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高考数学 考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切练习


考点 9

角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切


1.(2010·全国卷Ⅰ文科·T1) cos 300? ? (

?
(A)

3 2

1 (B)- 2

1 (C) 2

(D)

3

2

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【思路点拨】利用角的推广公式将 然后根据诱 导公 式求解.

【规范解答】选 C.

cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?

1 2.


2.(2010·全国卷Ⅰ理科·T2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? (

1? k2 k (A)

1? k2 k (B)-

k
(C) 1 ? k
2

k
(D) - 1 ? k
2

【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,着重考查了三角变换中的 弦切互化. 【思路点拨】由 sin ? ? cos ? ? 1 及 cos(?80?) ? k 求出 sin80°,再利用公式
2 2

tan ? ?

sin ? cos ?

求出 tan100°的值. 【规范解答】选 B.方法一:

sin 80? ? 1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 (?80? ) ? 1 ? k 2

,

sin 80? 1? k 2 ?? ?? . ? cos80? k 所 以 tan100? ? ? tan 80
cos(80 ?), ?k 方 法二: cos(?80?) ? k ? cos80 ?=k

3.(2010·江西高考理科·T7)E,F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? (



16 (A) 27

2 (B) 3

3 (C) 3

3 (D) 4

【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式. 【思路点拨】先求 ?ACE 、 ?BCF 的三角函数值,再求 ?ECF 的正切.

1 【 规 范 解 答 】 选 D . 设 ? = ?ACE , ? = ?BCF , 则 tan ? =tan ? = 2 , 所 以

1 1 1? ? 1 1? t a ? nt a ? n 2 2 ?3 ? ? 1 1 t a? n( ? ?) t a? n?? 4 ? 2 2

-1-

1 1 1? ? 1 1 ? tan? tan ? 2 2 ?3 ? ? ? 1 1 ? ? ?) tan? ? ? 4 tan( ? ? ? ? ) tan( ? tan ?ECF ? 2 2 2 = .
【方法技巧】本题也可建立直角坐标系,利用向量坐标来解决,以点 C 为坐标原点,CA,CB 分别为 x 轴 和 y 轴建立直角坐标系,且设直角边长为 3,则 C(0,0) ,A(3,0) ,B(0,3) ,E(2,1) ,F(1,2) ,所以

cos?ECF ?

CE ? CF CE ? CF

?

1? 2 ? 2 ? 1 5? 5

?

CE ? (2,1),CF ? (1,2) ,

4 5

3 ,故 tan ?ECF ? 4 .在解决平面几

何有关问题时,利用坐标向量求角、距离,判断平行、垂直,来得更加快捷,思路也畅顺.

4.(2010·全国高考卷Ⅱ文科·T13)已知α 是第二象限的角,

tan ? ?

1 2 ,则 cosα =__________

【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式. 【思路点 拨】利用同角的平方关系和商数关系列出方程求解.注意α 是第二象限的角,即 cosα <0.

sin 80? 1? k 2 sin 80 ? ? 1 1 ? k 2? ? 2 5 ?? . ? ? ?? ? ? . cos80 k 2 2 con ? ? 2 及 sin k ? ? con ? ? 1 ,α 是第二象限的角.所以 cos ? =- 5 . 【规范解答】 cos80
2 5 【答案】- 5
5.(2010·全国Ⅰ文科·T14)已知 ? 为第二象限的角,

sin ? ?

3 5 ,则 tan 2? ?

.

【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基 本运算能力及等价变换的解题技能. 【思路点拨】由 ? 为第二象限的角,利用 sin ? ? cos ? ? 1 ,求出 cos? ,然 后求出 tan ? .利
2 2

用倍角的正切公式代入求解. 【规范解答】因为 ? 为第二象限的角,又

sin ? ?

3 4 sin ? 3 cos ? ? ? tan ? ? ?? 5 , 所以 5, cos ? 4,

2 tan ? 24 tan(2? ) ? ?? 2 7 . 所以 tan 2? ? 1 ? tan ? 24 【答案】 7 ?
6.(2010·全国Ⅰ理科·T14)已知 ? 为第三象限的角,

cos 2? ? ?

3 ? tan( ? 2? ) ? 5 ,则 4

.

