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2008年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案B


2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷) 试题参考答案
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.

一、 (本题满分 50 分) 如题一图, ABCD 是圆内接四边形.

AC 与 BD 的交点为

P , 是弧 ? 上一点, E 连接 EP 并延长交 DC 于点 F , G , H 点 AB
分 别 在 CE , DE 的 延 长 线 上 , 满 足 ?EAG? ? FAD ,

?EBH ? ?FBC ,求证: C , D, G, H 四点共圆.
[证] 由已知条件知

?FAG ? ?FAE ? ?EAG ? ?FAE ? ?FAD ? ?DAE .
又 所以

?DAE ? ?DCE ? 180? ,
?FAG ??DCE ? 180? ,

题一图

从而 A, F , C , G 四点共圆,此圆记为 ?1 . 同理可证: B, F , D, H 四点共圆,此圆记为 ? 2 . 点 E 在圆 ?1 , ? 2 内.延长 FE 与圆 ?1 相交于点 I ,则

IP ? PF ? AP ? PC ? DP ? PB ,
故 B, F , D, I 四点共圆. 所以 I 在 ?BFD 的外接圆上,故 I 在 ? 2 上. 再用相交弦定理:

EC EG ? ?
故 C , D, G, H 四点共圆.

E? F ? I E

, ?E D E H 答一图

二、 (本题满分 50 分) 求满足下列关系式组

? x2 ? y 2 ? 2 z 2 , ? ? z ? y ? z ? 50,
的正整数解组 ( x, y, z ) 的个数.
2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 5 页)

[解] 令 r ? y ? z ,由条件知 0 ? r ? 50 ,方程化为

x2 ? ( z ? r)2 ? 2z 2 ,即 x 2 ? 2 zr ? r 2 ? z 2 .
因 y ? z ? r ? 0 ,故 z2 ? x2 ? y2 ? z2 ? x2 ,从而 z ? x . 设 p ? z ? x ? 0 .因此(1)化为

(1)

?2zp ? p2 ? 2zr ? r 2 ? 0 .
下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数. 令 r ? 2r ? 1, p ? 2 p1 ? 1,代入(2)得 1

(2)

2( p12 ? p1 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? r1 ) ? 1 ? 0 .

(3)

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解. (ⅱ)当 r 为偶数时,设 r ? 2r ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p ? 2 p1 ,代 1 入(2)化简得

p12 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? 0 .

(4)

2 2 由(4)式有 z ( p1 ? r1 ) ? p1 ? r1 ? 0 ,故 p1 ? r ,从而可设 p1 ? r ? a ,则(4)可化 1 1 2 2 为 ( r1 ? a ) ? za ? r1 ? 0 ,

2r12 ? 2ar1 ? za ? a 2 ? 0 .
因z ?

(5)

2r12 ? 2r1 ? a 为整数,故 a 2r12 . a

又 z ? z ? x ? 2 p1 ? 2(r ? a) ,因此 1

(r1 ? a ) 2 ? r12 ? za ? 2(r1 ? a )a ,得 a 2 ? 2r12 ,

a ? 2r1 .
因此,对给定的 r ? 1,2, ???,25 ,解的个数恰是满足条件 a ? 1

2r1 的 2r12 的正因数 a 的

2 2 2 个数 N (r ) .因 2r1 不是完全平方数,从而 N (r ) 为 2r1 的正因数的个数 ? (2r1 ) 的一半.即 1 1

N (r1 ) ? ? (2r12 ) / 2 .
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由题设条件, 1 ? r ? 25 .而 1 25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组: :

A1 ? {20 , 21 , 2 2 , 23 , 2 4 } ,

A2 ? {2 ? 3,2 ? 5,2 ? 7,2 ?11},
A3 ? {22 ? 3, 22 ? 5} , A4 ? {23 ? 3} , A5 ? {2 ? 32 } ,

B1 ? {3,5,7,11,13,17,19,23} ,
B2 ? {32 , 52 } ,

B3 ? {3? 5,3? 7} ,
从而易知

N ( A1 ) ? N (20 ) ? N (21 ) ? N (22 ) ? N (23 ) ? N (24 ) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,

N( A2 ) ? N(2? 3) ? 4 ? 6? 4 ? 24 , N ( A3 ) ? 9 ? 2 ? 18 , N ( A4 ) ? 12 , N ( A5 ) ? 10 , N (B1 ) ? 3? 8 ? 24 , N (B2 ) ? 5? 2 ? 10 , N (B3 ) ? 9 ? 2 ? 18 ,
将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131. 三、 (本题满分 50 分) 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2,?, 2008 .证明:当且仅当 ? ak ? 1 时,存在数列 {xn } 满足以下条件:
k ?1 2008

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3,? ;
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(ⅱ) lim xn 存在;
n ??

(ⅲ) xn ? xn ?1 ? ? ak xn ? k ? ? ak ?1 xn? k , n ? 1, 2,3,? .
k ?1 k ?0

2008

2007

[证] 必要性:假设存在 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为
* xn ? xn?1 ? ? ak ( xn? k ? xn? k ?1 ) , n ? N ,

2008 k ?1

其中 x0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1 (xn?1 ? x1 ) ? a2 (xn?2 ? x2 ) ??? a2008 (xn?2008 ? x2008 ) .
由(ⅱ)可设 b ? lim xn ,将上式取极限得
n ??

b ? a1 (b ? x1 ) ? a2 (b ? x2 ) ??? a2008 (b ? x2008 )
? b ? ? ak ? (a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? a2008 x2008 )
k ?1 2008

? b ? ? ak ,
k ?1

2008

因此 ? ak ? 1 .
k ?1

2008

充分性:假设 ? ak ? 1 .定义多项式函数如下:
k ?1

2008

f (s) ? ?1 ? ? ak s k , s ? [0,1] ,
k ?1

2008

则 f ( s) 在[0,1]上是递增函数,且
f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1 ? ? ak ? 0 .
k ?1 2008

因此方程 f ( s ) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1 ,即 f (s0 ) ? 0 .
k 下取数列 {xn } 为 xn ? ? s0 , n ? 1, 2,? ,则明显地 {xn } 满足题设条件(ⅰ) ,且 k ?1
n s0 ? s0 ?1 . 1 ? s0
n s0 ? s0 ?1 s ? 0 ,即 {xn } 的极限存在,满 n ?? 1 ? s 1 ? s0 0

n

k xn ? ? s0 ? k ?1

n

n 因 0 ? s0 ? 1,故 lim s0 ?1 ? 0 ,因此 lim xn ? lim n ??
n ??

足(ⅱ) .
k 最后验证 {xn } 满足(ⅲ) ,因 f (s0 ) ? 0 ,即 ? ak s0 ? 1 ,从而 k ?1 2008

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n k n n xn ? xn?1 ? s0 ? ( ? ak s0 )s0 ? ? ak s0 ?k ? ? ak ( xn?k ? xn?k ?1 ) . k ?1 k ?1 k ?1

2008

2008

2008

综上,已证得存在数列 {xn } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , .

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