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期末复习4直线、平面垂直的判定与性质(学生版)


柯桥中学高二第一学期数学期末复习学案 4
-----直线、平面垂直的判定及其性质 一、知识点梳理 1、直线与平面垂直 (1) .定义:直线 l 与平面 α 内的 (2) .直线与平面垂直的判定定理及推论. 文字语言 判定 定理 一条直线与平面内的 垂直,则该 直线与此平面垂直 如果在两条平行直线中,有一 条垂直于平面,那么另一条直 线也____________这个平面

图形语言 直线都垂直,就说直线 l 与平面α互相垂直. 符号语言

推论

(3).直线与平面垂直的性质定理. 文字语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直 线_________ 图形语言 符号语言

2.平面与平面垂直的判定定理. 文字语言 一个平面过另一个平面的一 判定定理 条 , 则这两个平面 互相垂直 两个平面互相垂直, 则一个平 性质定理 面内垂直于_______的直线垂 直于另一个平面 二、课堂讲练 考点一、垂直关系的基本问题 1.直线 l 不垂直于平面α ,则α 内与 l 垂直的直线有 ( ) A.0 条 B.1 条 C.无数条 D.α 内所有直线 2.已知α 、β 表示两个不同的平面,m 为平面α 内的一条直线,则“α ⊥β ”是“m⊥β ”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.经过平面α 外一点和平面α 内一点与平面α 垂直的平面有___________个. 4.(1)下列命题中,m、n 表示两条不同的直线,α 、β 、γ 表示三个不同的平面. ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n;②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ;③若 m⊥α ,β ⊥α 则 m∥β ; ④若α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ .正确的命题是 ( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ (2)(2011· 龙岩模拟)已知直线 l⊥平面α ,直线 m?平面β ,下面三个命题: ①α ∥β ? l⊥m;②α ⊥β ? l ∥m;③l∥m?α ⊥β .则真命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 图形语言 符号语言

)

考点二、直线与平面垂直的判定与性质 1.设 l、m、n 均为直线,其中 m、n 在平面α 内,则“l⊥α ”是“l⊥m 且 l⊥n”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.三棱锥 P-ABC 的顶点 P 在底面的射影为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 为△ABC 的___ _____心; 若 PA、PB、PC 两两垂直,则 O 为△ABC 的____ ____心. 3.如图, 已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面, N 分别是 AB, 的中点, M、 PC 若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.

考点三、面面垂直的判定与性质 1.若 l 为一条直线,α 、β 、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:其中正确的命题有( ①α ⊥γ ,β ⊥γ ?α ⊥β ;②α ⊥γ ,β ∥γ ?α ⊥β ;③l∥α ,l⊥β ?α ⊥β . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5.设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD.

)

3.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD.垂足为 H,PH 是四棱锥的高. (1)证明:平面 PAC⊥平面 PBD; (2)若 AB= 6,∠APB=∠ADB=60° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

三、课堂练习 1.用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题:其中真命题的序号是( ) ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ ,b∥γ ,则 a∥b; ④若 a⊥γ ,b⊥γ ,则 a∥b. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 2.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方 形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF ⊥FB, ∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B-DEF 的体积.

四、课后作业 1.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能出现的是( A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α

)

2.已知直线 a?平面 α,直线 AO⊥α,垂足为 O,AP∩α=P,若条件 p:直线 OP 不垂直于直线 a,条件 q:直线 AP 不垂直于直线 a,则条件 p 是条件 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 如图, 在正四面体 P-ABC 中, E、 分别是 AB、 D、 F BC、 的中点, CA 下面四个结论不成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDE⊥平面 ABC 4.设 a,b,c 表示三条直线,α、β 表示两个平面,下列命题中不正确的是( a⊥α A. α∥β
? ? ??a⊥β ? ?

)
? a∥α? ? ??b⊥α ? b⊥a ?

? B. b⊥β???a⊥b α⊥β ? ?

a⊥α? ?

b∥c?? C. b?α? ?c∥α ? c?α

? ? ?

D.

5.设 a,b,c 是空间不重合的三条直线,α,β 是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆命题不成立的 是( )

A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β C.当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 6.如图, 已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形, PA⊥平面 ABC, PA=2AB, 则下列结论正确的是( A.PB⊥AD C.直线 BC∥平面 PAE B.平面 PAB⊥平面 PBC D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° )

7.如图,在三棱锥 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中 正确的有__________(填序号) ①平面 ABC⊥平面 ABD ②平面 ABD⊥平面 BCD

③平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ACD⊥平面 BDE ④平面 ABC⊥平面 ACD,且平面 ACD⊥平面 BDE 8.已知二面角 M-l-N 的平面角是 60° ,直线 a⊥M,则直线 a 与平面 N 所成角的大小为________. 9.设 α、β、γ 为彼此不重合的三个平面,l 为直线,给出下列命题: ①若 α∥β,α⊥γ,则 β⊥γ; ②若 α⊥γ,β⊥γ,且 α∩β=l,则 l⊥γ; ③若直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则直线 l 与平面 α 垂直; ④若 α 内存在不共线的三点到 β 的距离相等,则平面 α 平行于平面 β. 上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).

10.在直平行六面体 AC1 中,四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60° ,AC∩BD=O,AB=AA1. (1)求证:C1O∥平面 AB1D1; (2)求证:平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1.

11.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1,AA1=AD=2.点 E 为 AB 中点. (1)求三棱锥 A1-ADE 的体积; (2)求证:A1D⊥平面 ABC1D1; (3)求证:BD1∥平面 A1DE.

1 12.如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠B=90° ,DC∥AB,CD= AB,G 为线段 AB 的中点,将 △ADG 2 沿 GD 折起,使平面 ADG⊥平面 BCDG,得到几何体 A-BCDG. (1)若 E,F 分别为线段 AC,AD 的中点,求证:EF∥平面 ABG; (2)求证:AG⊥平面 BCDG.


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