【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基 本运算能力及等价变换的解题技能. 【思路点拨】由 ? 为第三象限的角,判断 2? 所在的象限,然后利用 sin22 ? +cos22 ? =1
-2-

求出 sin 2? 的值,由 cos 2? 和 sin 2? 求出 tan 2? 的值,再根据两角和的正切公式化简计算求值. 【规范解答】 【方法 1】 因为 ? 为第三象限的角,所以 2? ? (2(2k ? 1)? , ? ? 2(2k ? 1)? )(k ? Z ) , 又

cos2 ? ? ?

3 5 <0, 所

? 4 2? ? ( ? 2(2k ? 1)? , ? ? 2(2k ? 1)? )( k ? Z ) sin 2? ? 2 5, 以 ,于是有
4 3 ??1 4 ? sin 2? 4 ? ? 4 7 tan 2? ? ?? tan( ? 2? ) ? 1 ? tan tan 2? 1 ? cos 2? 3 ,所以 4 4 3 . tan ? tan 2? 1?
【方法 2】 ? 为第三象限的角,

?

cos 2? ? ?

3 3 2 k? ? ? ? ? ? 2 k? ? ? 5, 2 ,k∈Z

? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? ? ,k∈Z ? 2? 在第二象限,

sin 2? ?

4 5

sin( ? 2? ) sin cos 2? ? cos sin 2? ? cos 2? ? sin 2? 1 4 4 4 tan( ? 2? ) ? ? ? ?? ? ? ? 4 7 cos( ? 2? ) cos cos 2? ? sin sin 2? cos 2? ? sin 2? 4 4 4 .
1 【答案】 7 ?

?

?

?

cos sin
7.(2010·上海高考理科·T4)行列式

?
3

sin cos

?
6

?
3

?
6 的值是


【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用. 【思路点拨】先按行列式的计算公式计算,再用三角公式化简、求值.

cos
【规范解答】原式= 【答案】0

?
3

? cos

?
6

? sin

?
3

? sin

?
6

? cos(

?
3

?

?
6

) ? cos

?
2

?0


cos sin
8.(2010·上海高考文科·T3)行列式

?
6

sin cos

?
6

?
6

?
6 的值是


【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用. 【思路点拨】先按行列式的计算公式计算,再用三角公式化简、求值.
-3-

cos
【规范解答】原式=

?
6

? cos

?
6

? sin

?
6

? sin

?
6

? cos 2

?
6

? sin 2

?
6

? cos

?
3

?

1 2.

1 【答案】 2
9.(2010·重庆高考文科·T15)如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成 的 一条封闭曲线 C,各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径 相 等 。 设 第 i 段 弧 所 对 的 圆 心 角 为 α i ( i=1,2,3 ), 则

cos

?1
3

cos

? 2 ? ?3
3

? sin

?1
3

sin

? 2 ? ?3
3

【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识,考查三角函数的基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合的思想方法,考查化归与转化的思想. 【思路点拨】第 i 段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角,再 根据三个圆心确定的正三角形求解. 【规范解答】作三段圆弧的连心线,连结一段弧的 两个端点,如图所示,△

O1O2O3 是正三角形,点 P 是其中心,

2 ?AO1 B ? ? 3 , 根据圆的有关性 质可知
4 ? 第 i 段弧所对的圆心角为α i 都是 3 ,

cos
所以

?1
3 ?

cos

? 2 ? ?3
3

? sin

?1
3

sin

? 2 ? ?3
3 4 1 ? cos ? ? ? 3 2

? cos(

?1 ? 2 ? ? 3
3 3 ?

) ? cos

?1 ? ? 2 ? ? 3
3

1 【答案】 2
【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快速解答. 10.(2010·四川高考理科·T19) (Ⅰ)①证明两角和的余弦公式 ②由

C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ?
S? sin? ?? ?? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin
+

; .

C? ? ?

推导两角和的正弦公式

??? ?? ???? ???? 11 ??? 3 SS?? , ,AB AB ??AC AC??33 cos B ? ? ABC 2 2 5 (Ⅱ)已知 的面积 ,且 ,求 cos C .
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式,平面向量的数量积公式、 同角三角函数的基本关系等 基础知识及运算能力. 本题的(Ⅰ)①②为课本上的内容,体现出试题源于课 本的特点.

