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广东省佛山市第一中学2015届高三10月月考数学(理)试题


佛山一中 2015 届高三上学期数学(理科)段考试题
命题人 谭江南 审题人 卢志常 2014.10.14

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|-x2-3x>0}

,B={x|x<-1},则 A∩B=( ) A.{x|-3<x<-1} B.{x|-3<x<0} C.{x|x<-1} D.{x|x>0} 2.函数 y ? cos 2 x ?1 在下列哪个区间上为增函数 A. [0,

π ] 2

B. [ , π]

π 2

C. ?0, π?

D. ? π, 2π ?

3.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 (? A. 3 B.4

1 1 , ? ) ,则 log2 f (4) 的值为 2 8
C.6 D.-6

4.已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ? ) cos( x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数 5.向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 1 A. 2 1 B. 3

?
2

) ,则 f ( x ) 是

B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数 3 ,a 与 b 的夹角为 60° ,则|b|= 2 1 C. 4 1 D. 5

6.已知非零向量 a 、 b , “函数 f ( x) ? (ax ? b)2 为偶函数”是“ a ? b ”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 7.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交 → → → 于点 F,若AC=a,BD=b,则AF等于 1 1 A. a+ b 4 2 2 1 B. a+ b 3 3 1 1 C . a+ b 2 4 1 2 D. a+ b 3 3

?

?

?

?

?

?

8.设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 [ a, b] 上的两个函数,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在

x ? [a, b] 上有两个不同的零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上是“关联函数”,区间 [a, b]
称为“关联区间”.若 f (x) ? x ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? m 在 [0,3] 上是“关联函数”,则
2

m 的取值范围为
A. ( ?

9 , ?2] 4

B. [?1,0]

C. (??, ?2]

D. (?

9 , ??) 4

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

9.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-∞, +∞)内单调递减,则实数 m 等于________. 2π 10.已知向量 a 与 b 的夹角为 ,且|a|=1,|b|=4,若(2a+λb)⊥a,则实数 λ=________. 3 11.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下: “在△ ABC 中, 已知 a ? 3 , B ?

?
4



,求 b .”若破损处的条件为三角形的一个内角的大小,且

答案提示 b ? 6 . 试在横线上将条件补充完整. 12.若数 f ( x) ? x ? a ? 1 ? x 有且只有一个零点,则实数 a =__________.
2

13.直线 y ? 2 x ? m(m ? R) 和圆 x ? y ? 1 交于 A 、 B 两点,以 Ox 为始边, OA , OB 为终边
2 2

的角分别为 ? , ? ,则 sin(? ? ? ) 的值为_________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,设 A、B 分别在曲线 C: ? 则 | AB | 的取值范围是_______ 15.( 几何证明选讲 )如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,

? x ? 4 ? 2 cos? 1 ( ? 为参数)和曲线 ? ? 上, 2 ? y ? 3 ? 2 sin ?

PC ? 4, PB ? 8 ,则 S?OBC ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (Ⅰ)求 sin C ; (Ⅱ)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

17. (本题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽 出取 14 件和 5 件,测量产品中的微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) .下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据:

编号 x y

1 169 75

2 178 80

3 166 77

4 175 70

5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175,且 y≥75 时,该产品为优等品。用上述样本数 据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列极其均值(即数学期望) 。

18. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,

SA ? 底面 ABCD , AB ? 2 , AD ? 1, SB ? 7 , ?BAD ? 120? ,
E 在棱 SD 上. (Ⅰ) 当 SE ? 3ED 时,求证: SD ? 平面 AEC ; (Ⅱ) 当二面角 S ? AC ? E 的大小为 30 时,
?

求直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ,若函数 g ( x) 的图象 与 f ( x) 的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数 g ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值,并求出此时 x 的值; ? 4 6?

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边, A 为锐角 , 若 f ( A) ? g ( A) ?

3 , 2

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g( x) ? (Ⅰ)求F(x)的单调区间; (Ⅱ)若以 y ? F(x)(x ??0,3 )图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值。 (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g(

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 。 x

?

