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2014年高中数学复习方略课时作业:8.7双曲线(人教A版·数学理·浙江专用)


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课时提升作业(五十四)
一、选择题 1.已知曲线 2x2-y2-6=0 上一点 P 到一个焦点的距离为 4,则它到另一个 焦点的距离为 ( (A)4+ (C)4+2 ) (B)4+ 或 4(D)4+2 或 4-2



2.双曲线 -y2=1(n>1)的左、右两个焦点为 F1,F2,P 在双曲线上,且满足 |PF1|+|PF2|=2 (A) (B)1 ,则△PF1F2 的面积为 ( (C)2 (D)4 )

3.(2013·金华模拟)已知双曲线 mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为 2,则 椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为 ( (A) (B) (C) ) (D)

4.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= x,它的一个焦 点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 ( (A) (C) =1 (B) - =1 (D) - =1 )

- =1

5.(2013·绍兴模拟)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如 果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 ,那么此双曲线的离心率为 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

6.(2012·浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦 点,M,N 是双曲线的两顶点,若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭 圆的离心率的比值是 ( )

(A)3 (B)2 (C)

(D)

7.设 F1,F2 分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右 支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实 轴长,则该双曲线的渐近线方程为 ( (A)3x±4y=0 (C)4x±3y=0 )

(B)3x±5y=0 (D)5x±4y=0

8.(能力挑战题)已知点 F1,F2 分别是双曲线 - =1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 为锐角三角形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( (A)(1,1+ ) (C)( +1,+∞) 二、填空题 9.已知双曲线 - =1 的右焦点的坐标为( 方程为 . ,0),则该双曲线的渐近线 (B)(1, ) (D)(-∞,1+ ) )

10.(2013 · 重 庆 模 拟 ) 设 点 P 是 以 F1,F2 为 左 、 右 焦 点 的 双 曲 线

- =1(a>0,b>0)左支上一点,且满足 线的离心率为 .

·

=0,tan∠PF2F1= ,则此双曲

11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲 线于 A,B 两点,设双曲线的左顶点为 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内 部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为 .

12.(2013 · 台 州 模 拟 ) 已 知 双 曲 线 的 顶 点 与 焦 点 分 别 是 椭 圆 + =1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构 成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 三、解答题 13.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 ,且过 点 P(4,). .

(1)求双曲线的方程. (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: (3)求△F1MF2 的面积. 14.(2013·太原模拟 )P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: - =1(a>0,b>0) 上一点,M,N 分别是双曲线 E 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . (1)求双曲线的离心率. (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐 标原点,C 为双曲线上一点,满足 =λ + ,求λ 的值. · =0.

15.椭圆 C1: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是双曲线 C2: - =1 在第一象限内的图象上一点 , 直线 AP,BP 与椭圆 C1 分别交于 C,D 点,若 S△ACD=S△PCD.

(1)求 P 点的坐标. (2)能否使直线 CD 过椭圆 C1 的右焦点,若能,求出此时双曲线 C2 的离心 率;若不能,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选 C.曲线 2x2-y2-6=0 的方程可化为: - =1,所以 a2=3, 又因为点 P 到一个焦点的距离为 4,所以到另一焦点的距离为 4+2 或 4-2 (舍). 2.【解析】选 B.不妨设点 P 在双曲线的右支上,则 |PF1|-|PF2|=2 ,又|PF1|+|PF2|=2 ∴|PF1|= 又 c= , + ,|PF2|= - , ,

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴∠F1PF2=90°, ∴ = |PF1||PF2|=1.

3.【解析】选 B.由已知双曲线的离心率为 2,得: =2, 解得:m=3n,又 m>0,n>0, ∴m>n,即 > , 故由椭圆 mx2+ny2=1 得 + =1. ∴所求椭圆的离心率为:

e=

=

= .

【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆 mx2+ny2=1 焦点所在位置弄错,从而把 a 求错造成. 4.【解析】选 B.由题意可知 解得 所以双曲线的方程为 - =1. 5.【解析】选 D.因为焦点在 x 轴上与焦点在 y 轴上的离心率一样,所以 不妨设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率 k=〒 , 一个焦点坐标为 F(c,0),一个虚轴的端点为 B(0,b),所以 kFB=- ,又因为 直线 FB 与双曲线的一条渐近线垂直,所以 k·kFB= (- )=-1(k=- 显然不 符合), 即 b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0, 即 e2-e-1=0,解得 e= (负值舍去). 的最小值为

【变式备选】双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 2,则 ( (A) ) (B) (C)2 (D)1

【解析】选 A.因为双曲线的离心率为 2,所以 =2, 即 c=2a,c2=4a2; 又因为 c2=a2+b2, 所以 a2+b2=4a2,即 b= a, 因此 = =a+ ≥2 = ,当且仅当 a= ,即 a= 时等号成立.



的最小值为

.