-4-

【思路点拨】 (I)①在单位圆中,分别作出角 ? , ? , ? ? , ? ? ? ,利用三角函数定义,分别写出各角 的终边,始边与单位圆的交点坐标,由圆的性质,可知

PP 1 3 ? P 2P 4 ,结合两点间距离公式即可求解. ②中

?? ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? (? ? ? ) ? ?2 ?求 求的是两角和的正弦值,需借助能把余弦变为正弦的诱导公式,故可用
解.本题第(Ⅱ)问,由三角形的面积公式,向量的数量积公式可求得角 A 的正、余弦值,又知 B 的余弦 值, 故可求 cos( A ? B) 的值,由诱导公式

cos C ? cos ?? ? ( A ? B)? ? ? cos( A ? B)

.

【规范解答】 (I)①如图,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O , 并作出角 ? , ? 与 ? ? ,使角 ? 的始边为 Ox ,交⊙ O 于点 终边交⊙ O 于点

P1 ,

P2 ;角 ? 的始边为 OP2 ,终边交⊙ O 于点 P 3,

? ? 的始边位 OP 1 ,终边交⊙ O 于点 P 4 ,则 P 1 (1,0) , P 2 (cos ? ,sin ? ) ,

P 3 (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , P 4 (cos(?? ),sin(?? )) ,


PP 1 3 ? P 2P 4 及两点间的距离公式得
2

?cos(? ? ? ) ? 1?

? sin 2 (? ? ? ) ? ? cos(? ? ) ? cos ? ? ? ?sin( ? ? ) ? sin ? ?
2

2

展 开 并 整 理 得 ,

2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ,
∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

cos( ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) ? cos ? 2 2 ②∵ , ,

?

?

?? ? ?? ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? (? ? ? ) ? ? cos ?( ? ? ) ? (?? ) ? ?2 ? ? 2 ? 由①易得
? cos( ? ? ) cos(? ? ) ? sin( ? ? ) sin(? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , 2 2
∴ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . (II)由题意,设 ?ABC 的角 B , C 的对边分别为 b 、 c ,

?

?

1 1 ??? ? ???? ??? ?? s ? bc sin A ? ??? AB AB ? AC ? AC ?? BC BC cos cos AA ?? 3? 3? 00 2, 则S 2 bc
-5-

A ? (0, ) 2 , cos A ? 3sin A , ∴

?

又 sin A ? cos A ? 1 ,∴
2 2

sin A ?

10 3 10 , cos A ? 10 10 .

cos B ?


3 4 sin B ? 5 得, 5.

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?

10 10 . 10 10 .



cos C ? cos ?? ? ( A ? B)? ? ? cos( A ? B) ? ?

【方法技巧】对于本题的第(I)可用向量求解. 解法如下:在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O , 以 Ox 为始边作角 ? , ? ,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A , B

??? ? A ( cos ? ,sin ? ) OB ? (cos ? ,sin ? ) , 则 ,B

??? ? ??? ? OA ? (cos ? ,sin ? ) , OB ? (cos ? ,sin ? ) ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )

??? ? ??? ? OA ? OB ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ,
∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? . 由向量数量积的概念可知,须 则

? ? ? ??0, ? ?

[0,π ], (0,π ], ,故对任意的 ? , ? ,

? ? ? ??? , 2? ?

时,

2? ? (? ? ? ) ??0, ? ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? cos ? 2? ? (? ? ? )? ? cos(? ? ? )

都有 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 成立.

cos(? ? ? ) ? cos ?? ? (?? )? ? cos? cos(?? ) ? sin ? sin(?? )
? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .
11.(2010·四川高考文科·T19)
-6-

(Ⅰ)○ 1 证明两角和的余弦公式 ○ 2由

C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ?

; .

C? ? ?

推导两角和的正弦公式

S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ?

4 3 1 ? cos ? ? ? , ? ? (? , ? ), tan ? ? ? , ? ? ( , ? ), cos(? ? ? ) 5 2 3 2 (Ⅱ)已知 求 cos(? ? ? ) .
【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式,平面向量的数量积公式、 同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的(Ⅰ)①②为课本上的内容,体现出试题源于课 本的特点. 【思路点拨】 (Ⅱ)分别求出 sin ? , sin ? , cos ? 的值,套用公式求解. 【规范解答】 (Ⅰ)同理 T19

? ? (? , ? ), cos ? ? ?
(Ⅱ)∵

3 2

4 3 sin? = ? 5 ,∴ 5.

1 ? 3 10 10 tan ? ? ? , ? ? ( , ? ) cos ? ? ? sin ? ? 3 2 10 , 10 . ∵ ,∴

4 3 10 3 10 3 10 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 5 10 5 10 10 .
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-7-


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