1 2

2a ) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x 2 ) 的图象 x ?1 恰好有四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由。
2

21. (本题满分 14 分) 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合: 对任意 f ( x) ? M , ①方程 f ( x) ? x ? 0 有 实数根;②函数 f ( x ) 的导数 f ?( x ) 满足 0 ? f ?( x) ? 1. (Ⅰ)集合 M 中的元素 f ( x ) 具有下面的性质:若 f ( x ) 的定义域为 D ,则对于任意

?m, n? ? D ,都存在 x0 ? ?m , n? ,使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ?( x0 ) 成立.试用这一性
质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根; (Ⅱ)对任意 f ( x) ? M ,且 x ? ?a ,b ? ,求证:对于 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x2 , x3 ,当

x2 ? x1 ? 1,且 x3 ? x1 ? 1时, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 2 .

佛山一中 2015 届高三上学期数学(理科)段考参考答案(10.14)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 8 A

A B C B A C 答案 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. -2 10. 1 11.A ?

?
6

(或 C ?

7? ) 12.? 2 12

13.?

4 5

14. [

5 15 , ] 2 2

15.

18 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 1 ? 2 sin C ? ?
2

3 7 2 .所以 sin C ? .??????????????2 8 4

分 因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,所以 sin C ?

14 . ??????????????5 分 4
??????????????7 分

(Ⅱ)因为 c ? 2a ,所以 sin A ?

1 14 sin C ? . 2 8

因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ?

2 5 2 , cos A ? . ???????9 分 4 8

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

?

14 2 5 2 14 3 7 ? . ??????????????11 分 ? ? ? 8 8 4 8 4
3 7 a ? ,所以 a ? 14 . ??????????????12 分 sin B sin A

由正弦定理可得:

17. (本题满分 12 分) 解: (1)

98 ? 7,5 ? 7 ? 35 ,即乙厂生产的产品数量为 35 件。?????????2 分 14 2 (2)易见只有编号为 2,5 的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品 , 5 2 故乙厂生产有大约 35 ? ? 14 (件)优等品??????????????5 分 5 (3) ? 的取值为 0,1,2。 ??????????????6 分
1 1 C32 C3 ? C2 C32 3 3 1 ? ??? ??? 9 P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? 2 5 C5 10 C5 C5 10

分 所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

P

3 10

6 10

1 10
??????????????10 分

故 ?的均值为E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1 ? ? 2 ? ? ? . ??????????????12 分 10 5 10 5

18. (本题满分 14 分) 解:在 ? ABCD 中,? AB ? 2, AD ? 1, ?BAD ? 120? ,

? CA ? AD, 又 SA ? 平面ABCD

??????????????1 分

? 以 A 为坐标原点, AC , AD, AS 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标
系,则 A? 0,0,0? , C

?

3, 0, 0 , D ? 0,1,0? ??????????????2 分 ?S 0 , 0 , 3 ??????????????3 分

?

? SB ? 7,? SA ? 3
(1) ? SE ? 3ED

?

?

? 3 3? ?E ? ? 0, 4 , 4 ? ? ??????????????4 分 ? ?

??? ? ??? ? ? 3 3 ? ???? ? SD ? 0,1, ? 3 , AE ? ? ? 0, 4 , 4 ? ? , AC ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? SD ? AE ? 0, SD ? AC ? 0

?

?

?

3, 0, 0

?

? S D? 平面 A E C ??????????????6 分
(2) ? AC ? 平面SAD , SA ? 底面 ABCD ,

? AC ? AE, AC ? SA

? ?S A E为二面角 S ? AC ? E 的平面角,即 ?SAE = 30? ,??????????8 分
? 1 3? E? ? 0, 2 , 2 ? ? ? ? ? ? 设平面 CDE 的法向量为 n ? ? x, y, z ? 计算可得 n ? 1, 3,1 ??????????
此时E为 SD 的中点

?

?

11 分

??? ? ? 1 3? AE ? ? ? 0, 2 , 2 ? ? ? ?


? ??? ? 15 ? cos n, AE ? ?????????????? 13 5

即直线 AE 与平面 CDE 所成角的正弦值为

15 . ??????????????14 5

分 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2

1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6 1 ? 所以 g ( x) ? ? ? sin( 2 x ? ) 2 6 ?
因为 x ? ??

?????????????????????2 分 ??????????????????3 分

? ? 2? ? ? ? ? ?? , ? ,所以 2 x ? ? ?? , 6 ? 3 6? ? 4 6? ?
?
6 ??

所以当 2 x ?

?
2

即x ??

?
6

时,函数 g ( x) 在区间 ? ?

1 ? ? ?? , ? 上的最大值为 .??7 分 2 ? 4 6?