6.【解析】选 B.设双曲线的方程为 - =1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为 + =1(a2>0,b2>0), 由于 M,O,N 将椭圆长轴四等分, 所以 a2=2a1,又 e1= ,e2= , 所以 = =2. 7.【解析】选 C.设 PF1 的中点为 M,因为|PF2|=|F1F2|, 所以 F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a, 在直角三角形 F1F2M 中, |F1M|= 故|PF1|=4b, 根据双曲线的定义得 4b-2c=2a,即 2b-c=a, 因为 c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2, 即 3b2-4ab=0,即 3b=4a, 故双曲线的渐近线方程是 y=〒 x, 即 4x〒3y=0. 8.【解析】选 A.如图,设 A(-c,y0)(y0>0), =2b,

因为点 A 在双曲线 - =1 上,

代入得 - =1, 解得 =b2( -1)= ,y0= . 因为△ABF2 为锐角三角形, 所以 0°<∠AF2F1<45°, 从而|AF1|<|F1F2|,即 <2c,b2<2ac, 化简得 c2-2ac-a2<0. 两边同除以 a2,得 e2-2e-1<0, 解得 1- <e<1+ . 又 e>1,所以 1<e<1+ . 9.【解析】∵右焦点坐标是( ∴9+a=13,即 a=4, ∴双曲线方程为 - =1, ∴渐近线方程为 〒 =0,即 2x〒3y=0. 答案:2x〒3y=0 10.【解析】由已知得|PF2|-|PF1|=2a ① 又 ∴ · ⊥ =0, , ,0),

因此在以 P 为直角顶点的 Rt△PF1F2 中, 由 tan∠PF2F1= 得, = ②

由①②解得|PF1|=4a,|PF2|=6a. 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 即(4a)2+(6a)2=(2c)2.

即 13a2=c2,∴离心率 e2= =13. ∴e= 答案: 11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点 F,A,B 的坐标,由点 M 在圆 内部列不等式求解. 【解析】设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),右焦点 F 坐标为 F(c,0), 令 A(c, ),B(c,- ), 所以以 AB 为直径的圆的方程为(x-c)2+y2= . 又点 M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0< , 即 a+c< ? a2+ac<c2-a2, ? e2-e-2>0(e= ),解得:e>2 或 e<-1. 又 e>1,∴e>2. 答案:(2,+∞) 12.【解析】∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆 + =1 的焦点与顶点, ∴双曲线方程为 - =1,渐近线方程为 y=〒 x. .

又两渐近线与椭圆交点构成的四边形为正方形, ∴ =1,即 b2=a2-b2,

∴a2=2b2,∴ = , ∴e2= = 答案: 13.【解析】(1)∵e= ,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点 P(4,),∴16-10=λ,即λ=6. =1- =1- = ,∴e= .

∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)方法一:由(1)可知,双曲线中 a=b= , ∴c=2 ,∴F1(-2 ,0),F2(2 ,0). ∴ · = = , = =- . ,

∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,m2=3. 故 ∴ · · =-1,∴MF1⊥MF2. =0. =(-3-2 ,-m),

方法二:∵

=(2 -3,-m), ∴ · =(3+2 )〓(3-2 )+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在双曲线上, ∴9-m2=6,即 m2-3=0. ∴ · =0.

(3)△F1MF2 的底|F1F2|=4 , △F1MF2 的边 F1F2 上的高 h=|m|= , ∴ =6.

14.【思路点拨】(1)代入 P 点坐标,利用斜率之积为 列方程求解. (2)联立方程,设出 A,B, 的坐标,代入 =λ + 求解.

【解析】(1)由点 P(x0,y0)(x0≠〒a)在双曲线 - =1 上,有 - =1. 由题意又有 · =,

可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2, 则 e= = .

(2)联立方程得 得 4x2-10cx+35b2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 设 即 又 C 为双曲线 E 上一点,即 -5 =5b2, 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2, 化简得:λ2( -5 )+( -5 )+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2, 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线 E 上, 所以 -5 =5b2, -5 =5b2. 又 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, 得:λ2+4λ=0,解出λ=0 或λ=-4. 15.【思路点拨】(1)由 S△ACD=S△PCD? AC=PC,即 C 为 AP 中点且在椭圆上, 据此可求出 P 点坐标. (2)只需将 F2(c,0)代入直线 CD 的方程,设法求 a,c 的比值即可. 【解析】(1)设 P(x,y)在双曲线上,则有 b2x2-a2y2=a2b2 ①, ∵A(-a,0),B(a,0), ∴PA 的中点为 C( , ), =(x3,y3), =λ + ,

点 C 在椭圆上,代入椭圆方程,化简得 b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2 ② ①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2, ∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0. ∵P 在双曲线右支上,∴x+a≠0,则 x=2a. 代入①:a2y2=3a2b2,P 在第一象限, ∴y>0,y= b,得 P(2a, b). (2)由 P(2a, b)及 B(a,0)得 PB:y= 代入椭圆方程: b2x2+a2· (x2-2ax+a2)=a2b2, ∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0. 2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0. ∵x<a,∴x= , 从而 y= (- )=- b, (x-a).

得 D( ,- b).同理可得 C( , b). C,D 横坐标相同,知 CD⊥x 轴. 如 CD 过椭圆右焦点 F2(c,0),∴c= ,即 a=2c, 从而 b2=a2-c2= a2.设双曲线半焦距为 c', 则 c'2=a2+b2= a2,∴e'= . 于是直线 CD 可通过椭圆 C1 的右焦点,此时双曲线 C2 的离心率为 e'= .

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