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3.3.2.1二元一次不等式组及平面区域


3.3.1 二元一次不等式 (组)

与平面区域
赵曲中学——李如心

一、课题导入: 银行信贷问题 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000
元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元 的效益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%, 那么,信贷部应该如何分配资金呢?
(

1)假如你是信贷员,你应该如何分配金额? 贷给企业和个人各是多少? 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的资金为y元. (2) 这个例子中有多少个不等关系?你能用不等式写出来吗? x+y≤25 000 000 12%x+10%y≥30 000 即12x+10y≥3 000 000 x≥0 由几个二元一次不等式组成的不等 式组称为二元一次不等式组. y≥0 (3) 这个不等式组我们以前见过吗?你能给它命名吗?

二、新知探究:
2、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式; (2)二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组; (3)二元一次不等式(组)的解集:

满足二元一次不等式(组)的有序实数对(x,y)构成
的集合; (4)二元一次不等式(组)的解集可以看成是直角坐 标系内的点构成的集合。

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
(1)回忆、思考 回忆:一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ——数轴上的区间。

?x ? 3 ? 0 如:不等式组? 的解集为数轴上的一个区间(如图)。 ?x ? 4 ? 0

在直角坐标系内,二元一次不等式(组) 的解集表示什么图形?

在平面直角坐标系内,x – y = 6表示一条直线。 (2)探究: 提问:在平面直角坐标系内,所有的点被直线x – y = 6分成 几类?
y

(1)在直线x – y = 6上的点; (2)在直线x – y = 6左上方的区域内的点; (3)在直线x – y = 6右下方的区域内的点;
0 -6

x–y=6 6 P(x,y)

x

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
y 验证:设点P(x,y 1)是直线 x–y=6 x

x – y = 6上的点,选取点A(x,
y 2),使它的坐标满足不等式 x – y < 6,请完成下面的表格,

O

横坐标 x 点 P 的纵坐标 y1 点 A 的纵坐标 y2

–3

–2

–1

0

1

2

3

横坐标x
点p的纵坐标y1 点A的纵坐标y2

-3 -9 -4

-2 -8 3

-1 -7 -6

0 -6 -5
y

1 -5 -3

2 -4 -2

3 -3 -1

思考:当点A与点P有相同 的横坐标时,他们的纵坐标 有什么关系?直线l左上方点 的坐标与不等式x-y<6有什 么关系?直线l右下方点的坐 标呢?

-3

-2

6 5 4 3 2 1 -1 0 -1 12 3 4 5 6 7
-2 -3 -4 -5 -6

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

师生达成共识:
在平面直角坐标系中,以二 元一次不等式x – y < 6的解 为坐标的点都在直线x – y =
-3 -2

6的左上方;反过来,直线x
– y = 6左上方的点的坐标都 满足不等式x – y < 6。

6 5 4 3 2 1 -1 0 -1 12 3 4 5 6 7
-2 -3 -4 -5 -6

y

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

结论:
不等式x – y < 6表示直线x – y = 6左上方的平面区域; 不等式x – y > 6表示直线x – y = 6右下方的平面区域;

直线叫做这两个区域的边界。

3、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
(3)从特殊到一般情况: 二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐标系中表 示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域。 (虚线表示区域不包括边界直线) y

结论一:
二元一次不等式表示相 应直线的某一侧区域

Ax + By + C = 0 x

O

4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同,只需在直线

的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负
即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域, C≠0时,常把原点作为特殊点

结论二:

直线定界,特殊点定域。

三、例题示范:
例1:画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域
解:(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0(画成虚线) (2)特殊点定域:取原点(0,0),代入x + 4y - 4, 因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0 所以,原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内, 不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。 y

x x+4y―4=0

课堂练习1:
1、不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线的x - 2y+6=0的( B )
A. 右上方 B. 右下方
-6 -3 图(1) 3

y

C、左上方

D、左下方

x

2、不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是( D )
Y y y y

X A B

x C

x D

x

D

三、例题示范:
例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y

0 x-2y=0

x 3x+y-12=0

课堂练习2:
课本第97页的练习1、2、3。

?x ? 3 y ? 6 ? 0 3、不等式组 ? ?x ? y ? 2 ? 0
表示的平面区域是(

B)

小结和作业
小结:
知识点

⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域。
⑵ 判定方法: 直线定界,特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。

数学思想

数形结合、化归、集合、分类讨论

作业: 课本 P106 习题3.3 [A组] 第 1、2题。


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