(Ⅱ)由 f ( A) ? g ( A) ? 化简得: cos 2 A ? ? 由题意知: S ?ABC

1 ? ? 又因为 0 ? A ? ,解得: A ? ??????????10 分 2 2 3 1 ? bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 ,??????????????11 分 2

3 ? ? 3 得: 1 ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? ???????8 分 2 6 6 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2
故所求边 a 的长为 5 . 20. (本题满分 14 分) 解.(Ⅰ) F ( x) ? f ( x) ? g( x) ? ln x ? 2分

??????????????13 分 ?????????????????????????14 分

a ( x ? 0) x

F ' ( x) ?

1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) ? x x2 x

? a ? 0,由F ?( x) ? 0 ? x ? (a,??),? F ( x)在(a,??)上单调递增。
由 F ?( x) ? 0 ? x ? (0, a),? F ( x)在( 0, a)上单调递减 。

? F ( x)的单调递减区间为( 0, a),单调递增区间为(a,??) ??????? 4
分 (Ⅱ) F ?( x) ?

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3)恒成立 2 2 x x0
???????6分

1 2 a ? (? x0 ? x0 ) max 2

1 2 1 x0 ? x0取得最大值 2 2 1 1 ????????????????8分 ? a ? ,? anmn ? 2 2 2a 1 1 (Ⅲ)若 y ? g( 2 ) ? m ?1 ? x 2 ? m ? 的图象与 2 2 x ?1
当 x0 ? 1 时, ?

y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1) 的图象恰有四个不同交点,

1 2 1 x ? m ? ? ln(x 2 ? 1) 有四个不同的根,亦即 2 2 1 1 m ? ln(x 2 ? 1) ? x 2 ? 有四个不同的根。???????10分 2 2 1 1 2 2 令 G( x) ? ln(x ? 1) ? x ? , 2 2
即 则 G?( x) ?

2x 2x ? x3 ? x ? x( x ? 1)( x ? 1) 。 ? x ? ? x2 ?1 x2 ?1 x2 ?1

当 x 变化时 G?( x).G( x) 的变化情况如下表:

x
G?( x) 的符号
G ( x ) 的单调性

(? ?, ?1 )
+ ↗

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

1 , G( x)极大值 ? G(1) ? G(?1) ? ln 2 ? 0 。???????13分 2 1 1 1 画出草图和验证 G(2) ? G(?2) ? ln5 ? 2 ? ? 可知,当 m ? ( , ln 2) 时, 2 2 2
由表格知: G( x)极小值 ? G(0) ?

y ? G( x)与y ? m恰有四个不同的交点,
1 2a 1 1 ?当m ? ( , ln 2)时,y ? g( 2 ) ? m ?1 ? x2 ? m ? 的图象与 2 2 2 x ?1
y ? f (1 ? x 2 ) ? ln(x 2 ? 1)的图象恰有四个不同的交点。??????????????14分
21. (本题满分 14 分) (Ⅰ)假设方程 f ( x) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则 f (? ) ? ? ? 0 , f ( β ) ? β ? 0 .??????????????2 分 不妨设 ? ? ? ,根据题意存在 c ? (? , ? ) , 满足 f ( β ) ? f (α) ? ( β ? α) f ?(c) .

因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? ,且 ? ? ? ,所以 f ?(c) ? 1 .????????5 分 与已知 0 ? f ?( x) ? 1矛盾.又 f ( x) ? x ? 0 有实数根, 所以方程 f ( x) ? x ? 0 有且只有一个实数根. ??????????????6 分 (Ⅱ)当 x 2 ? x3 时,结论显然成立;??????????????7 分 当 x 2 ? x3 ,不妨设 a ? x2 ? x3 ? b . 因为 x ? ? a , b? ,且 f ?( x) ? 0, 所以 f ( x ) 为增函数,那么 f ( x 2 ) ? f ( x3 ) . 又因为 f ?( x) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x 为减函数, ?????????9 分 所以 f ( x2 ) ? x2 ? f ( x3 ) ? x3 . 所以 0 ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 , 即 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 .?????10 分 因为 x2 ? x1 ? 1,所以 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, (1) 又因为 x3 ? x1 ? 1,所以 ?1 ? x3 ? x1 ? 1 , (2) (1) ? (2)得 ? 2 ? x2 ? x3 ? 2 即 x3 ? x2 ? 2 .?????????12 分 所以 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 ? 2 .??????????????13 分 综上,对于任意符合条件的 x1 , x2 , x3 总有 f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 2 成立.????? 14 分


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