[2 2 (4+a)] ﹣4×8(4+a)=8(4+a) 解得 a=1
2 2

2

, ………… ……… 8 分

…………

……… 10 分

23. ∴①

解: (Ⅰ)不等式 f(x)≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6, ,或② ,或③ .

9

解①得﹣1≤x<﹣ 故由不等式可得

1 1 3 3 ,解②得﹣ ≤x≤ ,解③得 <x≤2. 2 2 2 2
, ………… ……… 5 分

即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}.

(Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,即 f(x)的最小值等于 4, ∴ a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 . 故实数 a 的取值范围为 a ? ?3或a ? 5 . ………… ……… 10 分

10


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